時空的樂章——引力波百年漫談：從難以置信的弱到不可思議的強

科技 02-14

撰文：盧昌海

在本節中，我們要做一件順理成章的事，那就是應用《時空的樂章——引力波百年漫談：單極、偶極和四極輻射》一文得到的引力波四極輻射的功率表達式

dE/dt= —?G (?3Qij/?t3)(?3Qij/?t3)(*)

來計算或估算一些具體例子，並得出數值結果，從而使我們對引力波——尤其是它的強弱——有一個比抽象公式更直觀的了解。

不過在應用之前，首先要解決一個小問題。

細心的讀者想必早已注意到——事實上我們曾提醒過， (*) 式及前文中的其他類似公式都採用了光速 c =1 的特殊單位制，由此帶來的顯而易見的結果是公式中不出現光速。這種在理論推導時頗為簡潔的單位制對具體應用卻是不太方便的[1]，因此在應用之前，我們首先要恢復 (*)式中的光速，恢復的手段是所謂的量綱分析（dimensional analysis）。

具體地說，我們用 [X]表示物理量或物理常數 X 的量綱，用 M、 L 和 T 分別表示質量、長度和時間的量綱，則 (*)式中各項或物理常數的量綱分別為：

[dE/dt] = M L2T—3

[G] = M—1L3T—2(1)

[?3Qij/?t3] = M L2T—3

為了讓 (*) 式兩側的量綱相同，我們在其右側添加——即乘上——光速的 n 次冪cn，相應的量綱為[cn] = LnT—n。將這些結果代回 (*)式可得量綱方程（請讀者自行推導）：

M L2T—3= M L7+nT—8—n（2）

這方程的唯一解為 n = — 5，由此得到恢復光速後的輻射功率公式為：

dE/dt = —(G/5c5) (?3Qij/?t3)(?3Qij/?t3)(3)

有了 (3) 式，我們便可計算具體體系的引力波輻射功率了。其中一個最簡單而不失現實意義的體系是作圓周運動的質點——或者更確切地說，是相對於背景時空作圓周運動的質點。太陽系內多數行星繞太陽的公轉、多數衛星繞行星的公轉，乃至繞共同質心作圓周或接近圓周運動的雙星等等，都可在一定程度上近似為這樣的體系。

假設質點的質量為 m，圓周運動半徑為 r，則在原點位於圓心、隨質點轉動的所謂隨動坐標系 (x 1, x 2, x 3) 中[2]，可將質點的位置取為 (r, 0, 0)，轉軸取為x 3。相應地，由《時空的樂章——引力波百年漫談：單極、偶極和四極輻射》中的(3) 式Qij= ∫d3x ρ(x )(x ix j—?x 2δij)所定義的四極矩為：Q11=?mr2，Q22= Q33= —?mr2，其餘分量皆為零。將這一結果變換到與背景時空相「固連」且與隨動坐標系共享原點及轉軸的坐標系——稱為固定坐標系——中，可得到隨時間而變的四極矩，以及：

(?3Qij/?t3) (?3Qij/?t3)= 32m2r4ω6(4)

其中ω是隨動坐標系相對於固定坐標系的轉動角速度——也就是質點繞圓心的轉動角速度[3]。將 (4)式代入 (3) 式便可得到這一體系的引力波輻射功率為：

dE/dt = —(32G/5c5) m2r4ω6(5)

(5) 式中所有的物理量——質量、半徑、角速度——都是能直接測量的，從而可付諸計算。我們以太陽系最大的行星——木星——繞太陽的公轉為例，來計算一下這種體系的引力波輻射功率。為此，我們首先列出與這一計算有關的木星及其軌道參數在國際單位制下的數值（為行文便利起見，在此處及後文的數值計算中，單位往往被略去，感興趣的讀者可依照國際單位制自行補全）：

m = 1.9 × 1027

r = 7.8 × 1011（6）

ω = 1.68 × 10—8

其中軌道半徑取為了橢圓軌道的半長徑。將這些數值，外加國際單位制下的物理常數 G 和 c 的數值G = 6.67 × 10—11和c = 3 × 108，代入 (5)式便可得到：

dE/dt = —5.3 × 103（7）

由於國際單位制下的功率單位是瓦（watt），因此上式給出的是一個小得可憐的功率：5.3 × 103瓦或 5.3千瓦。太陽系最大的行星，一個質量達 1.9 億億億噸的龐然大物，以每小時46,800 公里的巨大速度繞太陽公轉所發射的引力波的輻射功率居然是 5.3 千瓦這麼一個「家常」數字，僅相當於幾台家用電器的能耗，這遠遠不是「九牛一毛」可以形容其小的。靠這樣的輻射功率，哪怕使木星的軌道半徑減小一毫米也需要 10 億年以上的時間（感興趣的讀者可自行核驗一下）！

木星尚且如此，更小的體系的引力波輻射功率自然就更微不足道了。事實也正是如此，比如水星繞太陽公轉的引力波輻射功率約為幾十瓦，只相當於幾盞燈泡——恐怕還是節能燈泡——的能耗[4]。而月球繞地球公轉的引力波輻射功率更是「迷你」，僅為幾微瓦。在一個天文體系中涉及如此「微觀」的功率，這在引力波以外的領域是不易見到的，引力波的微弱在這一例子中可說是體現得淋漓盡致。

這些例子當然也說明了我們在《時空的樂章——引力波百年漫談：從早期猜測到弱場近似》的注釋三中所說的「月球軌道因發射引力波而產生的『蛻化』哪怕在今天也絕非觀測所能企及，以此為基礎推算任何東西都是在沙灘上建城堡」是毫不誇張的，同時也印證了上文末尾提到的，龐加萊所寄望的用引力波造成的能量損失來解釋水星近日點的進動是完全錯誤的。事實上，太陽系範圍內的任何天體運動所產生的引力波都絕非今天的觀測技術所能企及，從而也不能用來解釋任何觀測現象。

不過，這一切只不過說明我們這個從很多其他角度看起來相當浩瀚的太陽系對引力波來說實在不是一個大舞台，而並不意味著引力波總是微弱的。為了說明這一點，讓我們把注意力轉向某些引力波輻射功率極為可觀的體系，看看引力波能強大到什麼程度。

不過為偷懶起見，同時也為展示物理學家們不拘一格的計算手段，我們將不再重複上面這種「死算」，而要採用一些近似手段。當然，我們其實一直就在用近似手段，首先是弱場近似，然後是在多極展開中只取四極輻射，現在我們要在近似之路上再多走一步。不過，多走的這步跟前面幾步有一個很大的不同：前面的近似都有一定的適用條件，只要滿足條件，誤差可以控制得很小，如今要多走的這步則不然，名曰近似，實為估算——數量級意義上的估算。在這種估算中，我們不在乎任何數量級為 1 的常數——比如 (3) 式中的係數 1/5，也不在乎諸如質量分布、速度分布之類的細節，而代之以某種平均。既然分布由平均取代，則積分就可變為乘法，導數則可化為除法，因此《時空的樂章——引力波百年漫談：單極、偶極和四極輻射》中的(3) 式Qij= ∫d3x ρ(x )(x ix j—?x 2δij)給出的四極矩Qij可以近似為MR2（其中 M 是體系的總質量， R 是線度）；而本文的 (3) 式中的三階導數?3Qij/?t3則可近似為MR2/T3（其中 T 是體系中物質運動的典型周期）。

利用這些結果，本文的 (3) 式可在數量級意義上被估算為dE/dt ～—(c5/G) (GM/Rc2)5。這裡我們將等號「=」換成了表示數量級估算的「～」，並且略去了 1/5一類的數值係數。最後，我們注意到c5/G是一個量綱為功率的常數，我們用L來表示它。L的數值約為1052，是一個極為驚人的功率，相當於每秒鐘消耗 10 萬個太陽質量（請注意，「每秒鐘消耗 10 萬個太陽質量」不是太陽光度的 10 萬倍，而是每秒鐘將 10 萬個太陽的總質量全部轉化為能量）。利用所有這些結果， (3)式可最終簡化為：

dE/dt ～—(GM/Rc2)5L（8）

對廣義相對論或黑洞物理學有一定了解的讀者也許注意到了， (8)式中的GM/Rc2乃是所考慮的體系的施瓦西半徑（Schwarzschild radius）與真實線度之比[6]。對普通的體系來說，這個比值是非常小的，比如對太陽來說，施瓦西半徑約為 3 公里，真實線度卻在100萬公里的量級，兩者之比為百萬分之一的量級。對木星的公轉來說，施瓦西半徑是木星和太陽這一體系的施瓦西半徑，實際上也就是太陽的施瓦西半徑（因為木星質量只有太陽質量的千分之一，可以忽略），而真實線度乃是木星軌道的線度，在 10 億公里的量級，兩者之比只有十億分之一的量級。更何況，出現在公式中的乃是這一比值的 5 次方，更是小之又小。這是引力波輻射功率通常極其微小的重要原因。

那麼什麼樣的體系可能會有輻射功率極為可觀的引力波呢？從 (8)式中立刻可以看出是強引力場天體。強引力場天體的基本特點就是施瓦西半徑不比真實線度小太多，從而GM/Rc2是一個不太小的比值，由於 (8)式中的L是一個極為驚人的功率，因此一旦GM/Rc2不太小，引力波的輻射功率便會走向另一個極端，變得極為可觀。

比如高速轉動的中子星（neutron star）——這種中子星通常發射脈衝式的電磁輻射，因而也被稱為脈衝星（pulsar）——就是強引力場天體的典型例子。這種天體是大質量恆星的幾類主要「屍體」之一，平均物質密度高達每立方米數百萬億噸，相應的半徑只比施瓦西半徑大一個數量級左右，即GM/Rc2約為10—1，由此對應的引力波輻射功率高達1047瓦 (一千萬億億億億億瓦)，或相當於每秒鐘輻射掉一個太陽質量。這樣的輻射功率相當於太陽光度的一萬億億倍，或相當於銀河系中所有星星輻射功率總和的 100億倍。由於可觀測宇宙中的星系總數在 1,000 億的量級，而銀河系在星系中屬於較大的，因此1047瓦的引力波輻射功率已能跟可觀測宇宙中所有星星輻射功率的總和相提並論了。

有些讀者或許還記得，我們在本系列開篇《時空的樂章——引力波百年漫談（一）》談及美國激光干涉引力波天文台首次觀測到的引力波時曾提到過，那次觀測到的引力波源自一對黑洞的合并，其最大的引力波輻射功率甚至超過了可觀測宇宙中所有星星輻射功率的總和。我們上面的估算可說是印證了這一陳述，因為與中子星相比，黑洞是更極端的強引力場天體，相應地，涉及黑洞的某些過程所輻射的引力波也更可觀，既然前者的輻射功率已能跟可觀測宇宙中所有星星輻射功率的總和相提並論，後者超過可觀測宇宙中所有星星輻射功率的總和也就並不奇怪了。

在經受了這麼多公式和數字的「折磨」後，從環環相扣的理論推演中初步印證出了科學新聞中的描述，是不是有一點小小的成就感？

不過，輻射功率如此驚人的引力波就算出現了也不可能持久，而註定只是曇花一現的瞬態過程。甚至，這種輻射其實未必真能出現在我們所提到的中子星這一例子之中。這是因為我們的估算不僅粗略，而且還忽略了四極輻射的一個重要特點，即對稱性高的運動——比如球對稱的脈動或軸對稱的轉動——根本不會有四極輻射。由此造成的缺陷是： (8) 式有一個隱含的先決條件，那就是體系必須處於高度非對稱的運動中。對單個的中子星來說，也許只有在其形成過程中變動最劇烈的爆炸或坍塌瞬間能出現較大程度的非對稱運動，使上述估算勉強有一定的適用性。不過若考慮的不是單個的中子星而是中子雙星的合并，則高度非對稱的運動不難出現，從而能在一個極短的時間內產生如前所述的驚人的引力波輻射功率。對於那樣的過程，以及更驚人的黑洞的合并，我們在後文中會有更多的介紹，這裡就不贅述了。

除上面這種輻射功率驚人卻至多只能曇花一現的引力波外，中子星也可以相對穩定地輻射出功率很強的引力波。不過為顯示這一點，我們需對 (8)式略作修正，以擴大其適用範圍。

我們剛才提到， (8)式忽略了四極輻射的一個重要特點，即對稱性高的運動——比如球對稱的脈動或軸對稱的轉動——根本不會有四極輻射。因此修正 (8)式的關鍵就在於將對稱性高的運動排除掉。為此我們注意到，出現在 (3)式中的四極矩張量乃是體系的轉動慣量張量（moment of inertia tensor）的無跡（traceless）形式[7]。利用這一特點，我們可以用轉動慣量張量來表述和排除對稱性高的運動。具體地說，轉動慣量張量——乃至一切二階對稱張量——能在一個被稱為主軸坐標系（principal axes coordinates）的特殊坐標系中被對角化，這種坐標系的三個相互垂直的坐標軸——姑記為 x， y， z——稱為主軸（principal axis），相應的轉動慣量張量的對角分量——姑記為Ix，Iy，Iz——稱為主慣量（principal moment of inertia）。我們考慮一個相對簡單卻不失現實意義的情形：中子星繞主軸 z 轉動。在這種情形下，四極矩張量的 z 分量是不變的，從而不會對四極輻射產生貢獻，不僅如此， x-y平面上的兩個主慣量Ix和Iy若相等，則相應的轉動是軸對稱的轉動，四極矩也不會隨時間變化，從而也不會對四極輻射產生貢獻。這些正是需從 (8)式中排除掉的所謂對稱性高的運動。由此我們可將產生四極輻射的條件表述為： x-y平面上的主慣量Ix和Iy不相等。描述這種不相等的一個方便的參數是轉動慣量張量的所謂赤道橢率（equatorial ellipticity），記作 e，定義為e = (Ix— Iy)/(Ix+ Iy)。可以證明，由 (3)式給出的引力波輻射功率正比於e2——這從 (3)式是Qij的二次型就不難看出，效仿前文針對圓周運動質點的計算步驟亦不難給出證明。相應地， (8)式則可通過添加e2而得到一個相當有效的修正，即：

dE/dt ～—(GM/Rc2)5e2L(9)

有了這個修正，則中子星的引力波輻射功率就不是1047瓦，而是1047e2瓦。對於中子星這種強引力場天體來說，運動偏離對稱的幅度通常是很小的， e 的典型量級只有10—4左右，相應的引力波輻射功率則約為1039瓦，或相當於幾年內輻射掉一個太陽質量。當然，1039瓦雖比1047瓦小得多（也合理得多），卻依然足以在幾年內耗掉中子星的轉動能量，從而造成其轉速的顯著減小，以及 e 的減小。當轉速或 e 減小時，引力波的輻射功率及對自轉的減速作用也將減小，並逐漸遜色於其他因素——比如磁偶極輻射等，細節則視具體情形而定。此外，當轉速減小到一定程度後， (9)式這種與轉速無關的粗略估算也將不再適用[8]，而需重新改用 (3)式來計算。由於本節只是意在提供一些直觀了解，對那樣的細節就不展開了。

計算引力波輻射功率的例子還可舉出許多，其中包括人工物體產生的引力波。當然，結果將是可以預料的微乎其微，比如線度數十米、質量數百噸，對人工物體而言相當龐大的金屬圓柱以每秒十餘圈的速度繞質心轉動所產生的引力波輻射功率僅為一百萬億億億分之一（10—30）瓦的量級。感興趣的讀者可自己找幾個例子計算或估算一下，以加深理解。通過所有這些例子，我們對引力波的強弱可算是有了大致了解，一言以蔽之的話，引力波既可以難以置信的弱，也能夠不可思議的強，除某些實際上不可能嚴格滿足的高度對稱的運動外，它的存在極其普遍，倘能探測到，無疑將為物理學和天文學開闢一個廣闊而繽紛的新領域。

不過在轉入引力波的探測之前，我們還有一段有趣的插曲要介紹。這段插曲——我向讀者保證——將完全不帶數學，從而可以喘口氣。

注釋

1. 當然，單位制的選擇原則上有很大的自由度， c = 1 的特殊單位制對具體應用只是不太方便，而非絕對不行，一定要用的話，需付的代價是對各物理量或物理常數的數值都作相應的變更。

2. 細心的讀者也許會對這裡採用的「坐標系」一詞跟前文所用的「參照系」的區別產生好奇，這兩者的區別沒有統一規定，我們的大致用法是：意在強調具體的數學坐標時用「坐標系」，其餘皆用「參照系」。

3. (4) 式的推導思路是直接了當的：只要用隨動坐標系與固定坐標系之間的變換矩陣 (即繞 x 3軸的轉動矩陣) 對作為二階張量的隨動坐標系中的四極矩 Qij作變換，便可得到固定坐標系中的「隨時間而變的四極矩」（之所以隨時間而變，是因為隨動坐標系與固定坐標系之間的轉角——也就是變換矩陣中的角度參數——是隨時間增加的）；對之求導、求和便可得到 (4) 式。具體的推導並不複雜，感興趣的讀者可以自己試試。

4. 當然，水星軌道偏離圓軌道的幅度較為顯著，套用上述公式的誤差也較大，不過這種引力波無論直接觀測還是通過其對軌道的影響來間接觀測都是毫無希望的，我們關心的只是數量級意義上的結果，那樣的誤差不是問題。

5. 這種典型速度及典型周期所對應的是動能和引力勢能的量值大致相當的情形，也是引力束縛所允許的最劇烈的運動（更劇烈的話，體系將掙脫引力的束縛而「散夥」）。這樣的運動對產生引力波是相對有利的。

6. 對於不熟悉施瓦西半徑的讀者，我們略作解釋：一個天體的施瓦西半徑乃是它作為非轉動、不帶電的天體被壓縮成黑洞時的視界半徑——確切地說是視界周長除以 2π 意義上的等效半徑，表達式為2GM/c2（其中的 2 在數量級估算中可以忽略）。之所以強調非轉動、不帶電，是因為否則的話會有超出我們估算所需的額外複雜性。

7. 我們這裡採用的轉動慣量張量的定義為Iij= ∫d3x ρ(x ) x ix j。與 (5.3) 式所定義的四極矩張量 Qij相比較，不難看出後者是前者的無跡形式——即滿足Qii=0。

8. 因為推導 (9)所用的典型速度及典型周期——如 [注釋5] 所述——是引力束縛所允許的最劇烈的運動（具體到中子星上，則是最快的轉速），因而當轉速減小到一定程度後，這種估算將成為顯著的高估而不再適用。

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