時空的樂章──引力波百年漫談（二）：從牛頓引力到愛因斯坦時空

引力質量等於慣性質量

（圖片來源：http://www.dummies.com/how-to/content/einsteins-general-relativity-theory-gravity-as-acc.html）

作者盧昌海

1687 年， 牛頓出版了一部名為《自然哲學的數學原理》 (Mathematical Principles of Natural Philosophy) 的著作， 建立了以牛頓三大運動定律 (Newton"s Three Laws of Motion) 為基礎的動力學體系。 在這一動力學體系中， 與具體計算關係最為密切的 「第二運動定律」 可用現代符號表示為：

F = ma(2.1)

其中m是物體的質量，F是作用在物體上的力，a是物體的加速度。 這一定律引進了作為運動原因的力的概念， 並將之與運動的加速度定量地聯繫了起來。

與引進力的概念相匹配地， 《自然哲學的數學原理》一書的另一項重大成就是具體給出了一種力——而且是有著基礎意義的力——的規律， 這種力就是萬有引力， 這一規律被稱為牛頓萬有引力定律 (Newton"s law of universal gravitation)。 牛頓萬有引力定律給出了兩個間距為r， 質量分別為M和m的物體之間的引力F， 其具體形式為[1]：

F = GMm/r2(2.2)

出現在這一公式中的 G 是一個普適常數， 稱為牛頓萬有引力常數 (Newton"s universal gravitational constant)。 當然， 這是以現代符號加以表述的結果， 牛頓的《自然哲學的數學原理》一書雖總體上是相當數學化的 (不過所用的數學工具偏於古典幾何而非牛頓自創的微積分)， 對定律的表述卻是文字化的， 因而並未直接提供如 (2.2) 式那樣的數學形式。

由上述牛頓第二運動定律 (2.1) 式和萬有引力定律 (2.2) 式可以很容易地推出伽利略所發現的重物下落規律 (1.3) 式， 因為 (2.2) 式表明物體所受的引力正比於它的質量， 而 (2.1) 式告訴我們物體在給定外力的作用下運動時， 加速度反比於它的質量。 力正比於質量， 加速度反比於質量， 質量因此而被消去， 從而物體在引力作用下的加速度與它的質量——以及其他性質——無關。 具體地說， 在沒有其他外力的情形下 (除非有特殊需要， 這一條件在下文中將不再提及， 但始終假定為成立)， 任何物體在與之相距r， 質量為M的物體的引力作用下運動的加速度為：

a = GM/r2(2.3)

很明顯， (2.3) 式右側給出的正是 (1.3) 式中的常數， 在後世的術語中， 也被稱為質量為 M 的物體在與之相距 r 處產生的引力場——或者更確切地說是引力場的場強[2]。 利用牛頓的萬有引力概念及後世引進的引力場這一術語， 伽利略發現的重物下落規律可以重新表述為： 物體在引力場中的加速度由物體所在之處引力場的場強所決定， 而與它的質量——以及其他性質——無關。 這樣， 牛頓萬有引力定律就不僅涵蓋了伽利略所得到的有關重物如何下落的運動學結論， 而且從動力學上解釋了重物為什麼會下落， 完成了伽利略未能涉及的部分。

牛頓 (1642 – 1727)

關於牛頓萬有引力定律， 還有一點值得說明的是： 後世的物理學家喜歡把表示萬有引力定律的 (2.2) 式中的質量稱為 「引力質量」 (gravitational mass)， 以區別於表示牛頓第二運動定律的 (2.1) 式中的 「慣性質量」 (inertial mass)。 更有甚者， 「引力質量」 還被進一步區分為產生引力的所謂 「主動引力質量」 (active gravitational mass) 和感受引力的所謂 「被動引力質量」 (passive gravitational mass)。 這些質量的彼此相等則被視為額外的原理。 這種後世物理學家出於表述其他觀念的便利而引進的繁瑣性在牛頓的原始表述中是不存在的。 關於引力與質量的關係， 牛頓的原始表述是：

引力普遍存在於所有物體之間， 正比於每個物體的物質的量。

而所謂 「物質的量」 (quantity of matter) 則正是《自然哲學的數學原理》開篇第一個定義所給出的、 被後世稱為 「慣性質量」 的質量， 也是牛頓引進的唯一質量概念。

牛頓萬有引力定律是真正的引力理論， 而且可以說是物理史上第一個稱得上輝煌的理論。 天體的運行、 大海的潮汐都近乎完美地遵循著牛頓萬有引力定律， 藉助這一定律的威力， 天文學家們甚至像大偵探一樣， 依據已知天體的運動推斷出了太陽系第八大行星——海王星——的存在乃至位置， 譜寫了物理史上最令人印象深刻的篇章之一[3]。

但是， 牛頓萬有引力定律雖然輝煌， 它的一個特點卻在另一位科學巨匠眼裡成了問題， 那位科學巨匠的名字叫做愛因斯坦。

1905 年， 愛因斯坦提出了著名的狹義相對論 (special relativity)。 狹義相對論一問世， 牛頓萬有引力定律就成了一個老大難問題。 這是因為牛頓萬有引力定律有一個特點， 那就是不含時間， 從而意味著引力的傳播是瞬時的。 不幸的是， 狹義相對論卻有一個速度上限： 光速 (speed of light)。 瞬時傳播的引力跟有速度上限的狹義相對論顯然是相互衝突的， 用愛因斯坦本人的話說： 「以自然的方式將引力理論與狹義相對論聯繫起來很快就被發現是不可能的了。」

愛因斯坦 (1879 – 1955)

這個牛頓萬有引力定律與狹義相對論相互衝突的問題深深吸引了愛因斯坦的注意力。1907 年， 他應德國《放射性與電子學年鑒》 (Jahrbuch der Radioaktivit?t und Elektronik) 期刊編輯斯塔克 (Johannes Stark) 的約稿撰寫一篇題為 「關於相對性原理和由此得出的結論」 (On the Relativity Principle and the Consequences Drawn From It) 的綜述。 在那期間， 他忽然在思考這一問題上取得了後來被他稱為 「一生中最快樂的思想」 的概念突破。

這一突破究竟是什麼， 又是如何產生的呢？ 1922 年 12 月 14 日， 愛因斯坦在日本京都大學的一次題為 「我是如何創立相對論的」 (How I Created the Theory of Relativity) 的演講中作了回顧：

我坐在伯爾尼專利局的辦公室椅上， 一個想法突然閃了出來： 如果一個人自由下落， 他將感受不到自己的重量。 我吃了一驚。 這個簡單的思想實驗給我留下了深刻印象， 將我引向了引力理論。 我繼續自己的思考： 一個下落的人是加速著的， 因此他的感受和判斷是在加速參照系中發生的。 我決定將相對論推廣到加速參照系。 我覺得這樣做將能同時解決引力問題。

沿著這一思想實驗的啟示， 愛因斯坦提出了著名的等效原理 (equivalence principle)， 即引力場中任何一個時空點附近都存在所謂的局域慣性參照系 (locally inertial reference frame)， 其中的物理規律與不存在引力場時的慣性參照系裡的物理規律相同[4]。 依據這條原理， 愛因斯坦思想實驗中自由下落的人之所以感受不到自己的重量， 是因為他的自由下落使他處於了局域慣性參照系中， 從而引力場彷彿不存在了。

等效原理是一條新原理， 但它的根基是古老的， 深植於被伽利略等人注意到， 並經牛頓萬有引力定律所確認的「物體在引力場中的加速度由物體所在之處引力場的場強所決定， 而與它的質量——以及其他性質——無關」 這一規律上。 因為否則的話， 假如組成人體的各種物質在引力場中的加速度因任何性質的差異而各不相同， 則哪怕自由下落也無法 「感受不到自己的重量」， 更遑論其他物理規律與慣性參照系裡的物理規律相同了。

等效原理為構建新的引力理論提供了思路， 因為局域慣性參照系裡的物理規律既然與不存在引力場時的慣性參照系裡的物理規律相同， 那就可以由狹義相對論來描述。 那麼引力場中的物理規律是什麼呢？ 答案就在愛因斯坦那 「一生中最快樂的思想」 里， 也就是 「將相對論推廣到加速參照系」。

具體地說， 狹義相對論有一條所謂的 「相對性原理」 (principle of relativity)， 它要求物理規律在所有慣性參照系中都具有相同形式， 而 「將相對論推廣到加速參照系」 則要求物理規律哪怕在非慣性參照系——也就是任意參照系——中也具有相同形式， 這被稱為廣義相對性原理 (generalized principle of relativity)， 其數學表述被稱為廣義協變原理 (principle of general covariance)。 在此基礎上最終構建出來的引力理論則被稱為廣義相對論 (general relativity)。

依據等效原理， 引力場 「有」 和 「無」 的區別——局域地講——只是參照系的區別， 從而可以通過從局域慣性參照繫到一般參照系的坐標變換來體現， 具體的體現方式則由廣義協變原理所確定。 這聽起來有些抽象， 做起來其實並不複雜， 因為在狹義相對論之後， 基礎物理定律已大都表述為了具有洛侖茲協變性 (Lorentz covariance) 的張量方程， 這種方程距離廣義協變原理的要求只有一步之遙， 我們要做的只是將局域慣性參照系中洛侖茲協變的張量方程改寫為在任意坐標變換下都成立的所謂廣義協變的張量方程即可。 這雖偶爾會出現需通過物理分析加以排除的歧義， 一般而言在數學上是輕而易舉的， 往往只需依照所謂的 「最小替換法則」 (minimal substitution rule)， 將狹義相對論中的閔科夫斯基度規 (Minkowski metric)ημν換成一般度規gμν， 將普通導數?μ換成協變導數?μ即可。 從這個意義上講， 廣義協變原理對物理規律基本不構成約束 (但作為數學要求則是很強的)。 一旦物理規律被表述為廣義協變形式， 引力場的影響——即引力效應——也就被涵蓋在內了。

不過這一切對於構建廣義相對論來說都是外圍的東西， 因為漏掉了一個最重要的因素， 那就是引力場本身的規律。 其他物理規律都可以通過將局域慣性參照系中的——也就是狹義相對論中的——物理規律改寫為廣義協變形式而得到， 唯獨引力場本身的規律不行， 因為引力在局域慣性參照系中是不存在的。

那麼引力場本身的規律該如何得到呢？ 剛才提到的 「最小替換法則」 其實已給出了一個重要提示。 因為 「最小替換法則」 意味著引力效應全都體現在了閔科夫斯基度規與一般度規、 普通導數與協變導數的區別上。 而從數學上講， 這種區別歸根到底就在於度規 (因為普通導數與協變導數的區別實質上亦是度規之別)。 既然引力效應歸根到底就體現在度規上， 我們可以猜測， 描述引力場的規律可以用度規gμν本身所滿足的某個張量方程來描述。

愛因斯坦的研究確認了這一點， 這也是他在創立廣義相對論過程中付出的最艱辛的努力。

為了看出究竟什麼樣的張量方程可以描述引力場， 我們考察一下在沒有其他外力的情形下物體在引力場中運動。 依據等效原理， 在局域慣性系中， 該運動是勻速直線運動， 運動方程為：

dxμ/d2τ = 0 (2.4)

其中τ是所謂的仿射參數 (affine parameter)， 對有質量物體來說通常選為固有時 (proper time)。 依據廣義協變原理， 引力場中的物體運動方程乃是上述方程的廣義協變形式， 也就是眾所周知的測地線 (geodesic line) 方程[5]：

dxμ/d2τ+Γμνλ(dxν/dτ) (dxλ/dτ)= 0 (2.5)

其中的Γμνλ「馬甲」 眾多， 名稱相當混亂， 有時稱為克里斯托費爾聯絡 (Christoffel connection)， 有時稱為列維-奇維塔聯絡 (Levi-Civita connection)， 有時稱為黎曼聯絡 (Riemannian connection)， 有時甚至籠統而不嚴格地稱為聯絡。 我們姑取其中最著名的人物， 稱其為黎曼聯絡， 它是由度規的導數構成的。 不難證明， 在物體運動速度遠小於光速的情形下， 上式的空間部分可近似為：

dxi/d2t= —Γi00(2.6)

由於dxi/d2t就是物體的加速度， 因此將 (2.6) 式與 (2.3) 式相比較， 並注意到 (2.3) 的右側乃是引力場的場強， 我們便可得到一個粗略但富有啟發性的對應， 那就是黎曼聯絡對應於引力場的場強[6]。 如果進一步考慮到引力場的場強是引力勢的導數， 而黎曼聯絡則是由度規的導數構成的， 我們還可以得到另一個粗略但富有啟發性的對應， 那就是引力勢對應於度規。

有了這些啟發性的對應， 描述引力場的方程就呼之欲出了， 因為建立在牛頓萬有引力定律基礎上的引力場方程是所謂的泊松方程 (Poisson"s equation)：

Δφ = 4πρ (2.7)

這裡我們略去了牛頓萬有引力常數G。 在本系列中， 這一常數及光速c通常將被略去 (相當於採用c=G=1的單位制)， 只在有特殊需要——比如計算數值——時才會予以恢復 (恢復的方法是量綱分析)。 由於泊松方程 (2.7) 式是關於引力勢的二階線性微分方程， 而我們剛才已經注意到了引力勢對應於度規， 因此它啟示我們尋找一個關於度規的二階微分方程， 並且關於二階導數是線性的。 當然， 它還必須是張量方程， 以便滿足廣義協變原理。 另一方面， 泊松方程的右側是作為引力源的物質的質量密度， 這啟示我們引進在狹義相對論中已被普遍採用的描述物質分布的能量動量張量Tμν作為引力場方程的右側， 在非相對論近似下， 它的一個分量正是質量密度。

將這些啟示綜合起來， 引力場方程的形式可確定為右側是能量動量張量Tμν， 左側是一個關於度規gμν及其導數的二階張量 (因右側的能量動量張量是二階二階張量， 左側也必須是二階張量)。 不僅如此， 左側的二階張量還必須只包含度規的不超過二階的導數， 並且關於二階導數是線性的。 初看起來， 這樣的條件相當寬泛， 但源自廣義協變原理的廣義協變性極大地限制了方程的形式。 事實上， 在數學上可以證明， 滿足上述條件的引力場方程左側的二階張量必定具有αRμν+ βgμνR + γgμν的形式。 這裡Rμν是所謂的里奇曲率張量 (Ricci curvature tensor)，R是Rμν的縮並， 稱為曲率標量 (curvature scalar)， α、 β 和 γ 則皆為常數。 更令人滿意的是， 引力場方程右側的能量動量張量Tμν還必須滿足廣義協變形式的能量動量守恆定律?μTμν= 0， 這對方程左側作出了進一步限制， 要求 β=(-1/2)α。 將這些結果綜合在一起， 並輔以弱場近似下引力場方程等同於泊松方程這一額外要求 (這一要求可用來確定左右兩側的比例係數)， 可將引力場方程——也就是廣義相對論的基本方程——最終確定為：

Rμν— (1/2)gμνR — Λgμν= 8πTμν(2.8)

這其中左側的最後一項——即Λgμν項——被稱為宇宙學項 (cosmological term)， 其中的常數Λ被稱為宇宙學常數 (cosmological constant)。 宇宙學項從單純理論推導的角度講處於一個灰色地帶， 因為嚴格貫徹 「弱場近似下引力場方程等同於泊松方程」 這一要求其實是可以排除這一項的， 但只要宇宙學常數Λ足夠小， 這一項的存在既不破壞廣義協變性， 也不會與經驗意義上的泊松方程相矛盾， 因此是可以允許的。 在歷史上， 宇宙學項的命運頗有戲劇性， 愛因斯坦最初創立廣義相對論時是不包含宇宙學項的， 後來出於尋找一個靜態宇宙模型的需要， 他引進了宇宙學項。 等到靜態宇宙模型被觀測否定之後， 宇宙學項也一度失了寵。 但到了 20 世紀末， 精密的宇宙學觀測重新確立了宇宙學項的必要性， 使後者 「王者歸來」[7]。

宇宙學項對於宇宙的長遠未來有著極重要的影響， 但對於本系列所涉及的話題卻關係不大， 因此除非有特殊需要， 我們將予以略去。 略去了宇宙學項的引力場方程為：

Rμν— (1/2)gμνR = 8πTμν(2.9)

這就是本系列將要採用的基本方程， 也稱為愛因斯坦場方程 (當然， 包含宇宙學項的場方程也同樣稱為愛因斯坦場方程)， 是愛因斯坦 1915 年得到的[8]相對論的物理規律開始延展的， 因此廣義相對論確如愛因斯坦所預期的， 自動解決了將他引導到引力理論上來的牛頓萬有引力定律與狹義相對論不相容的問題。 當然， 上面的敘述是高度濃縮和簡化了的廣義相對論發展史， 且偏於概念發展的邏輯線索而並不嚴格對應於愛因斯坦的努力。 從單純歷史的角度講， 廣義相對論的發現其實還有很多額外的曲折性， 這裡就不贅述了[9]。

愛因斯坦場方程遠比電磁場方程複雜， 因為它是非線性的。 不過這是意料中的結果， 因為跟電磁場本身不帶電荷不同， 引力場本身就帶有能量動量， 從而本身就能產生引力場[10]。 此外， 愛因斯坦場方程還有一個鮮明特點， 那就是右側有賴於物質， 而左側只跟時空有關——因為左側的所有項都是由度規及其導數構成的。 不僅如此， 左側的里奇張量乃是時空曲率張量 (curvature tensor) 的縮並， 在一定程度上描述了時空的彎曲。 這種漂亮的幾何意義， 外加前面提到過的引力效應——具體地說是引力對物質運動的影響——體現在度規上這一結論， 使美國物理學家惠勒 (John Archibald Wheeler) 用了一句很精鍊的話來概述廣義相對論的特點， 那就是 「時空告訴物質如何運動， 物質告訴時空如何彎曲」。

在愛因斯坦的這種全新的引力理論中， 傳統的牛頓引力消失了， 取而代之的是彎曲的時空， 為了紀念愛因斯坦的巨大貢獻， 這種時空也被稱為愛因斯坦時空。 從牛頓引力到愛因斯坦時空， 是科學史上最激動人心的進展之一。

引力理論跟時空結構的這種交融在等效原理中其實已可窺見端倪， 因為等效原理表明引力場中任何一個時空點附近都存在局域慣性參照系， 而局域慣性參照系中的物理規律由狹義相對論所描述， 其中的度規是閔科夫斯基度規， 這跟微分幾何中每點的鄰域內存在局域笛卡爾坐標系 (Cartesian coordinate system) 是完全相似的。 兩者在數學結構上的相似和交融也就不足為奇了。

從亞里斯多德算起， 經過了 2,200 多年； 從伽利略和牛頓算起， 經過了 200 多年， 我們終於迎來了廣義相對論與愛因斯坦時空。 如今又 100 多年過去了， 在這種全新的引力理論和全新的時空中， 很多新興研究領域已經發展壯大， 引力波就是那樣一個領域。

注釋

1. 這裡要說明的是： 牛頓對萬有引力的研究比《自然哲學的數學原理》一書的出版早了約 20 年就開始了， 其間有過錯誤和不完善。 與牛頓同時代的學者中有數人也猜到了引力的平方反比規律， 而且從歷史的角度講， 他們與牛頓之間並不愉快的互動對牛頓的研究不無助益。 不過萬有引力定律的確立涉及到幾個很重要的層面， 比如為了證明萬有引力定律可以解釋天體運動， 需在開普勒定律與萬有引力定律之間進行相互推導 (其中用到了牛頓運動定律)；又比如萬有引力定律的原始適用條件是大小相對於間距可以忽略的物體， 這對天體基本成立， 對地球上的重物下落卻並不成立 (因為地球本身顯然不滿足這一條件)， 需額外證明球對稱物質分布產生的引力相當於物質全部集中在球心; 而在更一般的物質分布下還需用到微積分手段。 當時能從數學上勝任所有這些的只有牛頓， 因此將萬有引力定律的發現歸功於牛頓並冠以他的名字是毫不過分的。 另外要補充的是： (2.2) 式給出的只是萬有引力的大小， 其方向則由引力的吸引特性所確定， 即每個物體所受來自另一個物體的引力總是指向另一個物體。

2. 當然， 無論加速度還是引力場的場強都是有方向的， (2.3) 式給出的只是大小， 其方向則跟引力的方向一樣， 指向質量為 M 的物體 (在更一般的物質分布下則大小和方向都要用微積分手段來計算)。 另外要說明的是： 將這些結果具體應用到地球引力場中的重物下落， 除了用到前一注釋提到的 「球對稱物質分布產生的引力相當於物質全部集中在球心」 這一結果外， 還隱含了物體的大小及下落的高度相對於物體與地心的距離可以忽略這一近似度很高的額外假設。

3. 對這一發現感興趣的讀者可參閱拙作《那顆星星不在星圖上： 尋找太陽系的疆界》 (清華大學出版社 2013 年 12 月出版)。

4. 某些廣義相對論著作對等效原理進行了細分， 在那樣的細分下， 這裡所介紹的等效原理被稱為 「強等效原理」 (strong equivalence principle)。 另外要提醒讀者的是， 等效原理其實允許一些微妙的、 並不妨礙廣義相對論的例外， 對這一點感興趣的讀者可參閱拙作 從等效原理到愛因斯坦-嘉當理論， 收錄於《因為星星在那裡： 科學殿堂的磚與瓦》一書 (清華大學出版社 2015 年 6 月出版)。

5. 有讀者也許會問： 測地線方程可以用前面提到的 「最小替換法則」 得到嗎? 答案是肯定的。 事實上， 局域慣性參照系中的運動方程 (2.4) 式可以表示為uρ?ρuμ= 0 (其中 uμ是四維速度)， 運用 「最小替換法則」 可將之改寫為 uρ?ρuμ= 0， 其分量形式正是 (2.5) 式。

6. 順便說一下， 由此可以得到等效原理的一種數學表述， 那就是： 在引力場中任何一個時空點附近都存在特殊的坐標系 (即局域慣性參照系)， 其中的度規為閔科夫斯基度規， 而黎曼聯絡為零 (即引力場為零)。

7. 對宇宙學項的歷史感興趣的讀者可參閱拙作 宇宙學常數、 超對稱及膜宇宙論。

8. 確切地說， 愛因斯坦得到的場方程是Rμν= -k(Tμν-?gμνT)， 不過它與我們採用的形式只有約定等方面的差別， 實質上是等價的。

9. 對廣義相對論的發展歷史感興趣的讀者可參閱拙作 希爾伯特與廣義相對論場方程， 收錄於《小樓與大師： 科學殿堂的人和事》一書 (清華大學出版社 2014 年 6 月出版)。

10. 不過， 引力場本身的能量動量是廣義相對論研究中一個很困難的課題， 對這一課題感興趣的讀者可參閱拙作《從奇點到蟲洞： 廣義相對論專題選講》 (清華大學出版社 2013 年 12 月出版)。