還有哪些類似0.99999…＝1有趣的事實？

初聽到0.99999…=1都會嚇一跳，不符「常識」，解釋之後又感覺數學的魅力所在。

還有那些這樣的例子？

再比如：

給地球和小皮球做一個緊箍的鋼環，同時給鋼環擴大1米，哪個球的平均空隙大？（答案是一樣大）

又如皮筋與螞蟻問題：

一隻螞蟻在理性彈性繩的一端，向另一端以每秒1cm的速度爬行。彈性繩同時以每秒1m的速度均勻地拉長，螞蟻能否爬到終點？

看起來不行吧？沒錯，答案是「能」。

簡單的解釋就是假設彈性繩的速度是每秒0.9cm，那麼直覺上螞蟻就能爬到終點。而彈性繩均勻拉長意味著其上總有一點的速度是每秒0.9cm，也就是說螞蟻可以爬到這個點。接下來把整個彈性繩分段就好了。

另外沒必要說高深的理論，一些簡潔平凡的結論就挺有趣了。看起來難以理解，想一想就恍然大悟。

無窮是個很無賴的概念……什麼構造出一個全體分數集（有理數）對應正整數集的……

級數裡面全體自然數之和為-1/12

微積分當中最妙又最簡潔的當屬「擺線長度等於圓直徑四倍」，這條與圓息息相關，怎麼看怎麼「無理」的一條線，長度不僅和π沒有關係，還是個漂亮的整數倍！：

當時知道「半球體積等於等底等高的圓柱切去一個圓錐的體積」的直觀解釋的時候真的是拍案稱奇。

不知道算不算幾何學，但是萊洛三角形是挺神奇的。平穩地搬運東西不一定要用圓木。

而且，不說複雜的，三角形的四心（重心、垂心、內心、外心）也很神奇啊，三種重要的線都匯聚到某個點上。

迷宮的萬能解法也挺流氓的……不過這個算圖論或者拓撲學了……說到圖論，四色猜想也很經典，然而這個不是「想一想就恍然大悟」的部分了……

對了，拓撲學裡還有個「同胚」的神奇概念，例如下面這兩個就是拓撲等價的：

類似的，我們還可以得到「8字環和圓環同胚」的結論。在實際生活中也有應用：不打開繩結、不割斷繩子，是可以把下圖的兩個人解開的。

代數算是比較按部就班的領域了……五次方程沒有公式解是個挺令人沮喪的事實……

另外尺規作圖無法三等分角也是挺令人沮喪的，更有趣的是這個幾何問題要用比較深的代數方法解決。

不過有很多經典的問題可以歸入代數：

上下山問題：上山速度3m/s，下山速度5m/s，平均速度不是4m/s。

芝諾悖論：

阿基里斯的速度是烏龜的百倍，烏龜在阿基里斯前一百米。當阿基里斯跑到烏龜現在的位置時，烏龜多跑出去了一米；阿基里斯追上這一米時，烏龜又多跑了一厘米；以此類推，阿基里斯永遠追不上烏龜。（0.999…=1與芝諾悖論是異曲同工）

數論里有個很妙的結論，N之前素數的分布頻率與ln(N)/N幾乎相合，更準確的版本是：

對了，調和級數是發散的！

另外……既然提到了0.999...我覺得有很多日經問題都可以說呀：

三門問題：

（說實話我到現在還是不明白為什麼有人會覺得兩扇門獲獎率一樣……）

男女孩問題：

一家人有兩個孩子，其中有一個女孩。另一個孩子是男孩的概率是2/3。

「魔術師地毯」類問題：

生日悖論：

23人中有兩人生日相同的概率大於50%，50人時就可以升高到97%。

下面這個來自M67的Blog，告訴你為什麼大家不把「找規律填數」當數學：

圓上有 n 個點，兩兩之間連線後，最多可以把整個圓分成多少塊？上圖顯示的就是 n 分別為 2 、 3 、 4 的情況。可以看到，圓分別被劃分成了 2 塊、 4 塊、 8 塊。規律似乎非常明顯：圓周上每多一個點，劃分出來的區域數就會翻一倍。

事實上真的是這樣嗎？讓我們看看當 n = 5 時的情況：

果然不出所料，整個圓被分成了 16 塊，區域數依舊滿足 2n-1 的規律。此時，大家都會覺得證據已經充分，不必繼續往下驗證了吧。偏偏就在 n = 6 時，意外出現了：

此時區域數只有 31 個。

下次還有人問你找規律填數，沒啥興趣的話可以這麼回答：答案是oo，因為這是一個以xx為周期的循環數列。

來源：演算法與數學之美

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