你真會數數嗎：1+2+3…= -1/12 ？

數學家們又來挑戰你的智商了！問：1+2+3+...=？通過對加法「和」的巧妙定義，居然可以算出1+2+3+...=-1/12！？這並非數學家在故弄玄虛，而是借用了解析延拓的思想和極限的概念來計算這一無窮級數的結果。在這裡我們還將看到怎樣才能算是一個好的數學科普視頻。

這個月的早些時候，「數字狂」（Numberphile）上發布了一個視頻，聲稱全部正整數的和是-1/12。

我一直是「數字狂」的忠實粉絲，它對數學的詮釋讓數學變得妙趣橫生而且通俗易懂，但是這個視頻讓我失望了。把數字-1/12和級數1+2+3+4（譯註：級數，指有限個或無限個數字相加的和）用一種有意義的方式聯繫起來是完全可以的，但是我認為把它叫做該級數的和卻有誤導性。再者，那段視頻中的推導涉及到了一個我作為一名數學教育工作者經常遇到的情況，即數學家們往往不給出明確原因就隨意使用定理或概念，這讓學生們摸不清在某個條件下，什麼是成立的什麼是不成立的。在一個關於這段視頻的評論中，物理學家斯蓋斯庫爾博士（Dr.Skyskull）說：「很多人對數學有一種成見，認為數學是非直覺的、古怪的魔法，只有那些超高智商的人類才可能通曉。而（數字狂）不加解釋地放出這麼一個瘋狂的結論，只會讓人們更加堅信這一看法。在我看來，這是對數學的傷害。」

加法是一個二元的運算。你輸入兩個數字，得到一個數字。但是你可以把它拓展到更多數字。比如你想把三個數字相加，那麼你可以先把其中任意兩個相加，再把第三個與前兩者的和相加。我們可以對任何有限個數字進行類似操作（交換律告訴我們不論相加的順序如何，得到的和是一樣的）。但是當我們試圖把無窮個數字相加時，我們就必須明確定義什麼是加法。處理無窮項相加最常見的方法是運用「極限」的概念。

簡單地說，假設有無窮多個數，隨著加進去的數越來越多，它們的和越來越接近數L，那麼我們就說這無窮多個數的和是L。如果L是有界的，則稱該級數收斂。收斂級數的一個例子是1/2+1/4+1/8+1/16…，這是一個收斂到1的級數。原因很簡單：從0開始，加上第一個數1/2之後，我們距離1有一半；加入第二個數之後，我們距離1有所剩距離的一半，以此類推，每加入一個數就向著1前進所剩距離的一半。

1/2+1/4+1/8...=1的直觀「證明」。圖片來自Hyacinth，維基百科Commons

芝諾悖論（Zeno』sparadox ）說，我們不可能真正達到1，但是從極限的角度看，我們可以無限地接近1。這就是數學家們討論無窮級數時所用到的「和」的定義，它跟我們直覺上所認為的「和」、「等於」的概念是基本一致的。

但是並非所有級數都是收斂的（我們稱不收斂的級數為發散級數）。一些級數，比如1-1+1-1...，當我們不斷添項時，其前n項的和會在不同的取值間變動。而另一些，比如1+2+3+4...可能變得無窮大。顯然，當用極限概念定義級數的收斂性時，級數1+2+3+4...是不收斂的。因為假如我說這個級數的極限是某個有界數L，那麼我可以輕鬆地算出加到多少項之後該級數的和就會超過L，從而說明它不收斂於L。

數字-1/12 可以同級數1+2+3…有意義地聯繫起來，但是我傾向於不把-1/12叫做所有正整數的「和」。解決這個問題的一個方法需要用到複分析中解析延拓（analyticcontinuation）的思想。

假設我們有一個定義在複平面的函數f(z)，該函數的定義域為U。你可以找到一個方法來構造另一個定義在更廣的定義域上的函數F(z)，滿足對任意屬於U的z，有f(z)=F(z)。所以新構造的函數F(z)在每一處f(z)有定義的地方與f(z)一致，並且在f(z)的定義域之外的點上也有定義。則函數F(z)就叫f(z)的解析延拓。（注意此處沒有「之一」，因為一個複函數有唯一的解析延拓。）

解析延拓是有用的，因為複函數可以看成關於變數z的無窮級數，而大多數這種無窮級數只有當z取某些值時才收斂（譯者註：即該複函數僅在某些點處有定義），如果我們可以讓該函數在更廣的地方有定義會比較好，而一個函數的解析延拓就可以讓原函數在無窮級數的非收斂點處也有定義。當我們用一個函數的解析延拓值來代替定義原函數的無窮級數時，我們就可以說1+2+3…=-1/12 了。

我要在一個函數某點的解析延拓取值與一個在其他地方定義的無窮級數之間放上一個等號。

現在需要討論的問題是黎曼ζ函數 （the Riemann zeta function），它以與素數的分布問題有很大聯繫而著稱。當s的實部大於1，黎曼ζ函數ζ(s) 被定義為（我們通常用字母z代表複函數中的自變數，但為了沿用黎曼對ζ函數的定義[見黎曼1859年的論文]，這裡我們用s來表示自變數）。這個無窮級數在s=-1時不收斂，但是你可以看到，當我們令s=-1時，黎曼ζ函數就等於級數1+2+3…，所以黎曼ζ函數是這個函數在整個複平面（除了s=1處）上的解析延拓。當s=-1, 有ζ(s)=-1/12。通過在ζ(-1)與之前在複平面的其他地方定義函數的無窮級數之間放上等號，我們就得出了1+2+3…=-1/12的結論。

解析延拓並不是把數字-1/12和級數1+2+3…聯繫起來的唯一途徑。要想了解其他既詳盡又不涉及複分析的好方法，參見：

http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/。

我覺得數字狂的視頻並不好，因為他們本可以講清楚一個值用無窮級數替代是什麼含義，也本可以解釋清如何用不同方法實現這一替代，但他們卻沒有。如果你有一點點背景知識，你可以觀看這個視頻以及一段更長的同一話題的視頻，看看事實到底是怎樣的。但是那視頻之所以讓人們「哇」出來，是效果來源於這樣一個事實：一堆正整數相加的和不可能得到一個負數，如果觀眾們對「和」的概念的理解是他們本來的理解的話。

圖片來源：quickmeme

如果數字狂可以更加清晰地解釋聯繫數值與無窮級數的其他途徑，就不會僅僅讓人們覺得數學家總是在偷換概念。在那段視頻的末尾，製片人布雷迪·哈倫（Brady Haran）問物理學家托尼·帕蒂利亞（Tony Padilla），如果永遠不停地在計算器上累加正整數，按下「=」按鈕時，會不會得到-1/12？帕蒂利亞嬉笑著說：「前提是你得不停地加，老兄！」 但是事實上答案應該是否定的。這裡，我認為他們本可以向觀眾澄清他們用了一種不同的方法來給無窮級數計算數值，這樣可以大大減少視頻的誤導性，但是他們錯失了機會。

其他人寫東西贊了這段視頻里的數學。在Slateblog post的溢美之詞之後，菲兒·普萊特（Phil Plait）寫了一篇冷靜理智得多的文章來解釋級數計算的各種方法。如果你想自己搞明白證明細節，約翰·貝茲（John Baez）已經做好了全部工作。布萊克·史黛絲（Blake Stacey） 和思凱斯庫爾（ Skyskull） 博士的文章將告訴你用-1/12 來代替全部正整數的和在物理研究中的應用價值。理查德·埃爾維斯（Richard Elwes） 寫了一個無窮級數「健康和安全警告」（healthand safety warning），涉及到了我曾經最喜歡的諧波級數（harmonic series）。我認為推廣關於這一無窮級數含義的探討是極好的，儘管我覺得視頻中展示的還不夠充分，畢竟現在在YouTube上有百萬多的觀眾在看啊！

（作者： Evelyn-Lamb，猶他大學博士後；翻譯：劉然；審校：李想）

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