駕駛背後的物理學你了解嗎？

堵車了，有點不高興，望著眼前一片一望無際的靜靜的車海，你的心情可能會更加煩躁。堵車了固然叫人覺得有些煩，不過不堵車的時候，司機朋友們同樣很煩，一個標誌性的場景就是在車流中前行時司機朋友們的一路髒話。司機朋友從不掩飾對其他與自己駕駛速度不同的司機的厭惡——這種抵觸情緒常常顯得十分不理性，在旁觀者看來，似乎司機只是因為「被超過」所以才特別討厭那些給自己心理壓力的快車司機，而那些開得慢的司機，即使他們的車被遠遠甩在後面，司機朋友也不會忘記批評他們的駕駛技術的。這些表面看起來很不合理的行為固然有其心理因素，可在這種抵觸背後，司機對其他駕駛者速度的苛求，可是否也還有一些物理因素呢？

（1）物理學家眼中的交通流：一個玩具模型

物理學家對交通流問題也有其獨特的興趣，這是因為在交通流問題中，我們非常直觀地就引入了「流」的概念，單位時間內通過整條公路的汽車數即可定義為「流量」，而「流」正是在非平衡統計物理中非常重要的一個概念。在基礎物理的學習中，我們遇到了許多不同的方程來分別描述這些輸運過程（例如電流、熱流、物質流的輸運），而在這些描述的基礎上進一步抽象所得到的最簡單的模型就是「非對稱簡單排斥過程」 （Asymmetric simple exclusion process，簡稱 ASEP 模型）。這個模型可以解釋許多複雜的輸運問題。

圖 1 - ASEP 模型示意圖（圖片引自：PavelL. Krapivsky, Sidney Redner, Eli Ben-Naim 等人的《A Kinetic View of Statistical Physics》 ）

如圖1所示，在這個模型中，粒子位於格點上，每個格點最多容納一個粒子，隨機給出一個初始狀態，給定圖中所示的各個參數，我們就可以用元胞自動機的方法對系統的演化進行模擬，遺憾的是它的解析解至今還沒有被完全解決。為了定性介紹這一問題，我們不妨考慮粒子只能朝右邊運動的情況（如圖），這對於公路的建模是非常合理的。如果位於 i 格點的粒子在朝右運動時，恰好遇到i+1 格點已被粒子佔據，那麼該步的遷移是不能發生的。在這個模型的基礎上，我們可以計算系統的總流量，如果 i 格點被粒子佔據，那麼在如果想要在這個格點附件出現「流」的話，就必須要下一個格點不被粒子佔據才行。這時如果考慮系統進入非平衡定態時的情況，所謂的「定態」就是系統的性質不隨時間改變的情形，此時的系統應該存在穩定的流。在這個問題里，當系統進入非平衡定態，L 個格點處處應當都存在相同大小的流，即「該格點上存在一個粒子、且下一格點上不存在粒子」這一事件在所有的格點發生的概率應該完全相等，在平均場近似的情況下，我們很容易從直覺知道——當所有格點上粒子出現的概率為 0.5 的時候，就可以滿足上面的條件。甚至利用中學數學知識（開口向下的拋物線極值）還可以很容易可以得到結論：粒子密度等於 0.5 時的總流量可達到最大值。在交通的問題中，這對應了某種最佳的車距，即每輛車前面仍有足夠的空間使得其不必減速，且公路上的總車流密度也不會太低，這個平均場解在定性描述交通總流量最大值時確實看起來是非常合理的，它指出了兩個顯而易見的事實：當公路上少有汽車時，公路的總流量顯然很低；而當公路上汽車密度太高的時候，則會因為交通堵塞而導致交通流量同樣很低。

（2）更真實的交通流模型

顯然，ASEP 這樣的玩具模型還不足以幫助我們理解司機的行為，更不可能對解決城市交通問題給出什麼有效的幫助。為了更準確地對此進行建模，我們可以採用 Nagel-Schreckenberg 模型的諸多變形從微觀（司機的加速減速行為）的角度，或者其它類流體力學的模型來從宏觀的角度對真實的交流模型對交通問題進行建模。然而因為人類的行為可能非常複雜，可能出現各種反常。例如，我們時常發現，在交通高峰期（例如國慶時的高速公路），車輛密度其實已經非常高（大於平均場解出的0.5），我們的身邊全是車，但道路並沒有發生堵塞；反而有時一個違章的司機會導致一條單行線在車流並不大的情況下出現堵塞，這似乎與各類簡化模型的預言是不相符的。

圖2 真實世界中的車流與車輛密度之間的關係，這一關係與平均場解有相似的定性趨勢（圖片來源：西成活裕《堵塞學》）。

為了更好地刻畫這些「反常」的情況，科學家們進行了許多實驗，並對許多真實的交通數據中進行了統計。統計數據表明，當車輛密度很低時，通常無論如何交通都不會發生堵塞，而當汽車的密度達到 0.2 附近時，就有可能有可能堵塞，但也有可能在高密度區出現各車保持速度相近的「亞穩態」；隨著車輛密度的進一步提高，這些亞穩態也無法繼續維持，進而無法出現穩定的車流，交通堵塞出現，車流量降低到 0。這一結果與前面的平均場解有相似的定性趨勢，但顯然其中有更多的其它因素。如果需要對真實世界的交通流進行建模，我們還需要更多的數據，從這些數據中去找到真正造成交通堵塞的一些因素。除了收費站、信號燈、交通事故等因素之外，還有許多具體情況造成的速度突變也可能對交通流產生重大的影響：例如轉彎，因為轉彎的同時就伴隨著減速；又例如為方便隧道排水而設計的非平直隧道也會導致堵車。這些速度突變在交通流的問題中可能導致堵塞，而如果是在擁擠的行人中出現，那還會伴隨著巨大的直接相互作用，這種巨大的壓力有可能造成非常嚴重的後果。

（3）速度的漲落：司機罵人的物理學基礎

綜上所述，如果不考慮各種心理因素，僅從物理的角度來看，之所以司機朋友喜歡大罵其他駕駛者，通常是因為其他司機的一些行為（尤其是車速的漲落）與自己的期待不符，而這些漲落的大小很可能對車流的總量是非常相關的。如果沒有限速區段（如收費站等），只要所有的汽車保持相近的速度，即使各車道上擠滿了車輛，仍然有可能保持較高的交通流量，但此時的交通流並不是穩定的，很可能會因為其他司機速度上的變化而導致交通流發生突變，變成堵塞態。因此，或許司機朋友們的憤怒並非完全沒有道理。更具體的說，司機朋友之所以討厭比自己開得快的人， 一方面是因為某種被超過的「被壓迫感」，另一方面則是因為， 如果公路上存在高速駕駛的司機，其他司機可能會因此調高對這條路平均駕駛速度的心理預期，從而導致我們自己變成其他司機眼中的慢車司機，這顯然是司機朋友自己不能忍受的侮辱。而慢車司機對交通流的影響則更是一個顯而易見的問題。當前方出現速度太慢的車輛，後面的車要麼需要變道超過它，要麼就可能會撞上前面的車，此外，我們很有可能會把在下一個十字路口不能及時趁信號燈變紅前通過全部怪罪於他。除此之外，因為汽車的加速和減速都需要一定的時間，如果沒有發生堵車，後面的車輛只需要稍稍自己調節一下車速，整條公路還不至於發生交通擁堵，而一旦某處車速降到 0，這時情況就會發生重大的變化——因為汽車的啟動也需要一定的時間。從公路上的靜止點開始，在公路上會出現流體力學中常見的「激波」，一次堵塞就出現了，這時假如馬上把堵塞點的車輛移除，系統仍然需要耗費一定的時間才能重新回到通暢的狀態，通常車流越長，交通恢復的時間也會越長 。

從上面的分析中我們已經看到了交通流問題中的複雜性，如果希望對實際生活中的交通流進行模擬，即使只考慮單車道，我們也會需要設定：（1）汽車到達公路的隨機過程；（2）減速、加速等過程所花費的時間；（3）駕駛者的速度偏好（或分布）等等。如果考慮多車道問題或者十字路口、交通環島等，情況可能會變得更加複雜。不過，近年來隨著 GPS 定位、高分辨的圖像分析、感測器和大數據等技術的發展，在交通問題的分析上，工程師們已經積累了越來越多的定量經驗，相信在未來，隨著停車場的增多和更合理的道路規劃，各大城市的交通問題會有所改善。

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