數學家破解百年高維「球體填充問題」

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早在1611年，開普勒就已經推測出如何碼放相同大小的球體能夠達到最密集效果。他認為，形如金字塔那樣的堆積方式乃是正解，就像在水果店裡見到的桔子那樣。球與球之間總會存在空隙，通過進一步研究，數學家們發現在滿滿一袋子網球裡面，大約36%的空間都是空氣。假如你能夠精心排布這些網球，那麼這個比例可以降低到26% (亦稱26%法)，但是人們在一百年前就已經認識到，26%乃是其極限。而對於開普勒的猜想，直到1998年，才被現在匹茲堡大學的Thomas Hales教授所證明。據說當時數學論證文檔長達250頁，還動用了猛獁象計算機。

其實，玩數學的人還會在高維度下鼓弄球體填充遊戲——球的定義依然不變，但「距離」這一概念則在我們熟知的三維繫統 (比如x,y,z軸) 之外獲得了更多屬性。其實，高維球體的定義並不複雜：在高維空間下到給定球心距離相等的一組點所構成的即為高維球體。重要的是，在多維環境下將具有更多的碼放方法。所以尋找能夠空間利用率最高的球體排布可能性一直是主要挑戰。

不過，我們很難對高維度下的球體填充進行視覺呈現，但它們卻是非常實際的存在：高密度的球體填充與我們常見的糾錯代碼有著密切關係。早在上世紀60年代，John Leech試圖糾正信號在傳播過程中所積累的錯誤或雜訊。他發現在24維度下處理數據會非常實用，尤其對於從5億英里以外傳送回木星圖像這種工作來說。

十年後，旅行者1號和2號確實採用了這一方法。1977年，NASA在發射木星和土星探測器前曾面臨著重要難題：在極低的電力供應下，如何將旅行者號拍攝的彩色圖片傳送回地球？當時所採取的方式是將圖像轉換為一組24位的二進位序列，成為「代碼字」。代碼字以無線電波的形式發射進宇宙，波峰和波谷分別代表1和0。但數據傳輸總會伴隨著雜訊，有時1會失真為0，有時0又會變成1。所以要還原旅行者號的圖像，就需要糾錯。

一方面，代碼字需要足夠清晰顯著以便識別；另一方面，在24位的限制下，相對含混模糊的代碼字才能提供更多的可能性，以及更快的數據傳輸速度。這樣的矛盾與需求也隨之轉化為幾何問題，比特位對應在了空間坐標上，每段代碼字都成為一個24維空間下球體的球心。如果球體發生重疊，那麼相關的代碼字也將無法被識別。為了最大化地傳輸數據並且進行糾錯，問題最終演變為：如何在24維空間下最密集地填充球體？

長久以來，數學家們已經積累了大量證據，幾乎要默認E8和Leech晶格 (兩者分別為8維度和24維度下極為美妙且對稱的球體填充模型) 就是兩種維度下的最佳填充方法。但他們一直缺少一項關鍵證據，即一個能夠計算可容許球體最大密度的函數。

如今，烏克蘭數學家Maryna Viazovska似乎已經找到了答案。今年3月，她先後在論文預印網站上貼出了兩個重要的成果。她首先從8維空間球體排布開始說起，證明了E8晶格 (E8lattice) 在8維空間中具有最大密度。E8很像是高維版本的「26%法」問題，只不過在8維空間下，球體之間擁有更多空隙，可以多塞進去一些。

Maryna Viazovska

當然，弦理論家並不會擺弄球體，他們只是將E8結構當作不同維度下的弦理論彼此關聯方式中的重要組成部分。弦理論從26個維度開始，並需要摺疊簡化至我們所熟知的3維。E8則包含了摺疊所需要的所有必要屬性。

數學家和物理學家認為這絕不是一個巧合。他們覺得這樣一個維度是最為簡單有效的，因為再添加任何一維空間都會使其更難以解釋。可能他們還真說對了，Viazovska已經可以證明E8結構不會留下任何額外空間，對於8維球體填充來說這是最高效的方法。

不過她並沒有止步於此。在發布了8維研究後，一些希望解決24維問題的數學家找到她，於是他們開始研究 「Leech晶格」。Leech晶格對信息的處理方式就好比在24維度下排布球體，數學家們也一直認為這是最有效的解決方法。僅僅在E8文章公布一周之後，Viazovska和同事們又搞定了24維的問題。

儘管兩篇文章尚未接受同行評議，在數學圈內似乎並沒有什麼質疑。由於E8和Leech晶格與數學和物理的諸多領域關係密切， Viazovska等人的發現對未來的研究有著重要意義。

原文鏈接

http://www.sciencealert.com/a-mathematician-just-solved-the-centuries-old-sphere-problem-in-higher-dimensions?perpetual=yes&limitstart=1

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