問世間結為何物：近代數學和拓撲物態中的紐結論
編者按
如果我們有兩團自相纏繞的繩圈（數學上也叫紐結），它們能不能通過連續變形變到另外一個？注意這裡可不能像亞歷山大大帝那樣用劍把繩子砍斷[1]，然後再把它們接起來。這是一個非常有趣的數學問題，而且是一個數學難題。對這個問題的深刻理解曾獲得數學上的最高獎——菲爾茲獎。
解決這道題的一個思路，就是找一個演算法，使得每一個扭結都能算出一個數。這個演算法必須非常巧妙：當紐結連續變形時這個數必須保持不變。這樣的數就被叫做紐結的拓撲不變數。當然這樣的演算法不是唯一的。扭結可以有各種不同種類的拓撲不變數。如果我們知道扭結所有可能的拓撲不變數，就可以對紐結所有可能的種類做一個完全分類，這樣我們對紐結就有了一個全面的了解。王正漢這篇文章就是想把你帶入扭結和它們的拓撲不變數這樣一個奇妙的數學世界。作者還意在引導對數學感興趣的讀者：如何成為一個數學家，如何擁有數學家的思考方式。
令人意想不到的是，這也是一個奇妙的物理世界。由分數量子霍爾效應和量子自旋液體為代表的拓撲物態，就和數學中的扭結理論密切相關。拓撲物態比大家熟知的氣態液態固態要神奇豐富得多。那如何來理解拓撲物態中的奧妙之處呢？拓撲物態會有各種各樣的拓撲缺陷。當我們把這些點狀的拓撲缺陷移來移去相互纏繞時，它們在時空上的軌跡就是一個扭結。而這些物理操作所導致的可以測量到的量，正好是時空上紐結的拓撲不變數。實際上，不同種類的粒子正是由它們時空紐結的拓撲不變數來刻畫的。玻色子、費米子、分數統計、非阿貝爾統計等等，都對應於紐結不同的拓撲不變數。
就這樣，紐結漂亮的數學理論就變成了拓撲物態和拓撲序的數學基礎。這是近代數學和近代物理的一次完美結合。數學中的紐結理論及它的推廣——張量範疇學——和凝聚態物理中的拓撲物態拓撲序都是近年來非常活躍的領域。希望讀者通過這篇文章，一窺近代數學近代物理中的神奇。
——文小剛
圖中圓圈代表拓撲物態中的拓撲激發。它們之間的纏繞移動是由扭結來描寫的。這些紐結可以描寫粒子的玻色、費米、或非阿貝爾統計性質，也可以用來做拓撲量子計算。
撰文
王正漢（美國微軟研究院研究員）
古人結繩記事。延續祖先的思維，我們用繩圈來描述粒子的軌跡，記錄它們的運動，進而探討繩圈數學的應用拓撲量子計算。
繩圈的數學叫紐結論，是一門趣味盎然的學科。在此我們僅介紹新的紐結不變數瓊斯多項式（Jones polynomial）及其在量子計算中的應用。如果讀者有興趣，我們推薦姜伯駒教授所著的《繩圈的數學》。紐結論不僅是一門高深的數學理論，在物理、生物和量子計算機學科中也有許多應用。從上世紀八十年代開始，量子力學的思想深刻地影響著拓撲學的發展，形成了量子拓撲學。
留美數學家林曉松教授（1957~2007）對量子紐結論的發展作出了很多開創性的貢獻。謹以此文紀念這位重要的拓撲學家。他所鍾愛的量子紐結論正走出數學，成為現代科技的一個有機部分。
圖中第一個紐結和最後一個紐結（平凡紐結）同屬一類 。其實圖中所有的紐結都是等價的，屬於同一個等價類。
無論是系領帶，還是系鞋帶，我們都是在用繩子打結。但日常生活中的結和數學家們研究的結有所不同。首先數學家用來打結的不是繩子，而是理想化的繩子——曲線；其次數學家的結是一個繩圈的模型——閉路線圈，也就是說繩子要首尾相連。如果不是首尾相連，那麼不管多麼複雜的結都能解開，也就是說變成直線段。
紐結論是研究理想化的結的一門數學學科，它是拓撲學的一個重要分支。平面上的圓代表數學家最簡單的紐結，叫做平凡結。一個不能變成圓的紐結叫做非平凡結。是否存在非平凡結呢？只要我們用繩子做一些實驗，就不難相信存在非平凡結，也就是死結。下面的結是最簡單的非平凡結（左圖），叫三葉結。許多水手愛打這個結（右圖）：
三葉結
如果把右邊的結頭尾連在一起，但不可以從任何地方剪斷繩子，不管我們怎樣做，我們都不能把它變成平面上的圓。儘管很直觀，但要證明存在非平凡結卻非易事，因為我們需要排除任何可能的解法，但可能的解法多得無法想像。我們怎樣才能肯定所有的解法都試過了呢？下面我們看看拓撲學家是怎樣解決這個問題的。
1. 紐結論
1.1 紐結
拓撲學家用曲線打結。曲線的嚴格數學理論要用到微積分。為了簡便，我們將用直線段打結。因為光滑曲線可以看成是由很短的直線段構成的，所以這樣得到的理論跟用曲線得到的理論是等價的。但這個理論只用到非常初等的知識。
現在嚴格定義我們的研究對象。如果有一些直線段，它們可以長短不一，然後一段接一段地把它們在空間里連在一起，形成一個閉線圈。如果構成閉線圈的任何兩條直線段或者不相交或者只交於一個端點，我們就把這個閉線圈叫做一個幾何紐結。比如下面的幾何紐結分別代表平凡結和三葉結。平面上的任何一個多邊形都是一個幾何紐結。顯然存在無數多的幾何紐結。
平凡結（左）和三葉結（右）
拓撲學的一個基本特徵是不關心物體的長短、厚薄、粗細。對拓撲學家來說，所有大大小小不同形狀的三角形都代表同一個紐結——平凡結。不僅如此，所有平面上的多邊形都代表同一個紐結。如果我們是用繩子打結，這很容易理解。由繩子做成的三角形是很容易變成四邊形，五邊形。反過來也一樣，四邊形和五邊形也可以變成三角形。儘管我們的理論將會是基於由直線段打成的結，但我們可以用繩子打成的結來思考。
為了交流方便，我們引進一些名詞。一個幾何紐結上的任何一條直線段，我們都叫它是這個幾何紐結的一條邊。拓撲學家只關心紐結的所謂拓撲性質。像一條邊有多長是不重要的。為了研究幾何紐結的拓撲性質，我們會引進一個拓撲等價關係。兩個拓撲等價的幾何紐結將會被看成是同一個拓撲紐結，簡稱紐結。從概念上來講，紐結和幾何紐結是完全不同的。幾何紐結是具體的，紐結是抽象的。嚴格地講，一個紐結是由所有拓撲等價的幾何紐結所形成的等價類。
給定一個幾何紐結 K 和它的兩條相連的邊 A 和 B。假設 A 的末端連在 B 的首端，用一條新線段 C 連接 A 的首端和 B 的末端（見下圖）。如果 C 和 K 別的邊都不相交（但可以和 A、B 重和），我們可以從 K 的邊中拿掉邊 A 和邊 B，然後加入C 得到一個新的幾何紐結，叫它 K 。我們把從邊 A、B 到邊 C 或者反過來從邊 C 到邊 A、B 的變換叫做一個三角形變換。注意三角形變換有一種特殊情況，在一條邊的內部加一個點變成兩條邊，或者反過來。如果由 A、B、C 所形成的三角形的內部與 K 的除 A、B 以外的任何邊都不相交，我們稱這樣的三角形變換為- 變換。如果 K 能通過有限次的- 變換變成 K ，那麼兩個幾何紐結 K 和 K 就是拓撲等價的。我們以下將拓撲等價簡稱為等價。
-變換
如果 K 是由 K 通過一個三角形變換得到的，那麼 K 和 K 有時是等價的，有時是不等價。本節開始的平凡結可以從它右邊的三葉結通過一個三角形變換得到，但它們是不等價的。
最簡單的紐結是平凡結，它是包括所有三角形在內的幾何紐結的等價類。實際上，平面上所有多邊形都代表平凡結。給一個紐結，我們叫它的任何一個幾何紐結為它的一個代表。
思考題
1. 證明平面上所有多邊形都可以通過有限次- 變換變成一個三角形。
2. 證明所有四邊形，不限於平面上，都等價於三角形。
1.2 紐結不變數
我們都相信存在非平凡結，但怎樣證明呢？也就是說，存在一個幾何紐結，無論一個人多麼聰明，花多長時間，做多少-變換，都不可能把這個幾何紐結變成一個三角形。拓撲學家的想法很簡單，引進所謂的不變數。我們給每一個幾何紐結一個我們熟悉的量，比如一個數，或者一個多項式，我們把這個量叫做不變數。如果這個量在任何-變換下不變，即兩個等價的幾何紐結所得到的量是一樣的。但不等價的紐結也有可能得到同樣的量。
定義不變數是一件很容易的事。譬如，我們可以給所有平凡幾何結 1，給所有別的幾何紐結 0。但這個不變數對於研究紐結來說，毫無用處。考慮所有紐結形成的集合，從這個集合到實數的任何一個映射都是一個紐結不變數。用這個想法，我們可以定義一個有用，但很難計算的紐結不變數：離散長度。給定一個紐結，把這個集合里的所有幾何紐結的邊數的最小值取出來，這是一個正整數。我們把這個正整數叫做這個紐結的離散長度。它反映出如果真的用繩子打這個結，我們至少需要一定長度的繩子。不難證明，平凡結的離散長度是3，而三葉結的離散長度是6。本節開始的五邊三葉結實際上需要六條邊。
紐結論的重要問題是如何分類紐結。即，給出一個幾何紐結的集合，使得在這個集合里每一個紐結都有且只有一個幾何紐結代表。拓撲學家希望能找到一個完備的紐結不變數，即一個不變數使得不同的紐結會有不同的不變數。如果我們有這樣一個不變數，紐結的分類就簡化成這個不變數的計算。存在不少的完備紐結不變數，但我們還沒有發現完備而容易計算的不變數，或許這樣的不變數是不存在的。
思考題：
1. 當離散長度足夠大時，我們可以得到不同的紐結。最小的離散長度使我們可以得到不同的紐結是多少？我不知道答案。
2. 在紐結上取個方向，我們就可以定義兩條相鄰邊的角度。用這些角度定義一個紐結不變數。
1.3 紐結投影
想研究紐結，我們就要有辦法把所有紐結都畫出來。拓撲學家的辦法是利用紐結在平面上的投影。前面我們已經看到，在平面上是畫不出非平凡結的。紐結是我們所生存的空間的一個現象。如果你聽說過四維或更高維空間，在那裡面同樣畫不出非平凡結。為了能在平面上表示出非平凡結，我們就必須記住紐結的一些空間性質。
給一個幾何紐結，想像在它的後面遠處有一個屏幕。如果我們把這個幾何紐結投影到這個屏幕上會是什麼樣子？一條線段的投影是一條線段或是一個點，所以紐結的投影是一個由線段組成的閉路，但可能有很多交點：雙重點，三重點等等。如果我們稍微移動一下後面的屏幕，我們可以做到這樣：沒有任何一條直線段被投影成一個點，而且只有直交的雙重交點；任何其它類型的交點都叫奇點。沒有奇點的紐結投影叫正則投影。雖然我們不難相信存在正則投影，但嚴格證明並不顯然。有興趣的同學可以自己試試。
奇點
交叉點
如果可以用曲線，通常我們會把下面那條邊畫在平面上，而上面的那條邊在雙重點附近畫在平面上面。但如果只能用直線段，我們可以把上面那條直線段變成兩條線段稍微高於平面，使得原來的端點的投影都在平面上。我們把這樣由正則投影圖得到的圖叫紐結圖。一個幾何紐結和它的任何一個紐結圖是拓撲等價的。所以在很多情況下，我們只需要考慮紐結圖。
正則投影
一個紐結會有很多紐結圖，但它們全都等價。給定兩個紐結圖，怎樣決定它們是否代表同一個紐結呢？原則上我們已經知道答案：只要考慮所有- 變換的正則投影。實際上這個辦法卻很難應用，因為- 變換中的三角形可以很大。紐結論里的一個著名定理把- 變換簡化到下面三組變換，叫瑞德邁斯特（Reidemeister）移動RⅠ，RⅡ，RⅢ，反之亦然。
瑞德邁斯特移動
我們可以證明：
瑞德邁斯特定理：兩個紐結圖 D 和 D 所代表的紐結是等價的，當且僅當 D 能通過有限次的瑞德邁斯特移動變成 D 。
由於這個定理，紐結論也可以只研究紐結圖和它們在瑞德邁斯特移動下的等價類。以下一組圖證明 RⅢ 移動可以用- 變換實現。
RⅢ與-變換
思考題：
1. 證明只有一個或兩個交叉點的紐結圖總表示平凡結。
2. 證明所有紐結的集合是可數的，即我們可以把它們和正整數一一對應。
2. 瓊斯多項式
1984年，紐西蘭數學家瓊斯（V. Jones）發現了一個全新的紐結不變數，叫做瓊斯多項式。瓊斯多項式的發現引起了紐結論里的一場革命，進而推動了一個新的拓撲方向——量子拓撲的產生。瓊斯多項式其實不是嚴格意義下的多項式，因為它的變數的次方可以是負整數和分數。
我們首先引進一些定義和記號。假設 D 是一個有 n 個交叉點的紐結圖。如果給每個交叉點一個標號 A 或 B，我們就叫 D 的一個態，記作 s。給定 D 上一個交叉點和一個標號 A 或 B，我們可以在這個交叉點的附近做一個手術（surgery）：
手術
上圖裡的手術的規則是這樣的：在交叉點的附近，從上面的邊逆時針旋轉到下面的邊，上面的邊會掃過兩個區域（一個交叉點把平面分成四個區域），稱為 A 區，另外兩個稱為 B 區。A 手術就是打通 A 區，而 B 手術就是打通 B 區。
假設 t 是一個參數變數。給定 D 的一個態 s，那麼每一個交叉點都有一個 A 或 B。如果是 A，我們就做 A 手術，如果是 B，我們就做 B 手術。每一個手術都從紐結圖中去掉一個交叉點，當所有手術完後，我們得到平面上的一些閉線路，這些閉線路的個數記作 d(s)。我們用 s(A)表示態 s 上 A 型交叉點的個數，同樣用 s(B)表示態 s 上 B 型交叉點的個數。
讓
。
定義，這個和一共有 2n項。我們叫為 D 的考夫曼（L. Kauffman）括弧。
每個紐結圖有兩個方向：從圖上的某點出發，沿紐結圖朝前或後走一圈。取定紐結圖 D 的一個定向，每條邊都有一個方向。我們給每個交叉點一個符號：正負1。如下：
符號
改任何一個箭頭，符號正負1互換。注意，當我們取的是另一個方向時，符號不變。因為每個交叉點的兩條邊方向同時改變，所以這個符號是不依賴於紐結的方向的。
把D的所有交叉點的符號的和記作w(D)。
最後定義紐結圖 D 的瓊斯多項式
可以證明 J(D; t) 在瑞德邁斯特移動下不變，所以確實是一個紐結不變數。這就是著名的瓊斯多項式。給一個紐結 K，它的瓊斯多項式 J(K; t) 定義為 K的任何紐結圖的瓊斯多項式。
平凡結的瓊斯不變數是，因為圓只有一個態：無交叉點，但有一個閉線路。而三葉結的瓊斯多項式是。所以三葉結一定是非平凡的。
由多個不相交的紐結組成的多條曲線叫鏈環。拓撲學家除研究紐結外，也對鏈環感興趣。瓊斯多項式可以定義在鏈環上，但鏈環必須有定向。如果處理好定向，我們前面的所有討論都對鏈環適用。我們把細節留給讀者，給一個定向鏈環 L，它的瓊斯多項式也記作 J(L; t)。
有了鏈環的瓊斯多項式，我們可以有一個計算瓊斯多項式的線團（skein）關係式。假設L+是一個鏈環圖（帶定向），而p是L+上的一個交叉點。如果我們把交叉點p的兩條邊上下換了，我們就有一個新的鏈環圖，記作L_；我們也可以順方向光滑L+，得到另一個鏈環圖L（見下圖）。我們可以證明，這三個鏈環的瓊斯多項式滿足以下恆等式：
線團關係式
用線團關係式，我們可以遞推得計算瓊斯多項式。因為每一個定向鏈環的瓊斯多項式 J(L; t) 除以還是一個鏈環不變數，我們定義，這樣平凡結的不變數就變成1。V(L；t) 也叫瓊斯多項式，也滿足線團關係式。
瓊斯多項式是一個非常重要的鏈環不變數。然而從定義或線團關係式進行計算，非常複雜。如果一個鏈環有 n 個交叉點, 那麼計算它的瓊斯多項式就需要做 2n個和。學過冪指數的都知道指數增長的速度：據估計整個可見宇宙里的基本粒子數不會超過 2200。所以計算 200 個交叉點的鏈環的瓊斯多項式，要加的和數已經不可思議。但有沒有別的聰明辦法高效地計算鏈環的瓊斯多項式呢？數學家們相信高效的演算法是不存在的。但是如果我們有量子計算機，我們就可以高效地逼近瓊斯多項式的值。瓊斯和威騰都因為他們在紐結上的出色工作獲得菲爾茲獎。
紐結分類表
思考題：
1. 把每一個交叉點的上下互換，瓊斯多項式怎樣變化？
2. 改變鏈環的方向，瓊斯多項式怎樣變化？
3. 是否存在非平凡結而它的瓊斯多項式和平凡結是一樣的？這個問題極難，我們還不知道答案。
注釋
[1]根椐基維百科："戈耳狄俄斯之結（Gordiusknot,英文Gordian Knot）是亞歷山大大帝在弗里吉亞首都戈爾迪烏姆（英語：gordium）時的一個傳說故事。
傳說這個繩結的製作者名叫戈耳狄俄斯（Gordius），他是很早以前弗里吉亞（Phrygia）的國王。戈耳狄俄斯原本是農夫出身。一天在他耕地時，一隻鷹突然落在牛軛上不肯離開，於是他趕著牛車往城裡的神廟中尋求幫助。在城門口碰到一位同鄉的女祭司，女祭司願和他同行。戈耳狄俄斯當時尚未結婚，被女祭司青春美貌所打動，在途中向她求婚，女祭司答應了。
正當此時，弗里吉亞國王去世，他無兒無女，王位出現空缺。國人得到神諭說未來的國王與王后正坐著牛車往這兒趕。國人找到戈耳狄俄斯，要他登上王位。
戈耳狄俄斯忽然間又得江山又得美人，對薩巴茲烏斯（後來希臘人認為是宙斯）感激不盡。為表達謝意，他決定把那輛為他帶來好運的牛車獻給宙斯。為防止別人把車偷走，他用繩子把車牢牢捆住，並打下了一個難解的結。這便是「戈耳狄俄斯之結」的由來。
根據傳說，這個結在繩結外面沒有繩頭。亞歷山大大帝來到弗里吉亞見到這個繩結之後，拿出劍將其劈為兩半，解開了這個問題。當夜下起了雷雨，軍中預言家亞里斯坦德宣稱這是宙斯的喜悅，並將賜予亞歷山大許多勝利。後世作家記錄了一個神諭：解開戈耳狄俄斯之結之人就可當亞細亞之王（應是指小亞細亞）。這個神諭後來似乎正好應驗。"
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