耳機線打結也是拓撲學？日常現象背後的神奇定理

拓撲很高大上？今天的研究解讀完全沒看懂？其實，它有最接地氣的定理……

定理：你永遠不能理順椰子上的毛。

想像一個表面長滿毛的球體，你能把所有的毛全部梳平，不留下任何像雞冠一樣的一撮毛或者像頭髮一樣的旋嗎？拓撲學告訴你，這是辦不到的。

這個定理被稱為「毛球定理」，由布勞威爾首先證明。用數學語言來說就是，在一個球體表面，不可能存在連續的單位向量場。這個定理可以推廣到更高維的空間：對於任意一個偶數維的球面，連續的單位向量場都是不存在的。

毛球定理在氣象學上有一個有趣的應用：由於地球表面的風速和風向都是連續的，因此由毛球定理，地球上總會有一個風速為 0 的地方，也就是說氣旋和風眼是不可避免的。

毛球定理還有一個意想不到的「應用」是在電子遊戲里！很多人在玩第一人稱射擊遊戲的時候會發現一個問題：當你上移滑鼠，讓你的角色抬頭看天的時候，一個手抖就會發現自己的角色瞬間轉了一百八十度；另一些遊戲里同樣的現象會發生在朝腳底下看的時候。這就是你遭遇了毛球的「旋」。

出現這一現象是因為遊戲引擎需要解決一個數學問題：玩家用滑鼠輸入的數據只是一個視線軸，遊戲畫面其實理論上可以繞這個軸任意旋轉的。那麼實際的畫面到底應該哪裡是上哪裡是下呢？這就需要給每一個滑鼠數據對應一個方向——也就是一個向量場。不幸的是，毛球定理指出這個場一定有至少一個不連續點，所以在這個點附近，滑鼠極其微小的運動都會導致畫面大幅翻轉。

而VR設備就不存在這個問題了，因為決定VR畫面的不僅僅是滑鼠位置這一個變數，它有一整個頭戴設備呢，所以就不會出現旋。

定理：對於任何一個火腿三明治，一定能切出一刀，使得其中的兩片麵包和一片火腿都各自分成大小相同的兩等分。

「任何一個」這個詞是很寬鬆的——組成三明治的食材不必相互接觸，每個食材本身也不必是一片而可以是很多片。哪怕你把三明治放進攪拌機打成了醬，或者撕碎了通通餵給鴨子，都沒有關係——只要你的三明治分成三部分，那就一定有一刀，能夠把每一部分都切成等量的兩半。

它還可以擴展到n維的情況：如果在 n 維空間中有 n 個物體，那麼總存在一個 n - 1 維的超平面，它能把每個物體都分成「體積」相等的兩份。

這個定理被稱為——如你所料——「火腿三明治定理」。最早由斯蒂芬·巴拿赫證明，在代數拓撲里出現，在測度論里也有重大的用途。

定理：國際日期變更線是不可或缺的。

地球上的時區兩兩之間是相連的，東八區之後是東九區，再之後是東十區，依此類推——但有一個例外：國際日期變更線。它兩邊差開了一天。

能不能設計出一種不需要國際日期變更線的時區體系？答案是不能，分得再細再繁瑣也不行。這是拓撲學中博蘇克-烏拉姆定理在一維情況下的推論，該定理是烏拉姆提出的，由博蘇克在1933年證明。

實際上這個定理本身的表述是「任意給定一個從 n 維球面到 n 維空間的連續函數，總能在球面上找到兩個與球心相對稱的點，他們的函數值是相同的。」當令n=1的時候，就變成了赤道和時間的對應。

這個定理還有一個推論是，在地球上總存在對稱的兩點，它們的溫度和大氣壓的值正好都相同。

定理：握住一個裝滿咖啡的咖啡杯，在不鬆手也不灑咖啡的前提下，必須讓咖啡杯旋轉兩圈才能讓你的手、胳膊和咖啡杯回到原狀。

（請勿用熱咖啡嘗試本實驗。）

方法：伸出手向前反手握住咖啡杯，然後逐漸向胸前旋轉，從腋下穿過，這是第一圈。此時咖啡杯轉完了一圈，但胳膊已經扭曲成了奇怪的形狀。這時將胳膊抬高，從頭頂再轉過第二圈，才能讓一切復原。

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知道你們沒讀懂，我們特邀編輯Calo演示了一遍。手殘黨矚目：你們用空杯子就好，以免灌自己一脖子水。

實際上你的手和咖啡杯的旋轉在拓撲學中稱為旋轉群SO（3）；完全回到原狀就等於在SO（3）里畫出了一個環。拓撲學中，SO（3）的基本群是「Z/2」——這意味著，你要讓咖啡杯復原兩次，才能讓你的整個胳膊復原一次。

也就是說，如果在商場的地板上畫了一張整個商場的地圖，那麼你總能在地圖上精確地作一個「你在這裡」的標記。

1912 年，荷蘭數學家布勞威爾證明了這麼一個定理：假設 D 是某個圓盤中的點集，f 是一個從 D 到它自身的連續函數，則一定有一個點 x ，使得 f(x) = x 。換句話說，讓一個圓盤裡的所有點做連續的運動，則總有一個點可以正好回到運動之前的位置。這個定理叫做布勞威爾不動點定理（Brouwer fixed point theorem）。

除了上面的「地圖定理」，布勞威爾不動點定理還有很多其他奇妙的推論。如果取兩張大小相同的紙，把其中一張紙揉成一團之後放在另一張紙上，根據布勞威爾不動點定理，紙團上一定存在一點，它正好位於下面那張紙的同一個點的正上方。

這個定理也可以擴展到三維空間中去：當你攪拌完咖啡後，一定能在咖啡中找到一個點，它在攪拌前後的位置相同（雖然這個點在攪拌過程中可能到過別的地方）。

還有耳機線……

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