當拓撲已成家常

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拓撲——作為一個空間幾何概念——在我們腦海中不過是一個若隱若現的名詞，與我們的日常生活並無多少交集。數學中，拓撲表示了實空間幾何體的一種分類方法。當我們對千千萬萬不同幾何構型的描述缺乏耐心和簡明扼要的語言時，就用一種數學上雖然很嚴謹很高大但在日常生活中卻很虛無縹緲的表示來描述，如圖1所示。這大概就是科學有時候因為力不從心而不得不讓自己陽春白雪的原因，其實是自己遇到了窘境而無可奈何。如我等所謂受過長期物理熏陶的大多數人，對「拓撲」總是倍覺眩暈，這也使得拓撲學的研究只是小眾，很抱歉！拓撲一個「數」，無影亦無規。千萬幾何體，混混一統隨。均屬概莫能外。

圖1. 上：具有同樣拓撲性質的三類幾何體(https://www.learner.org/courses/)。左下：拓撲物理的一些分支(http://www.topo.hokudai.ac.jp/en/leader)。右下：數學上拓撲的範疇(https://math.uc.edu/~herron/topology/)，我們熟知的歐幾里得空間和閔可夫斯基空間與拓撲空間的關係一目了然。

時光冉冉，在物理學、特別是凝聚態物理學中，拓撲物理的研究不過是滄海一粟，星星點點、從未燎原，一直到拓撲絕緣體物理的孕育和興起。拓撲絕緣體效應等終於為量子霍爾效應找到一個鮮亮的出口，使得拓撲從貴族走向大眾。這無疑給「舊時王謝堂前燕，飛入尋常百姓家」做了一番與文學家絕然不同的新註解，同時也催生了諾貝爾獎「花落拓撲」的步伐。2016年的諾貝爾物理學獎審時度勢，「不得不」授予了拓撲物理。對這一重大事件與拓撲物理的內在聯繫，一眾名家從不同角度紛紛解讀，真知灼見、娓娓道來，給學術百姓以精神食糧，給學術精英以咖啡茗茶。中文解讀如文小剛、胡江平、施郁、戴希等學者，都有精彩文章和科普佳作，輪不到我說三道四。這裡，我說一點點簡單的、不是那麼「拓撲」的物理，以呈現解讀的下里巴人層次。

凝聚態中的拓撲物理研究最開始是從實空間的某些拓撲結構開始的，如TK研究XY模型中的vortex-antivortex態及其相變。由於這類結構的局域性，相關研究成果一直未能與某種具有實用價值的物理性質聯繫起來。這應該是拓撲物理在凝聚態中一直寡言少語、鬱鬱寡歡的原因。與此不同，量子霍爾效應及其對應的拓撲量子態在動量空間中展示拓撲結構，是電子波函數形貌的拓撲結構特徵，與凝聚態的光電磁等物理行為密切關聯；其潛在應用價值勢在必然，理所當然使得動量空間中的拓撲成為明星。儘管如此，實空間的拓撲結構更加直觀和容易理解，更容易「飛入尋常百姓家」。圖2所示就是典型的二維XY模型中vortex-antivortex缺陷對和現在正備受寵愛的skyrmion拓撲准粒子圖像。這兩種結構都可以用某種拓撲示類來表達。

圖2. 左上：vortex-antivortex拓撲缺陷對，藍色標記vortex，紅色心標記antivortex (Nat. Nanotech. 4, 528 (09))。右上：實空間拓撲結構的另一個實例---skyrmion。

坦率地說，凝聚態中實空間拓撲結構因為對應著某種形態上的對稱性和美麗面貌，使得人性中那絲絲感性的慾望與理性的思維結合起來，一定程度上促進了拓撲物理的發展步履。這是一種人性中無形的視覺刺激，不妨稱之為「拓撲美景」，令人慾罷不能。除了圖2所示範例，還有一類正逐漸獲得青睞、並在拓撲諾獎大旗下開始「飛揚跋扈」的新拓撲結構——鐵性疇結構的拓撲表象。圖3所示是幾個最近觀測到的實例。毫無疑問，這些結構展示出無形魅力，使得那些於對稱性與「拓撲美景」情有獨鐘的學者愛不釋手，詮釋了「衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴」的精神。

圖3. 幾種實空間中的拓撲美景。1：Hexagonal RMnO3中的鐵電疇；2：Fe1/3TaS2中的結構疇；3：超流中的扭結 (http://physics.gmu.edu/~pnikolic/)；4：Isostatic lattice中的疇界拓撲模(Nat. Phys. 10, 39 (14))；5：Ca3-xSrxTi2O7中的vortex-antivortex拓撲缺陷對(npj Quantum Mater.本文)；6：鐵電環形納米點中的面內極化vortex結構(JPCM 20, 342201 (08))。

這裡，我們不妨從鐵電體物理角度對鐵電疇拓撲結構的圖像做一點粉飾說明。這一問題最為著名的實例就是Sang-Wook Cheong在六角晶格錳氧化物中發現的Z6拓撲缺陷態。以YMnO3為例，其在鐵電態區間存在一種稱之為ab面內trimerization(三聚化)的結構畸變，如圖3(A-b)所示，導致所謂的Z3對稱性，也就是MnO面內形成相互120°夾角的三聚體，對稱排列。與此同時，這一體系的鐵電極化來源於Y離子沿c軸方向的位移，也有±c兩個簡併方向，也就是所謂的Z2對稱性。面內和c軸的Z3與Z2結合起來，構成了Z3×Z2的六重拓撲疇形態，如圖4所示。在三維空間，這種六重對稱必然形成vortex-antivortex的拓撲缺陷對，也就是圖中所示的六重對稱疇結構，令人既擊掌稱讚又心存恐懼。六角結構錳氧化物中這種奇特的拓撲形貌最近幾年引起了很多人關注，包括我國物理所的李建奇和清華的朱靜先生課題組。Cheong竟然還將其牽扯到宇宙學，足見其研究院階段宇宙學學習沒有白費。不過，讓人疑惑的是這種拓撲缺陷對的穩定性和拓展性，比如最近朱靜老師就用一對部分位錯將拓撲疇釘扎住，很容易就實現了「Z4×Z2」對稱疇結構，其中的拓撲保護性問題值得咀嚼。

圖4. 六角YMnO3中的Z3×Z2六重對稱拓撲疇結構。A：(a)是高溫高對稱結構，六角對稱性；(b)是低溫鐵電晶格結構，因為結構的三聚化，形成三重對稱的結構疇，即所謂的Z3：(α，β，γ)；(c)顯示了沿c軸方向的Y離子位移，形成簡併的極化方向±Pz，即所謂的Z2兩重對稱性(https://www.researchgate.net/profile/Manfred_Fiebig/publication/234913415/)。Z3與Z2結合起來，就是Z3×Z2六重對稱拓撲疇結構，如圖(B)所示(http://www.nature.com/article-assets/npg/srep/2013/130924/srep02741/)。在三維空間，這樣的拓撲結構必然形成vortex-antivortex拓撲缺陷對，如圖(C)所示(http://www.nature.com/nmat/journal/v9/n3/images_article/nmat2700-f1.jpg)。

當然，像Sang-Wook Cheong這種擅長標新立異之家，走出了第一步並嘗到了甜頭，他是不會善罷甘休的。最近，他又陸陸續續在一些其它對稱性的晶體中看到一系列不同Zm×Zn對稱性的疇結構，如Fe1/3TaS2中的拓撲疇(圖3-2)。10月7號，他又針對Ca3-xSrxTi2O7中豐富的疇結構對稱性，推出了他們的新作「Topological defects at octahedral tilting plethora in bi-layered perovskites」，其中文筆更是令人眼花繚亂、目不暇接，也充分體現出物理學研究擅長在簡單和複雜之間游移和狩獵的特性。

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