最美數學公式的150年：麥克斯韋方程組與「無用」的科學

撰文 Marianne Freiberger

翻譯 徐麗

審校 胡家僖

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詹姆斯·克拉克·麥克斯韋（1831-1879）

剛過去的2015年頗有紀念意義：我們慶祝了愛因斯坦的廣義相對論的百周年，然後是喬治?布爾（George Boole）的誕辰200周年生日，他發明的布爾代數推動了現代計算機的發展。然而，不要忘了還有第三件值得紀念緬懷的事：2015年也是麥克斯韋方程組確立150周年，不管是對於我們對宇宙的理解，還是對於現代科技的發展，這一方程組都意義重大。

約150年前，蘇格蘭物理學家詹姆斯·克拉克·麥克斯韋（James Clerk Maxwell）找到了聯繫電與磁的方法，而此前這兩者似乎毫無干係。1865年，麥克斯韋發表了一組方程來描述所有的電磁現象，方程組亦被命名為電磁方程組。名字聽起來有些奇幻，但電磁現象確與我們的日常生活息息相關：光使我們看見了周邊世界，電視與收音機娛樂了我們的生活，wifi與行動電話信號讓我們彼此相連，而它們都是電磁波。應用電磁方程組的物理技術領域實在太多，我們無法一一列舉。

追逐電磁波

單就電或磁本身而言，科學家們對它們的認識已經有很長一段時間了。「『電』（electricity）與『磁』（magnetism）的英文單詞源於古希臘語，」倫敦國王學院克拉克·麥克斯韋理論物理學教授約翰·埃利斯（John Ellis）解釋道（麥克斯韋此前也是這裡的一名教授），「直到18世紀，人們才真正開始逐步去了解電磁現象。而在19世紀早期時，科學家們才意識到，電與磁之間必然存在某種關聯。」到19世紀中葉，包括邁克爾·法拉第（Michael Faraday）在內的實驗物理學家們找到了這二者間存在聯繫的確切證據。他們證明，電流能產生磁場，移動的磁體也會產生電流。

「諸多理論各執一詞，而麥克斯韋的出現才使這一切現象得到了解釋，」埃利斯說，「他向人們展示了如何用聯繫的方法去描述電與磁。」

麥克斯韋方程組

麥克斯韋的一個重大預測就與上文提到的電磁場有關。電磁場並非靜態不變的，而是像波一樣出現周期性的振蕩變化，並在空間中傳播。麥克斯韋方程組預測，電磁場中的振蕩是互相制約的，進而得出電磁波會在空間中高速傳播的結論。

「人們在聽到『波』這個詞時，往往會想到水波或聲波，」埃利斯說道，「電磁波聽起來有些抽象，但它們的表現形式非常具體。比如，燈管發出的光波或收音機傳導的無線電波等，這些都是電磁波，它們都是以麥克斯韋方程組為基礎預測出來的產物。」

根據這些方程，麥克斯韋就能夠計算出電磁波在真空中的傳播速度到底有多快，以回答困擾人們許久的問題。「此前，科學家就知道光的傳播速度特別特別快，但也應該有一個上限，」埃利斯解釋道，「光從A傳播到B肯定需要一定時間，諸多實驗已經證明這一點。麥克斯韋解出麥克斯韋方程組，計算出光速正確數值約為3×10^8米每秒的那一刻，一定科學史上最激動人心的瞬間之一（這種靈光乍現的瞬間在英語里被稱為the Eureka moment，緣起於阿基米德發現浮力定律時所說之話「Eureka!/我明白了！」

雖然結果鼓舞人心，但直到25年後才有人通過實驗證明電磁波在物理上確實存在。「海因里希·赫茲（Heinrich Hertz）證明了電磁波的物理實在性：他在實驗室里產生了周期性振蕩的電流，然後隔空在接收器中檢測到了相應的無線電波信號，」埃利斯解釋道，「你也許會認為這只是在實驗室里的好奇嘗試，但是沒過多久，古列爾莫·馬可尼（Guglielmo Marconi）就成功讓無線電波穿越了大西洋，徹底變革了人類溝通的方式——而所有這些都可以溯源至麥克斯韋方程組。」

追求統一

儘管麥克斯韋方程組的實際應用非常廣泛，但很多物理學家慶祝其周年紀念還有更為重要的原因：它引導著我們更加深刻地理解我們所生活世界的本質。「宇宙確實錯綜複雜，」埃利斯說道，「但我們物理學家的工作就是搞清楚它是如何運轉，又是如何演變成現在的樣子的。所以我們試圖尋找不同現象之間的聯繫，或者它們背後隱藏的原因——這就是所謂的『統一』（unification）。用統一化的方法去描述自然的各個層面，是物理學家的永恆追求。理解宇宙中發生的各個事件之間有著隱藏的聯繫給我們帶來了智力滿足感，同時電磁波的出現也給整個社會帶來了難以想像的巨大變化。」

約翰·埃利斯（John Ellis）

麥克斯韋時代之後，基礎物理學又走過了長長的道路。20世紀30年代末期，科學家們意識到，除了電磁力與引力（17世紀牛頓發現了萬有引力，1915年愛因斯坦完成廣義相對論，指出引力是空間與時間彎曲產生的一種影響）之外，宇宙中還存在其他的基本作用力。他們先後發現了使原子核中的質子和中子聚合在一起的強相互作用（strong nuclear force），以及解釋某种放射性衰變的弱相互作用（weak force）。對20世紀物理學家而言，下一步的重任則是他們能否更深刻地將這兩種新的基本作用力。」埃利斯說道。

為描述弱相互作用，物理學家採用了與電磁理論類似的理論，最終在終極統一理論的道路上更進了一步。他們認為，弱相互作用和電磁相互作用其實猶如同一枚硬幣——電弱相互作用（electroweak force）——的正反面。這個想法有些匪夷所思，因為弱相互作用的表現既不同於電又不同於磁。正如「電弱相互作用」的名字所揭示的那樣，這種相互作用確實弱一些。它的作用範圍僅在3 x 10^-17米以內，在原子核尺度上弱相互作用僅相當於電磁相互作用的10000分之一。「如果它不夠弱，生命可能就無法存在。」埃利斯說道，「不是說沒有它我們會死，而是沒有它我們根本就不可能誕生。如果電弱相互作用並不弱，宇宙可能是截然不同的另一番模樣。」

電弱統一的觀點認為，電磁相互作用與弱相互作用在宇宙形成的最初階段具有一定的相似性，在大爆炸之後的一段時間，隨著宇宙的冷卻，這兩種作用才漸漸分離開來，最後變得截然不同。這種想法聽起來有些奇怪，但也並非完全陌生：想想水結冰時所經歷的變化，或許就能從一定程度上理解。

電弱統一理論於20世紀60年代被提出，用一個統一的數學框架描述了電磁相互作用與弱相互作用。「這些相互作用的基本描述特別類似於麥克斯韋方程，所以它是一種統一理論，」埃利斯解釋道，「這組方程形式上更複雜，但是從理論上來講，它們又非常簡單，因為對稱性將它們關聯起來。」

之所以我們今天所看見的四種基本相互作用彼此不同，可以解釋為原本存在的對稱性被隱藏了。這一思想同樣可以用水作為例子來說明：用於描述水自然規律在各處都一樣，也並不偏向於空間上的某一特定方向，這也是為什麼這片海洋里的水和那片海洋里的水看起來都一樣，而且不管從哪個方向看都是如此。然而，水結冰形成冰山以後就完全不一樣了，它們似乎沒有了以上的對稱性：沒有兩座冰山看起來完全一樣的，旋轉對稱的冰山也少之又少。但水的對稱性（即不隨著位置或者方向而改變的特性）並非消失了，它依然存在，只是隱藏在幕後。

回到相互作用——結果表明，每種相互作用都是通過「信使」粒子——玻色子傳導的。最初，所有的「信使」粒子都是完全沒有質量的（實際上，宇宙中所有粒子都是如此）。但隨著宇宙的冷卻，物質開始凝結成各種不同的形態，弱相互作用的「信使」粒子（以及其他粒子）獲得了質量，而電磁相互作用的「信使」粒子依然沒有質量。弱玻色子太「重」，以至於很難產生，這也是弱相互作用之所以這麼弱的原因。「如果那些粒子並不重，那麼弱相互作用與電、磁一樣重要，我們就都要被肢解了。」埃利斯說道。

發現新粒子

最開始，這一理論並未引起關注，但是在20世紀70年代以後，理論與實驗結果都進一步支持了這一理論。「我是1975年開始涉足這方面研究的。我認為這些傳遞弱相互作用的重「信使」粒子肯定存在，所以總會有人發現它們。」埃利斯說道，事實證明他是對的。傳遞弱相互作用的重玻色子（又稱為Z玻色子和W玻色子）於1983年在歐洲核子研究中心（CERN）被發現。而最重要的玻色子莫過於希格斯玻色子（Higgs boson），它在某種意義上是打破電弱統一理論對稱性的媒介，因此可以被看做是粒子物理學的聖杯。我與瑪麗·蓋拉德（Mary Gaillard）以及Dimitri Nanopoulos也曾合作了一篇論文，討論這種玻色子會是什麼形態的。最終，在2012年，大型強子對撞機（LHC）中的實驗發現了希格斯玻色子，完成了電弱統一圖景，換句話說，也就是對稱性及其被打破的過程。

電弱統一是理論物理的巨大勝利。謝爾登·格拉肖（Sheldon Glashow）、 阿卜杜勒·薩拉姆（Abdus Salam）和史蒂文·溫伯格（Steven Weinberg）完成了電弱統一的理論架構，弗朗瓦索·恩格勒（Fran?ois Englert） 和彼得·希格斯（Peter Higgs）描述了質量相關對稱破缺機制，他們均因此獲得了諾貝爾物理學獎。同麥克斯韋與埃利斯一樣，希格斯也在倫敦國王大學度過了一段美好時光，不過是作為學生而非老師。

對統一理論的追求從麥克斯韋開始，至今仍遠沒有結束。物理學家們希望能證明所有的作用力（包括強相互作用與引力）都曾是同源，只是因為大爆炸後宇宙冷卻才被迫分開。這個宏偉的大統一目標令人生畏——至少引力就是個大難題。

與此同時，這些理論性研究能否產生實際利益呢？「現在，政府總是傾向於以導向性的方式資助研究項目，」埃利斯說，「他們想要新產品，所以他們更願意資助能產生新產品的科學家。但麥克斯韋方程組與電磁波理論告訴我們，最革命性的發現往往不是因為你想要它出現時才出現。通常，物理學中的基礎發現，往往會在意想不到的方面催生頗具創新的科技成果，對統一理論的追尋也在其列。

「這些關於希格斯玻色子的故事表明，數學物理學有驚人的預測潛能。當你在紙上寫下你的方程時，你領悟到其中的對稱美，同時它們也賦予了你強大的預測能力。而我至今還沒發現有哪個其他領域也有同樣的能力。」

https://plus.maths.org/content/maxwells-equation-and-power-unification

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