如何從數學上證明微信群不是一個群？

知識 06-01

本文作者:魏郎爾

群里發送違法消息，群主也要連坐？過去幾個月里的幾條法律新聞引發了許多微信群的焦慮。不說具體判決，這原則本身似乎有問題：群主不一定真的擔負了管理職責，似乎也沒有擔負這一職責的法律義務，倘若真是無條件連坐，那顯然不合情也不合理。於是很多群里立刻開發出了如何規避這一責任的腦洞。

但其實有一招釜底抽薪的辦法：我們可以從數學上證明，這個所謂的微信群，根本就不是一個真正群，自然也談不上什麼群成員和群主了。

什麼是群（Group）？

雖然群看起來好像只是個人畜無害的漢字，但是——surprise！——它擁有一個嚴格的數學定義，還有一個很大的來頭。

怎樣的來頭？它的發明人是埃瓦里斯特·伽羅瓦，對，就是那個伽羅瓦。12歲前在家自學，14歲開始厭倦其他學科、只對數學感興趣，15歲開始讀拉格朗日的論文，17歲發布第一篇論文，同年試圖考取巴黎綜合理工學院並被拒（傳說他在面試時跳過太多的推理步驟而令考官困惑，最後他無法忍受考官的慢節奏，一怒之下抓起擦黑板的抹布擲向考官並直接命中），18歲因發表批評校長的公開信被巴黎高等師範學院開除，19歲因參與政治活動而被多次逮捕，20歲參加決鬥（可能是因為戀愛）並被擊中腹部喪命。

如何從數學上證明微信群不是一個群？

那個伽羅瓦的畫像。圖片來源：wikipedia

怎樣的定義呢？要嚴格表述起來會很煩，但基本原理倒是簡單：首先你要有一堆東西（集合），然後你把其中的任意兩個按照某種方式放在一起（運算），都能得到一個結果。一個集合，加上一個二元的運算，就這些了。

舉個例子。我們天天都和一種特別常見的群打交道，數學家給它起了個名字叫做「整數加法群」：整數，就是我們有的那堆東西（集合）；加法，就是我們把這些東西放在一起的方式（運算）。試一下，隨便找兩個整數，都一定可以做加法，都一定有一個結果。

那麼……

如果微信群是真的群（1）

微信群的「集合」，看起來就是群成員的集合了；一個個的元素就是一個個的人。它需要一個二元運算，不妨稱這個二元運算為「互動」。按照剛才的命名法，這就是一個「微信成員互動群」，任意兩個群成員放在一起都必須能夠互動（請勿過度聯想）。

到此為此還好，但是：

群的運算有講究

雖說只要有了集合和運算就能建群，但是這個運算也不是隨便什麼運算都能勝任的。具體地說，這個運算要滿足四大「群公理」：封閉性、結合律、單位元和逆元。

封閉性：不管你拿出群里的哪兩個成員，運算過後得到的一定還是群成員，不可能跑出群外面去。比如，隨便兩個整數相加，獲得的必定還是整數。

結合律：如果你要對三個成員進行運算，那麼先算哪兩個都無所謂，結果一樣。比如，（1+2）+3 = 1+（2+3）。

單位元：一定有一個成員，它在和另一個成員運算之後不改變後者。比如整數加法群的0：0+5=5+0=5。

逆元：任何成員都一定有自己的「逆」——它和它的逆元運算之後能夠變回單位元。比如整數加法群里，對於7有-7：7+（-7）=（-7）+7 = 0。

所以：

如果微信群是真的群（2）

將四大群公理套用在微信群上，會獲得如下結果：

封閉性：任意兩個群成員進行互動，得到的結果一定還是一個群成員。

結合律：三個成員互動時，哪二者先是無關緊要的。（互動是一個二元運算，所以三個不能同時互動。）

單位元：一定有一個群成員，不妨稱之為群主，當群主和任何成員互動時結果依然是那個成員。（可以證明，一個微信群有且僅有一個群主。）

逆元：對任何一個群成員，都一定有另外一個成員，二者互動的結果是群主。

在這裡，不妨設定每一次兩個成員「互動」的結局都一定是@到了某一個確定的群成員。如果沒有@，或者同樣兩人@的結果不是每次都一樣，那就不是我們關心的這種互動。

如何從數學上證明微信群不是一個群？

就像這樣。

群內還可以再有結構

在一個群里，有些元素自己會組成一個小圈子。它們並非不與外界交流，但無疑它們喜歡抱團：小圈子內的元素經過運算得到的結果仍然在這個小圈子裡，而它們的逆元也在小圈子裡。簡而言之，這個小圈子對於原來的運算也組成一個群。這樣的小圈子，叫做群的子群。

有些子群比別的子群更特別，它們不僅自己是一個群，如果「除」原來的群，得到的也是一個群。這樣的子群叫做正規子群，而它們對原來的群作「除法」得到的群叫商群。這種除法和數字運算中的除法並不完全一樣，可以看作劃分小圈子的一種方式。

如果微信群是真的群（3）

微信群不一定都有子群。但是假如它有，那麼就會出現這樣的情況：群里有一小圈成員，他們可以和其他人互動，但圈內人的互動總是最終會@到一個圈內人。

既然這個小圈子滿足群的定義，那麼他們完全可以獨立出來另立一個新群。事實上他們也許已經這樣做了而你作為圈外人還不知道！哈哈哈。

一個微信群還會加人和踢人。但是因為群的兩大要素之一就是給定的集合，所以每一次加人和踢人，這個群實際上都變成了一個新的群。在這個意義上，你不能兩次踏入同一個微信群。

為什麼弄個群都要有這麼多講究？

作為一個數學概念，「群」是被發明出來的，並沒有任何外界強制。數學家也不傻，發明並如此定義它的目的，一定是因為它有用。

確實如此，群是現代數學中最有用的基本概念之一。伽羅瓦當時取下「群」（groupe）這個名詞時，主要考慮的是五次以上方程解法的問題，但是今天它的用場遠遠超越了那一個領域，因為後來我們意識到，群論的最大用途是關於「對稱性」的研究；所有具有對稱性的東西，群論都能派上用場。

而對稱在這裡的含義甚至比日常語言更廣。對數學家而言，只要在發生了變換之後有什麼東西還維持不變，那它就是對稱的。幾何體當然可以是對稱的：一個圓左右翻轉後還是圓，旋轉180度後還是圓，所以它在這兩種變換下是對稱的。但對稱性也適用於非幾何體的抽象概念：比如f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2這個函數，無論怎麼調換x、y、z的位置，都是不變的；或者sin(t)，用t+2π代替t，也是不變的。它們也都具有相應的對稱性。

而對稱性最為神奇的一點是，它竟然和物理世界中的守恆一一對應。比如物理學定律是不因時間的流逝而改變的，換言之它在時間變換下對稱；而這個對稱性可以直接推導出物理學中最重要的定律之一：能量守恆。物理學定律又不隨著空間的位置而改變，這個對稱性又能推出另一條同樣關鍵的定律：動量守恆。每一個物理上的守恆量必然伴隨著數學上的對稱性，這是二十世紀最偉大的數學家之一艾米·諾特（Emmy Noether）女士發現的。

如何從數學上證明微信群不是一個群？