影響了整個世界的新幾何學
撰文 朱迪思·格拉比納（Judith Grabiner）
翻譯 余卉
審校 丁家琦
起源於古希臘的幾何學理念在兩千多年以來一直貫穿在人類的思想中，不管是科學還是哲學，甚至政治和藝術都是幾何學思想的結晶。但是，19世紀初，幾何學卻經歷了一場革命：人們發現，空間不一定非得是古希臘數學家歐幾里德描述的那樣，還可以有完全不同的幾何學。在本文中，我們就將看到這一革命性的認識是如何影響哲學、科學、文化和藝術的。
歐幾里德的世界
讓我們先做一個實驗吧：想像一個平面，上面有一條直線L和一個不在L上的點P。平面上有多少條線平行於直線L並經過點P？
有多少條線經過點P並平行於直線L？
如果你的答案是「顯然只有一條」，那麼你的直覺就是歐幾里德式的。歐幾里德也相信經過直線外一點只可能有一條直線與已知直線平行（歐幾里得「證明」了該命題，但它實際上是不能由歐幾里得幾何中的其他公理和定理導出的，只能作為歐幾里德幾何系統中的第五條公設，歐幾里得公設如下面的方框中所示）。
歐幾里德公設
1 任意兩點必定可以用一條直線連接。
2 一條有限直線可以無限延長。
3 以任一點為圓心，任一長度為半徑可以作一個圓。
4 所有直角彼此相等。
5 如果一條直線與兩條直線相交，同一側的內角之和小於兩個直角，則兩條直線在無限延長後，在該側相交。（這條公設與「過直線外一點只可能有一條直線與已知直線平行」互相等價，可以證明。）
但是如果你考慮在一個不是平面的表面上的線呢？下圖展示了一個稱為「雙曲拋物面」的鞍形面：
該模型上繪製的線是拋物面的「直線」：它們是點間距離最短的路徑。但是請注意，紅線和黃線都平行於藍線，而它們都經同一個點。更重要的是，藍色和黃色的平行線並非與平面上的平行線一樣處處距離相等。
事實證明，雙曲拋物面上也可以形成一個完全合理、自洽的幾何空間。原來空間可以不必符合歐幾里得的描述（以及我們的直覺感知）——這種認識對於19世紀的數學家和思想家來說實在是太革命性了，以至於大數學家高斯發現了該事實，卻從未鼓起勇氣發表關於這個問題的工作。但後來黎曼（Bernhard Riemann）等數學家紛紛揭示，除了上面提到的雙曲拋物面以外，還存在著許多非歐空間。
那麼，這一認識對人類思想有何重大影響呢？
空間的哲學
一旦你開始考慮空間的性質，你不可避免地會遇到這個問題：空間到底是什麼？它是一種東西嗎？它是一種物質嗎？甚至，它是真實存在的嗎？哲學家康德說空間存在於我們心中：我們在構建一個幾何結構時，重要的不是畫在紙上的圖形，而是我們在思維空間中所看到的它們。我們在思維空間中構建我們的認知，而這樣的思維空間對對於所有人來說都有著相同的特性。康德的空間是歐幾里德式的。很難想像要如何在一個非歐空間中構建我們的認知，那麼，或許非歐空間不像歐式空間一樣真實。
但是，物理學家亥姆霍茲（Hermann von Helmholtz）卻認為，非歐空間和歐式空間一樣真實。例如，我們都見過凸面鏡（汽車的後視鏡就是凸面鏡），凸面鏡中的鏡像就是一個三維非歐空間。看下圖，你會注意到超市貨架的頂邊和底邊的平行線並不總是相隔同樣的距離。我們可以在這樣一個空間中構建我們的認知嗎？如果你已經會熟練使用你車上的後視鏡，答案就是「可以」。
圖片來源：Dean Hochman, CC BY 2.0。
你可能說鏡中的像只是一個幻象，只有我們自己所在的歐幾里德式世界才是真實的。但是你真的確定嗎？雖然凸面鏡中的人看起來比他們實際上要小，但是如果將一把尺子放在他們旁邊，尺子上的讀數也會相應變小，鏡中的測量與他們在我們的世界中的測量仍能保持一致，說不定鏡中的人同樣會堅持只有鏡中世界才是真實的呢。很難反駁——正如亥姆霍茲所說，你無法進行任何幾何實驗來解決究竟哪一個世界是真實世界的問題。
所以，與康德相反，亥姆霍茲認為幾何的公設既不是由人類智慧所決定的，也不是由邏輯必然性決定的。他認為，空間是否是歐幾里德空間，只是一個經驗問題。
法國數學家龐加萊（Henri Poincaré）的觀點則更為激進：他也認為新的幾何是革命性的，但是他既不同意康德也不同意亥姆霍茲。如果如亥姆霍茲所言，幾何來自經驗，幾何就不是一門精確的科學。龐加萊知道我們的腦海中不只有一種空間，因此，幾何的公設不是一種人造的先驗直覺（如康德所說），也不是實驗事實（如亥姆霍茲所說），更不必是不證自明的真理（如以前的思想家笛卡爾和數學家拉格朗日所說）。龐加萊認為，幾何公設只是慣例（conventions）。
那麼，我們應該如何決定採用哪種慣例呢？是選歐幾里德幾何，還是新的非歐幾何？龐加萊說我們可以根據經驗來選擇，但只要避免矛盾，選擇哪種幾何在根本上是自由的。「歐幾里德幾何是正確的嗎？這個問題是沒有意義的，就好像問公制單位是不是正確的，舊的度量衡是不是錯誤的一樣。一種幾何不會比另一種幾何更『正確』，只會更方便。」
這是觀念的一種革命性變化：數學不再完全符合現實，我們可以自己選擇想要的數學模型，只要它們能將我們想要它做的事做得最好。
到了20世紀，黎曼幾何（非歐幾何的一種）找到了一展身手的用武之地。愛因斯坦在廣義相對論中描述的空間，正是以黎曼幾何來表述的。那麼，這是否意味著真實空間實際上是非歐的？龐加萊會說，只是在這裡非歐幾何管用罷了。
空間的心理學
早在非歐幾何誕生之前，哲學家們，比如貝克萊主教（Bishop Berkeley）就指出，我們實際上並不能看到距離，我們所看到的只是視角，再用這一實際看到的角度來推斷事物的幾何性質。
這裡給出了一個簡單例子來說明這一點。看下圖，像不像房間角落天花板和兩面牆的交匯處？
這看起來就像三個90度的角在一起，但是如果你按照實際測量每個角，它們其實是120度。我們的視覺空間與我們聲稱自己看到的空間並不一樣。
非歐幾何被發明以來，心理學家考慮了很多類似的情況。亥姆霍茲就做了一個實驗，他讓黑屋子裡的受試者將桌子上的小光點排列成兩條漸行漸遠的平行線，發現用這些光點排出的線在觀察者看來並不平行，而是發生了彎曲。亥姆霍茲因此認為，視覺空間是非歐的。而現在學界普遍的看法是，視覺感知空間並不存在一種一致的幾何來描述。
這是歐洲的情況。那在其它文化中又是什麼樣的呢？文化語言學家史蒂文·萊文森（Steven Levinson）指出，不同文化中的人們對空間的感知方式也不同。
一些文化用固定坐標系來定義空間，採用四個基本方向，比如「車在建築的南邊」，另外一些文化則依據物體間的關係定義他們的空間認知，如「車在建築的右邊」，沒有涉及任何空間概念。甚至還有不涉及個人的方式，如「車在建築的前面」。在這種方式中，物體本身的屬性就定義了它的位置。
如今的GPS導航系統也改變了人們對空間的天生直覺，空間不再是絕對的，而是由物體間的關係決定。我曾問馬里蘭的一位計程車司機，GPS系統有沒有改變他對空間的認知。他說：「當然！以前我的腦海中有整個巴爾的摩（馬里蘭一城市）的地形，現在則沒有了。比如要載你到某個地方，我知道要從機場左轉，沿高速公路到某某出口，然後右轉。你下車後，我就反過來——左轉，上高速，右轉進入機場。我會回到原來的位置，但是我不知道在途中都經過了哪些地方。」
文化、藝術和建築
對空間主題特別感興趣的一個思想家是西班牙的奧特加·伊·加塞特（José Ortega y Gasset）。奧特加用新的幾何觀來反對地方主義——他認為，正如歐幾里得幾何只是多種幾何中的一種，無法外推到整個宇宙一樣，假設我們自己的經驗或價值觀是普世的也是毫無根據的。
奧特加說，客觀現實可從多種多樣的角度來看待。「愛因斯坦的相對論召喚了新的時空幾何，促進了不同角度觀點的和諧多樣。」這樣的思想不僅適用於數學和物理，也可以延伸到政治和文化領域。奧特加說，或許在中國也存在著一種中國特色的思維角度，並不比西方遜色。
新的幾何促進了藝術自由，激發了多種多樣作品的誕生。只舉一個例子，看這幅胡安·格里斯（Juan Gris）1912年畫的巴勃羅·畢加索（Pablo Picasso）的肖像，它正是奧特加所說的「從所有角度來看現實」的真實寫照。
你會注意到，這幅作品呈現了多個角度的面和角，尤其在臉部。藝術家完全沒有把畢加索根本就沒有放置在人們通常視覺上習慣的三維空間中。其他藝術家，包括立體派和超現實主義藝術家，例如曼·雷（Man Ray），也受到了新幾何出現的影響。
在建築方面，一個傑出的代表就是今年剛剛去世的扎哈·哈迪德（Zaha Hadid），她是第一位贏得普利茲克建築獎的女性。她本科時學的專業是數學，談及21世紀的世界時她曾說：「最重要的是運動，物體的流動，一種沒有任何重複的非歐幾何，一種新的空間秩序。」
扎哈·哈迪德的銀河SOHO。圖片來源：Forgemind ArchiMe, CC BY 2.0。
下圖是倫敦的奧運會自行車館，屋頂是一個雙曲拋物面，也可以看出受了非歐幾何的影響。
圖片來源：Richard Davies
藝術家受新幾何的影響，並援引它的權威為自己所用，將它作為自覺的現代藝術創作的一部分，幫助我們看到了一個不同的世界。
歐幾里德幾何認為，「理性可以描述整個宇宙，它是對稱的、穩定的、均勻的，萬物都有原因，並且所有研究它的人都會得到一致的結論。」但我們現在生活的世界已不再如此。非歐幾何的建立，極大地影響了我們所有人看待世界的方式。
本文基於Grabiner 2015年在牛津大學Ada Lovelace研討會上的演講。下面是演講視頻：
朱迪思·V·格拉比納是匹澤學院的數學教授，她擁有芝加哥大學的數學學士學位和哈佛大學的科學史博士學位，也是美國數學學會的在職成員，因傑出的數學教學贏得了美國數學學會的海默獎。
https://plus.maths.org/content/how-new-geometries-reshaped-our-world
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