撞球是怎麼運動的？浙大學者提出重要猜想震驚數學界

10月16日，記者從浙江大學獲悉，浙大數學科學學院青年學者于飛的探索引起國際數學界濃厚興趣，4位國際著名數學家日前聯名發布論文，證明了于飛在黎曼曲面模空間的動力學領域提出的一個重要猜想，並將其推廣到更普遍的情況且應用在數學其他領域。

這4位數學家中最著名的當屬法國高等科學研究所教授M·孔采維奇，這位數學大師曾獲得1998年的菲爾茲獎和由扎克伯格、馬雲等人提供獎金設立的基礎物理學獎和數學突破獎等。其他3位數學家是美國科學院院士、芝加哥大學教授A·埃斯金，巴黎第七大學教授A·卓里奇和德國歌德大學教授M·穆勒。他們的論文已發布在全球科學家交流成果的重要平台arxiv.org網站上。4位數學家在論文摘要的開頭明確指出：「我們證明了于飛的猜想。」

撞球的運動軌跡

黎曼曲面模空間上的動力系統是現代數學中一個高度抽象、高度交叉又十分重要的研究領域。

以儘可能通俗的話語，于飛向記者介紹了自己的工作。這項核心問題有多個背景，其中較容易理解的一個背景是，研究一個撞球在球台上的運動行為。「撞球滾出去，碰到球台的一邊就會反彈，然後再碰上另一條邊，再反彈……假定撞球一直運動下去，就會留下一個很複雜的軌跡。」于飛說，「如果我們在出發前就給撞球施加一個小小的擾動，整個軌跡還會發生很大的變化。同時，科學家還想知道，如果球台不是我們常見的四方形，而是多邊形，情況又會是什麼樣。」

物理學家們100多年前就試圖研究這個乍看之下並不很困難的問題，結果，人們至今仍在思考這個問題——它比前人想像得要複雜得多。

大自然給人們呈現出紛繁莫測的表象，而使其中深藏著的簡單真相浮現出來，就是于飛心目中數學家的工作理念。

伊朗女數學家米爾扎哈尼和巴西數學家阿維拉獲得2014年菲爾茲獎的部分工作就出自此領域。而于飛提出的猜想被視為20年來在該領域中一個核心問題的突破。

幸運降臨的一刻

20世紀90年代中期，孔采維奇和卓里奇用混沌理論中的一組重要指數——李雅普諾夫指數，來描述撞球運動軌跡的「蝴蝶效應」，並建立了這組指數之和與模空間的陳省身類之間的聯繫。「解答這一問題的輪廓逐漸浮現出來。」于飛說，這也成為自己工作的起點。

2012年，德國歌德大學教授穆勒，哈佛大學博士、現就職於美國波士頓學院的陳大衛，德國美因茲大學左康教授和于飛先後給出過孔采維奇和卓里奇在此領域一個猜想的不同證明，且在後一個證明中，他們首次在此領域引進了代數幾何中的具有深刻背景的穩定性概念。

2012年10月的某一天，面對著一些從計算機算出的來自動力系統的數值和理論推導的來自代數幾何的數值，于飛突然意識到也許這些看似不相關的數據中可能存在某種內在的簡單聯繫，利用這種聯繫就能夠為孔采維奇－卓里奇所引入的李雅普諾夫指數找到一個下限值，而這個下限值恰恰來自於代數幾何中的穩定性。

「這個念頭，就是我坐在辦公桌前，腦海里飛舞著幾個領域不同思想之間的關係時，突然閃現出來的，我一下子就覺得如果真實地存在這種簡單又美麗的關係，那確實是一件有趣的事情。」于飛說。那正是艱辛的思維旅程中幸運降臨的一刻。

他非常高興地把這一想法和卓里奇等人分享，之後又寫出詳細闡述這一猜想的論文，公布在arxiv.org網站上。卓里奇激動地回信：「你的猜想看起來非常具有挑戰性，到現在我從未聽說過任何關於單個李雅普諾夫指數的猜想，我們尋找類似猜測的任何努力都沒成功。」而數學家們隨後的工作證明，于飛在猜想中提出的這種簡單關係是正確有效的，他發現了代數幾何和動力系統兩個領域之間的聯繫。

「孔采維奇等數學家給人留下的深刻印象就在於，在他們心中有關於這個世界可能存在方式的整體認知，他們知識面極廣，具有豐富的想像力和深刻的洞察力，能夠發現不同領域之間意想不到的深刻美麗的聯繫。」于飛說，自己正是仿效數學大師的哲學精神，取得了研究進展。

高度抽象的科學

現代數學已經發展為一門高度抽象的科學，與普通人的日常生活經驗更是相距甚遠。

因此，人們常常發問，現代數學研究的「意義」究竟何在？它難道只是聰明大腦所熱衷的一種遊戲嗎？

回答這一問題，黎曼與廣義相對論的聯繫是于飛愛舉的一個例子。19世紀末，當德國數學家黎曼提出對空間的一系列嶄新的數學解釋時，這種超前的理論也為時人所不解。進入20世紀，正是黎曼所奠基的現代數學，為建立廣義相對論提供了工具，而廣義相對論所釋放的威力已經改變了人類生活的方方面面。

「數學研究並不只是一個智慧遊戲，數學家艱苦探尋的真知，是大自然所深藏的奧秘。」于飛說。

于飛現在擔任浙大竺可楨學院數學求是班的班主任。面對這些剛剛準備踏上科學道路的青年學子，他在課堂上講述自己提出的猜想：「確實很難，但也很有意思，能激發同學們探求真理之心。」

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