非線性科學：浪花是如何產生的？

汪洋大海的波瀾壯闊不知道成就了多少文章詞句，尤其是那滾滾的波濤。錢塘江大潮每年都要吸引數千上萬的遊人。但你是否想過，為什麼高聳的水牆會破碎成雪白的浪花呢？其實這個問題只是一個由頭，我們真正想介紹的是一門學科——非線性科學和它的一個重要概念——孤子。

水牆倒塌、白浪滔天（圖片來源：desktopsky）

在牛頓的物理世界裡，一切看起來都那麼簡約、直觀。給出一個力，只要除上一個常數（質量）就能得到物體的加速度，這個物體去往何方就這麼定下來了。但這似乎只是大自然這本深奧巨著的一個簡單概要。一根彈簧在剛剛拉開的時候，它的拉力和張開長度是呈線性關係的，但拉的越長，需要的力量就開始呈現出指數的面貌。鹽在水中的溶解快慢是這樣，液體流速與液體密度的關係同樣如此，就連我們人類掌握一門學科知識的速度也不是一條斜線。大自然似乎特別偏愛非線性，以至於讓它包圍了我們每一天的生活。

雖然非線性現象無處不在，但要想理清它的來龍去脈卻絕非易事。非線性意味著變數的變化不僅與周圍環境還與變數自身相關，可謂牽一髮而動全身，描述它的方程更是讓最頂尖的數學家都感到吃力。經過艱辛的探索，科學家們在非線性的重重迷霧中，隱約找到了一把開啟寶庫大門的金鑰匙，它的名字就是孤子。孤子是非線性諸般效應中最引人注目的部分，它還包含了非線性系統大部分的信息，稍誇張地說，了解掌握了孤子，非線性系統就向你張開了熱情的雙臂。

水道中的孤子水波，不會化為白色浪花的水波（圖片來源：youtube）

1834年8月的某一天，英國著名的科學家、工程師約翰·斯科特·羅塞爾（John Scott Russel）正悠閑地在河道邊騎馬散步，兩匹馬賣力地拉著一條貨船沿著狹窄的河道迅速前行。目的地到了，船隨即停了下來。但河道內被船體帶動的水團並沒有停止，在翻騰的水花中有一個水浪呈現出一個滾圓而又平滑、輪廓分明的巨大孤立波峰，它以很快的速度向前滾動著離開了船頭。在行進中它並沒有像其他波浪一樣很快就散開到水面下，而是保持著長約3英尺，高約1-1.5英尺的初始形狀，以每小時8-9英里的速度滾滾向前。羅塞爾跟著這個特立獨行的波浪走了1-2英里後，它才逐漸消失在逶迤的河道中。1844年9月，羅塞爾將這段經歷寫進了他在英國科學促進協會第十四屆會議上所做的「論波動（On waves）」報告中。正是這段描寫開啟了孤立波的研究。

1895年荷蘭著名數學家科特維格（D. Korteweg）和他的學生德弗雷斯（G. de Vries）首次從一種稱作KdV方程的非線性偏微分方程中獲得了描述孤立波的數學解。1965年美國普林斯頓大學的兩位數學家克魯斯卡（M. D. Kruskal）和扎布斯基（N. Zabusky）通過數值模擬的方法發現孤立波在相互碰撞後仍保持其波形和速度不變的現象。孤立波也因此獲得了自己的名字——孤子（soliton）。

兩強相遇，平衡中求生存

孤子是競爭的產兒，它從激烈的對抗中走來，誕生於最美妙的平衡中。非線性匯聚效應與色散效應的對抗產生出的孤子稱作時間孤子，非線性匯聚效應與系統衍射效應對抗產生的取名叫空間孤子，而在增益與損耗相對抗的開放系統中產生的就是耗散孤子。現在讓我們來近距離地看看它們激烈對抗的場面吧。

何為非線性匯聚效應？想像微風吹拂的海面，水面掀起層層碎浪，波光粼粼。忽然一陣勁風襲來，浪尖變陡，捲成一朵浪花撲向岸邊。浪花的出現正是非線性匯聚效應的結果。由於勁風的作用，使得靠近浪尖部分的速度增加，而靠近下端的部分因為海水的阻滯作用而保持較低的前進速度，也就是同一波浪的傳播速度呈現非線性分布。隨著海浪前行，較高的部分開始往前傾，較低的部分往回縮，海水因此聚成了一堵牆，水牆越來越前傾，最終坍塌，捲起了美麗的浪花。

要解釋色散效應則需要引入一些物理概念。在物理學家的眼中，無論多麼複雜的浪包都可以看做大量相似的小浪包的疊加，從眾多小浪包中挑出一個，你會發現它沿著前進方向周期地起伏前進，而如果你用和它相同的速度一塊前行，你會看到你身邊的這個小浪包始終保持著原來的樣子，物理學家把這一現象稱為「同相」，而這個前行速度就命名為「相速度」。所有相似的小浪包疊加形成的大浪包則具有自己的前行速度，即整個波群的速度，稱為「群速度」。當這兩個速度大小、方向不一致時，浪包就出現了色散效應。色散這個詞的由來與牛頓有關，想想白光在三稜鏡中分散成七個顏色的情景不正是因為七種顏色的光在稜鏡中的傳播速度不一致嗎。色散效應的結果是波包逐漸的彌散、攤平開來。

如果理解了上面的兩種效應，應該很容易發現它們兩者的作用效果恰恰相反，一個使波匯聚，一個使波彌散。可以想見，當兩種效應棋逢對手之時，波浪將能保持著初始的狀態前行很久，直到某一方敗下陣來。

另外兩種孤子的產生原理也大致相同。如果說色散效應的結果是波形隨時間的展寬，那麼空間衍射效應的結果就是波形隨空間的展寬。也就是說空間孤子可以理解為時間孤子在空間上的對應物。而耗散孤子的原理從字面上已可略知一二：波的能量在傳播過程中不斷地損失，而外界則不停地給波注入能量，如果收支平衡，那麼孤子誕生。

大展宏圖

孤子的名字中之所以有一個粒子的「子」字，就是因為它具有一些准粒子的性質。當兩列，或者幾列孤子波相遇並碰撞時，它們表現得就像彈性小球一樣，碰撞的前後，它們依然保持著各自的波形和傳播速度。正是因為孤子這種穩定性，孤子在1973年被考慮運用到光電信息傳輸中。這也正是它一展才華的地方。

每天都夢寐以求的wifi，而網路信號在光纖中的傳輸與非線性學科密不可分（圖片來源：popsci）

網路應該已經成為人們最不願離開的東西了吧。但基於電信號的傳輸網路卻讓想要享受上網衝浪的人們常常受到擱淺的困擾。網路能不能像火車一樣也迎來一次提速呢？能。不過，得換一個名字--光網路。所謂光網路就是將光纖作為傳輸載體的網路。因為不同頻率的光波可以在細小的光纖中相處融洽，所以光網路將具有超大的容量和豐富的介面。按一根光纖傳送96個波長，每個波長承載19G信號計算，光網路的容量將達到960G^[1]。

不過光有超大的容量還不夠。如果輸出來的信息與輸入的信息完全不同，那無疑是一場災難。而要想在自然界中找到不讓光波出現損耗、色散的波導材料實在是難上加難。這些效應中的任何一個都足以使光波中攜帶的信息在長距離傳輸後變得面目全非、無法識別。幸好，我們找到了不為世事所動的孤子。根據孤子的產生條件，工程師可以通過調整光纖材料的摻雜濃度、纖芯半徑等參數使光纖具有非線性效應，讓光波在光纖中以孤子的形式傳播。因為孤子間互不相擾，因此可以使光脈衝的間隔很小而不至於發生重疊，從而使信息的傳輸速率提高到每秒兆比特。如此的高速意味著傳送世界上最大的圖書館--美國國會圖書館的全部藏書只需要100秒的時間。而且，最重要的是孤子信號的誤碼率大大低於普通光纖，甚至可實現誤碼率低於10-12（誤碼率=（傳輸中的誤碼/所傳輸的總碼數）*100%）的無差錯光纖通信^[2]。

孤子並沒有止步於光電領域，它的研究已經擴展到了流體力學、等離子物理等多個領域，讓我們期待它更精彩的表現。

倔強的性格，多彩的人生

孤子看起來是一個倔強、不喜歡改變的傢伙，不過近幾年的研究卻發現它包含著豐富的可能。如果在孤子傳播的背景中，也就是海浪傳播的海平面上，或者光波傳播的光波導中加入微小的調製信號，一列不起眼兒的小波，或者微弱的背景雜訊，孤子的振幅可能會在某一時刻突然陡增，隨即又消失不見。科學家們給它們取了一個貼切的名字——「怪波（rogue wave）」。怪波很有可能就是眾多匪夷所思的海難的罪魁禍首，而剛剛所描述的情況正是怪波形成的一種可能機制。物理學家和數學家們的工作正努力揭開這詭異現象的神秘面紗。

而耗散孤子的研究也正變得越來越有趣起來。在一類新近發現的，稱作時空反演對稱系統（parity-time symmetric system）的增益-損耗系統中，行走在平衡邊緣的孤子展現出了突增、振蕩、劈裂以及彎折等令人眼花繚亂的性質。

隨著各個領域研究的深入，表面波瀾不驚的孤子正向我們講述它波瀾壯闊的人生，透過它的故事，神秘的非線性世界變得可以理解、可以掌控，甚至可以為我們所用。你需要做的就是像羅塞爾一樣，靜靜地追隨它，緊緊地盯著它。

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