數學家的秘密社團布爾巴基的一位巨匠

知識 08-22

克勞德·謝瓦萊：布爾巴基巨匠、數學結構代言人

閻晨光

摘要：謝瓦萊是法國布爾巴基學派的創始人之一，在代數數論和李群領域的工作對數學有重要貢獻，其追求體現結構和嚴謹抽象的寫作風格對布爾巴基學派有深刻影響。20世紀30年代謝瓦萊曾到德國去訪學，跟隨阿廷、哈塞等數學家學習，德國數學的代數學方法和技巧對他日後數學工作有著深遠影響，也影響了布爾巴基學派。通過對謝瓦萊工作的分析可以更好地認識布爾巴基學派，更好地理解和把握代數數論在20世紀上半葉的發展。

數學家的秘密社團布爾巴基的一位巨匠

克勞德·謝瓦萊Cladue Chevalley(1909-1984)

布爾巴基學派是世界數學史上的重要學派之一，早期代表人物主要是一次世界大戰後法國崛起的一批數學家：嘉當(H.Cartan，1904-2008)、韋伊(A.Weil，1906-1998)、謝瓦萊(C.Chevalley，1909-1984)、丟東涅(J.Dieudonné，1906-1992)等。謝瓦萊作為布爾巴基學派的主要創始人之一，他的研究以嚴謹抽象的數學風格而著稱，布爾巴基學派的結構主義思想受其很大影響，稱他為該學派的巨匠乃實至名歸。與此同時，他與德國數學家阿廷(E.Artin，1898-1962)和哈塞(H.Hasse，1898-1979)等人的學術關係也體現了當時歐洲大陸數學發展的主要趨勢。

謝瓦萊使類域論擺脫了ζ函數的解析數論工具，並將類域論推廣到有限域及局部域，完成了類域論的算術化。1940年後他轉而研究李群與代數幾何學，出版的三卷本專著《李群理論》被奉為該領域的經典著作，以他名字命名的謝瓦萊群在有限單群分類方面起著重要的作用。此外，在代數群論、李代數上同調理論、交換環論和代數幾何等諸多領域謝瓦萊也有許多經典工作和貢獻。本文以這位法國數學家的工作和布爾巴基學派的關係為線索，論述他的數學工作對布爾巴基學派的影響，在此基礎上嘗試更全面地評價謝瓦萊的貢獻，以期更好地理解20世紀上半葉數學相關領域的發展及其影響。

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圖1

年輕時期的埃爾布朗(左圖)和洛特曼(右圖)

一、高等師範學校的高材生

1909年2月11日謝瓦萊生於南非首府約翰內斯堡，謝瓦萊的雙親都來自新教家庭，母親是法國南部加爾文教派牧師之女。謝瓦萊的祖父是瑞士的鐘錶製造者，後移居法國，他的父親先是在幾家中學教書，後轉向外交界。幼年時的謝瓦萊就顯示出了非凡的智力。1926年17歲的謝瓦萊考入著名的巴黎高等師範學校。這所學校的入學考試難度居法國大學之首，是名副其實的名牌大學。該校在數學教學、研究與人才培養等方面享譽世界，共培養出十位菲爾茲獎得主，四位沃夫獎得主和一位阿貝爾獎得主，其中塞爾(J.P.Serre，1926-)更是世界上極少數集上述數學三大獎於一身的數學家。

巴黎高師學製為4年，前兩年學生在綜合性大學註冊學習，以獲取大學三年級學習文憑和學士學位，後兩年在本校教師指導下準備中學教師全國會考(Concours)，通過會考者可獲教師資格。1929年謝瓦萊只用三年時間就畢業並取得中學高級教師職銜，其聰明程度可見一斑。在1929年3月的一次關於分析學的考試中，謝瓦萊得到的評語是：能通過熟練的推理來成功解題……使用了意想不到的方法，而這些方法都是非常困難的。

大學時，年輕的謝瓦萊對文學和哲學也產生了濃厚興趣，特別是科學中與哲學相關的語言學問題。他借閱了許多相關書籍，如法國劇作家、語言學家雷努阿爾(F.Raynouard，1761-1836)的詞典「Lexique Roman」，如法國著名作家紀德(A.Gide，1869-1951)1909年出版的代表作《窄門》(La Porte étroite)。

在校期間謝瓦萊跟隨法國數學家皮卡(E.Picard，1856-1941)進行數學研究，還與大他一歲的埃爾布朗(J.Herbrand，1908-1931)和洛特曼(A.Lautman，1908-1944)相識，三人成為了很要好的朋友，結下深厚友誼[1]。此處我們再簡要介紹一下埃爾布朗。

埃爾布朗1908年2月12日生於巴黎，17歲時以第一名的成績考入高等師範學校，在校期間與謝瓦萊相識。除數學外，埃爾布朗還對哲學和詩歌有很大興趣，借閱了大量哲學和詩歌方面的書籍，如柏拉圖哲學、歌德詩集等。1928年埃爾布朗在韋西奧(E.Vessiot，1865-1952)指導下完成了關於數學邏輯的博士論文，之後在德國度過了1930-1931學年。他先在柏林跟隨馮·諾依曼(J.von Neumann，1903-1957)，後來分別跟隨阿廷和哈塞學習。1931年6月中旬他到哥廷根追隨諾特(E.Noether，1882-1935)。1931年7月末他到法國伊澤爾省的La Berarde地區去登山，7月27日在攀登阿爾卑斯山脈的Baus峰成功下撤途中，遭遇事故不幸去世，年僅23歲。埃爾布朗在數理邏輯和代數數論方面的工作得到許多大數學家好評。在謝瓦萊和洛特曼為埃爾布朗所做的傳記中將他的工作視為抽象和嚴格的典範[2]。可以試想若他沒有過早去世，一定也會成為布爾巴基學派的中堅力量。

二、嶄露頭角的類域論工作

1930年到1940年的十年間，謝瓦萊主要研究局部和全局類域論，類域論是代數、數論和分析的完美結合，源於19世紀末克羅內克(L.Kronecker，1823-1891)、韋伯(H.Weber，1842-1913)和希爾伯特(D.Hilbert，1862-1943)的工作。希爾伯特1897年的數論報告為該領域邁出了一大步，更多的現代發展則由高木貞治(Teiji Takagi，1875-1960)、阿廷、哈塞、謝瓦萊等數學家完成[3]。

1880年德國數學家克羅內克就在給戴德金(R.Dedekind，1831-1916)的一封信中提出了被稱為「青春之夢」的猜想：即每個虛二次域K=Q()的極大阿貝爾擴域是將K添加某種橢圓函數在全部有理點處的值而得到的域。這個問題是代數數論最重要的問題之一，1900年希爾伯特將其作為第12問題寫入了著名的23個數學問題中。其實，1898年希爾伯特就已經建立了早期的類域論理論，對於代數數域k及其伽羅瓦擴張K，如果k的一次素理想p(即絕對範數為素數的素理想)在K中能分解為K的一次素理想的積，當且僅當p是主理想時，稱K為k上的類域，這種類域後來稱為「希爾伯特類域」，但他僅對類數為2的情形給出了證明。高木貞治是希爾伯特的學生，1898年到哥廷根跟隨希爾伯特學習。1903年高木貞治部分解決了克羅內克猜想。1920年他證明代數數域k的任何阿貝爾擴張K都可表示為k的類域，由此得到了類域論基本定理，他所建立的這種理論被稱為高木類域論。在此背景下，克羅內克猜想由於成為高木類域論的一個特例而得到證明。從此類域論研究開始專註於代數數域k上的阿貝爾擴張。1920年9月25日高木貞治在法國斯特拉斯堡舉行的世界數學家大會上宣讀了上述結果。[4]另外，他還得到了類域論中重要的基本定理、分歧定理、同構定理、分解定理和存在定理。

從1923年到1926年，阿廷和哈塞開始研究高木的工作，並試圖將其工作表述的更簡單，並開始討論希爾伯特第九問題。1927年哈塞發表「類域論報告」的第一部分，對高木的理論給出了更深入的論述[5]。在此基礎上阿廷提出了更一般的互反律(現稱為阿廷互反律)，並於1927年完成了證明，以「一般互反律的證明」發表[6]，其中由阿廷映射(Artin map)明確得出了相對阿貝爾擴張與伽羅瓦群的對應關係。1930年哈塞類域論報告的第二部分發表，論述了如何從阿廷的一般互反律中推導得出高斯、庫默爾、希爾伯特和高木貞治的互反律[7]。1929年哈塞注意到了美國數學家迪克森的代數工作，並在哈雷大學組織了關於超複數理論的討論班。此後，他開始將類域論的算術思想與可除代數理論中的代數思想結合起來([8]，p.433)。高木貞治和阿廷的工作成為希爾伯特之後類域論領域的標準工作，其特點也很明顯：對於不同的阿貝爾擴張，高木類域論和阿廷類域論都要在不同的模M廣義類群的商群上花費大量的計算，而謝瓦萊正是通過伊代爾的概念避免了如此繁瑣的工作。

以上是類域論理論早期的發展背景，其中19世紀的代數數論的主流——解析方法對早期類域論影響頗深。在希爾伯特1900年提出的若干數論問題激勵下，數學家開始在幾個方向上拓展經典的數論和代數數論工作。在這個潮流中，一些德國數學家將其特有的代數思想和方法引入類域論領域，極大地推動了類域論乃至代數數論的發展。謝瓦萊正是在這樣的情況下來到德國的。

畢業後謝瓦萊得到法國國家科學研究中心(CNRS)資助到德國繼續他的研究，而埃爾布朗則獲得了洛克菲勒獎學金，到柏林大學跟隨馮·諾伊曼學習。謝瓦萊在1931年到1932年在漢堡大學跟阿廷搞研究，後來又在馬堡大學跟隨哈塞學習。1930年亨塞爾(K.Hensel，1861-1941)從馬堡大學退休，哈塞便接替了他的位置。此後，哈塞開始跟布饒爾(R.Brauer，1901-1977)以及諾特一起研究單純代數，並最終確定了今天所謂的代數數域的布饒爾群。謝瓦萊到德國時，諾特正在研究超複數系與類域論的關係。受到諾特、哈塞和布饒爾的強烈影響，謝瓦萊也開始研究代數數論，並用結合代數的方法表述了類域論[9]。謝瓦萊這段時期的工作主要涉及代數數論，並得到德國學派的高度評價。而德國數學家對謝瓦萊的數學工作和思想也產生了深遠影響。德國數學家的代數方法和技巧及研究的著眼點都令他受益匪淺，這從其數學工作中也可窺得一斑。無論是仿照哈塞推廣其模剩餘理論，還是對阿廷方法的繼承與創新，或是在信中與諾特探討類域論算術化，謝瓦萊的工作都深深地受到了諾特、阿廷和哈塞等人的影響，就連他力求簡潔抽象的文風都受到德國數學家的影響。

1933年謝瓦萊在博士論文中擺脫了阿廷的解析方法，將類域論推廣到有限域及局部域(如亨塞爾給出的p-進域)，奠定了自成體系的局部類域論的基礎。他證明可以直接從p-進域出發來考慮其阿貝爾擴張，這樣要比全局類域論更簡單。接下來幾年，他致力於在類域論中消除ζ函數等解析數論的工具，這在前人的證明中是不可或缺的。為了能描述無窮阿貝爾擴張的類域論，他在1936年引入理想元的概念，並提到藉助該概念可能完成類域論的形式化。1940年謝瓦萊將理想元改造為伊代爾(idèle)，並完成了類域論的算術化工作。藉助伊代爾，他既不用高木貞治的結果也不用解析數論，而通過局部類域論得到了和全局類域論的相同結果，這也被譽為第一個「從局部過渡到整體」的明確實例。[10]此後，伊代爾概念成為代數數論的基本概念。

1936年謝瓦萊接替了韋伊在斯特拉斯堡大學的職位，這是他的第一份教職。1937-1938年他在法國西北部城市雷恩接替了丟東涅的教學研究職位，1938年到普林斯頓高等研究院就職。二戰爆發後，在法國駐美國外交官的建議下謝瓦萊滯留美國，並在普林斯頓大學工作到1948年，之後在哥倫比亞大學執教直至1955年。美國學生髮現謝瓦萊要求嚴格，並沒有太多的學生願意跟隨他做研究工作，因此他在美國並沒有很多學生。[11]特別值得指出的是，1941年我國數學家段學復(1914-2005)到普林斯頓大學攻讀博士學位，並與謝瓦萊有了一段被傳為佳話的合作與研究。

1938年秋華羅庚(1910-1985)從英國劍橋大學訪問歸來，成為西南聯合大學-清華大學的教授。他講授的「近世代數」課程以剛問世不久的范德瓦爾登(B.L.van der Waerden，1903-1996)《近世代數》第一卷為藍本，但又做了不少的修改。在這門課中段學復擔任了刻寫講義和批改學生習題的任務。他還參加了華羅庚開設的有限群討論班，並開始研究p群，這也是段學復從事代數學、特別是有限群方面的理論研究和培養人才工作的開端。

1939年段學復考取了留英公費生並於次年9月進入加拿大多倫多大學。多倫多大學數學系是當時加拿大最大的數學系，他的導師布饒爾當時正在創建有限群的模表示論。在布饒爾的指導下，他很快就取得了一些關於p群的成果，並於1941年獲得碩士學位，同年8月進入美國普林斯頓大學數學系攻讀博士學位。

普林斯頓在當時有世界數學中心之稱，代數學家韋德伯恩(J.Wedderburn，1882-1948)就在該校任教，謝瓦萊則是系裡的年輕助理教授，學術上非常活躍。段學復在布饒爾和謝瓦萊的指導下，與他們合作完成了有限群的模表示理論和李群、代數群兩方面的重要工作。1943年段學復獲得普林斯頓大學哲學博士學位，並在普林斯頓做了兩年博士後，期間曾到阿廷處作過4個月的訪問學者，從1945年9月起到普林斯頓高等研究院擔任外爾(H.Weyl，1885-1955)助手，協助他修訂經典名著《典型群》，一直到1946年回國。[12]

在國外的這6年是段學複數學生涯中很重要的一個時期。而有幸向布饒爾和謝瓦萊這兩位大師學習並與之合作，對於他的影響更是不言而喻的。

三、奠定聲譽的工作

1940年後謝瓦萊將研究方向轉向先前並不熟悉的李群和代數幾何學，並逐漸對任意域上代數幾何學發生了興趣，證明了代數簇局部環的一些主要性質。1941年他發表了兩篇論文，一為「可解群的拓撲結構」，一為「李群一條性質的一個代數證明」，這也標誌著他正式轉向李群及代數幾何領域。

1943年謝瓦萊利用矩陣的張量不變數定義了矩陣復型，並刻畫了冪零矩陣的復型。當時他正在主持一個李群討論班，他和段學復得出：如果將代數的李代數定義為包含其中任意元素的所有復型的矩陣李代數，則這樣定義的李代數恰是莫瑞爾(L.Maurer，1859-1927)1894年研究的代數的李群的李代數，也就相當於證明了代數李群的基本定理：在複數域上，一個代數的李群的李代數必然是一個代數的李代數，反過來也成立，這個等價關係是代數群中的基本定理。[13]這些概述性證明出現在他們合作發表於1945年的文章中。[14]

1946年、1951年和1955年，謝瓦萊出版了三卷本《李群理論》。第一卷首次對李群理論的基礎用整體觀點作了前後一貫的系統敘述，並將其置於解析流形概念的基礎之上，這本書也一直被奉為李群領域的基本參考書，並體現了謝瓦萊從20世紀40年代中期開始對李群領域純代數方面越來越濃的研究興趣。此卷第六章「緊李群及其表示」(Compact Lie Groups and their Representations)已基本屬於代數範疇([15]，p.171)。他當時的目標有兩個：(1)考察如何用緊李群的表示的總體來重構其自身，(2)藉助緊李群的代表環來構建可將該緊李群同構嵌入的代數群([16]，p.886)。一般認為這三卷《李群論》本應具有一脈相承的研究風格，但事實並非如此。第Ⅱ卷在代數李群和李代數的框架下重建了整個理論，與第Ⅰ卷內容基本相互獨立。而在某種程度上，第Ⅲ卷是關於李代數基本結果的標準闡釋。([10]，p.4)

1951年謝瓦萊出版了《單變數代數函數入門》一書，書中嚴格而又嚴謹的代數風格，引起人們廣泛的注意。韋伊將這本書與戴德金、韋伯關於代數函數的經典工作和外爾的《黎曼面的概念》進行對比，並高度讚揚了謝瓦萊的工作。他寫道：「(謝瓦萊著作的)覆蓋面遠遠超過了前者，甚至在書的最後一章，竟與後者有些相似。通過純粹代數的方法從代數函數理論全面的廣泛性來考慮其原理和準則，這是最好不過的事情了！表面上看，謝瓦萊對待該研究領域的態度有些片面，但實際上他的工作是很有價值的，不僅僅對那些自身喜歡代數方法的人，就連對那些希望能確定代數方法的應用範圍和局限性的人一樣有價值。」([17]，p.103)

1953-1954學年謝瓦萊到日本訪學，不久便發表論文「論某些單群」，這可以說是他最有影響力的論文之一。這篇文章的重要性和開創性不在於所展示的新單群，而主要在於所涉及的群的統一處理方法。謝瓦萊發現在伴隨表示下可看成線性群的復單李群能通過單參數子群生成系表出，但這只在巧妙的選取李代數基的情況下才成立，這樣選取的基現在稱為謝瓦萊基。他在這篇文章中研究的特殊有限群現在被稱為謝瓦萊群，如果沒有這些研究，有限單群的分類是不可能完成的。

謝瓦萊對於代數幾何基礎的興趣保持了大約十多年，他不僅熱衷於研究基礎本身，而且對代數群還作了許多研究，實際上代數幾何基礎就是謝瓦萊和嘉當舉辦的討論班的主要議題。

1955年謝瓦萊回到法國，成為巴黎大學的教授，並一直執教到1978年退休。在巴黎他還主持了「謝瓦萊討論班(Séminaire Claude Chevalley)」。第一期討論班於1956-1958年度舉行，主題是李代數的群的分類；第二期於1958年舉辦，主題是周環及其應用；第三期於1958-1959年度舉辦，主要討論皮卡簇；從1968-1984的16年間，討論班的主題一直是「有限群」，這個討論班還一直堅持到了現在。[18]

四、布爾巴基學派的結構主義者

20世紀20年代，一戰剛剛結束不久，百廢待興，有一批人陸續走進巴黎高師求學。他們是：1922年入校的韋伊和德爾薩特(J.Delsarte，1903-1968)，1923年入校的嘉當，1924年入校的丟東涅，1926年入校的謝瓦萊。在校期間，他們都是阿達瑪討論班的聽眾和報告人。阿達瑪討論班由法國數學家阿達瑪(J.Hadamard，1865-1963)在1913年創立，對布爾巴基學派有重要影響。

1933年韋伊、嘉當和謝瓦萊等人準備成立自己的討論班，並向年輕的教授儒利亞(G.Julia，1893-1978)尋求支持。在儒利亞幫助下，他們開辦了「數學討論班」(Séminaire de Mathematiques)，直到1938年因二戰中斷，後被稱作「儒利亞討論班」。幾年後，儒利亞討論班核心成員中的一些人成立了布爾巴基學派。

談到布爾巴基學派的肇始，韋伊這樣回憶：

「1934年的晚些時候韋伊和嘉當以古爾薩標準教材教授微積分。嘉當為了將課程中的章節處理的更好而向韋伊求助，而韋伊也有自己的問題。韋伊提議應和其他大學教同樣課程的朋友會面，一起決定如何處理教學中的問題。由此，便有了嘉當與韋伊和德爾薩特、謝瓦萊、丟東涅及其他一些人在巴黎的定期會議，這個群體就是後來所謂的布爾巴基。」([19]，p.437)

1934年12月10日，星期一，這群青年數學家舉行了第一次會議，於是布爾巴基正式宣告成立。他們每隔一周的周一在巴黎集會，中午就在距盧森堡公園不遠處的聖米歇爾街旁的咖啡館內聚會，一起高談闊論他們的宏偉目標，下午到龐加萊研究所(IHP)參加儒利亞討論班。有了固定的日期和聚會地點，布爾巴基的活動日漸頻繁。從1934年12月到1935年5月，短短5個多月的時間裡，他們就召開了10次會議，宏偉目標也在逐步變成現實。

韋伊的說法在嘉當和博雷爾(A.Borel，1923-2003)那裡也得到了印證。

嘉當說：當時法國很多數學家都死於一戰，我們之前，數學家青黃不接。一些數學家開始到國外去—尤其是德國—看看那裡到底在研究些什麼。這就是數學復興的開始。這應該歸功於韋伊、謝瓦萊和波塞爾(L.de Possel，1905-1974)。作為對韋伊最初倡議的回應，上述這些人集會並組建了布爾巴基。([20]，p.785)

博雷爾也回憶稱數學家們打算採取(比以往傳統的)更精確更嚴格的方式去著書立作，而謝瓦萊便以嚴格的作品而著稱。「即使是對布爾巴基學派來說，有時候謝瓦萊的工作也太嚴格了，他的作品常因『太抽象』而被拒絕接受。」([21]，p.376)

在女兒凱瑟琳(Catherine Chevalley，1951-)看來，謝瓦萊更多的是對嚴謹性的執著追求。凱瑟琳這樣回憶他的父親：對他來說，把問題當作整體來考慮，從全局角度來考慮證明的必要性是至關重要的。布爾巴基所有的成員都關心嚴格：布爾巴基當初的動機就是要彌補法國數學家嚴格方面的不足。……對我父親來說，缺乏嚴格性就如同在泥濘的道路上散步時，不得不時常撿拾地上的污物才能前行。一旦掃除了地上的污物，就會得到數學目標——一種本質上關鍵在於其結構的結晶體。建立起結構後，他會說這是一個打動他的東西……對於他來說，數學的嚴格性在於由此產生的新的對象可在後面的研究中保持不變。[22]

謝瓦萊對當時的數學發展有著獨到的見解。他曾寫道：「現在數學尋求的定義都是在理解層面上的，也就是說是通過數學對象的特性，而不是擴展的，即結構層面上的。但這並不是(數學的)最終情景。……對已知數學事實的結構的分析遠沒有完成。」([23]，p.384)也就是說他已經覺察到了當時數學研究僅注重了數學對象的性質，而忽視了對結構的研究。這種思想不可避免地對布爾巴基學派的工作產生影響。

可以看到，謝瓦萊推崇的正是布爾巴基學派藉以成名並賴以生存的結構及結構主義。從這個角度上說，謝瓦萊是布爾巴基學派抽象嚴格風格的設計師，更是一位不折不扣的結構主義者。

謝瓦萊還深入研究了希爾伯特的數學哲學，並認為公理理論以及理論的公理化已深深地影響了數學，最明顯的體現就是數學寫作的風格，這一點對日後布爾巴基學派的寫作影響甚巨。謝瓦萊寫道：

「事實上，希爾伯特的平面幾何理論並不去定義那些來源於其他概念的定義，然後推論點、直線的屬性等，而是完全不考慮這些事物的性質。這個理論只是給出一個描述性定義和給定條件，一個具有基本屬性的確定數值，一些假設，這個理論建立在假設之上。……這個理論只是一直不停的推論，驗證面上的點與實數對有關聯，或更確切的說，如果人們用實數創立的事物來替換點和直線，這些理論的假設就能成真。無論如何，實數理論能被看作是無矛盾的，幾何也是這麼構成的。」([23]，pp.380-381)

他還論述了實數理論公理化後應怎樣重新認識實數體系，並寫道：

「實數的集合既是一個域，又是一個拓撲空間，還是一個拓撲群，一個有序集，一個度量空間等。……當今數學定義所理解的數學事物，也就是說通過它們特有的性質，即結構。」([23]，pp.383-384)

他的這些認識大大超越了他的時代，對比布爾巴基在《數學原理》中提出的序結構、代數結構和拓撲結構，謝瓦萊的確應該被視作布爾巴基的精神導師，並直接影響了布爾巴基學派的整體認識。

五、數學之外的謝瓦萊

除了數學之外，謝瓦萊的愛好廣泛，堪稱一位名副其實的「博學家」，也有豐富多彩的人生。儘管不算是激進人士，但他至少可算得上是熱心於政治的。他是1930年代成立的法國青年組織新秩序(Ordre Nouveau)的創立者之一。

1982年他曾明確要求其全集應該包括那些非數學的文章，這主要是出於兩方面的原因。首先他畢生致力於認識論和政治，另一方面，他認為數學家全集不應該只是寫給數學家看，而應該讓科學史家也願意去讀。但數學史不可能是超脫於總體思想世界的純而又純的東西：「我認為數學史不應該總是關注於在某年某數學家證明了某某定理這樣的史實，而應該研究出版物中的數學趨勢以及認識論、哲學和社會趨勢之間的關係。」由於這些原因，謝瓦萊並不想將數學文章與其他文章分開來結集出版。[24]

謝瓦萊文集的編委之一、卡蒂亞(P.Cartier，1932-)教授也寫道：「謝瓦萊是各種政治和藝術方面先鋒團體的成員。……他寫了許多小冊子和筆錄……。數學是謝瓦萊生活的最重要的組成部分，但他並沒有將數學和生活的其餘部分嚴格區分開來。」[25]談到原因，卡蒂亞將這歸於謝瓦萊父親外交官的職業。

生活中的謝瓦萊非常熱心，樂於助人。1958年到1959年間印度數學家瑟哈里(C.S.Seshadri，1932-)參加了第三期謝瓦萊討論班。當時的瑟哈里還是一個默默無聞的學生，討論班裡許多數學家的報告都令他摸不著頭腦，但還是「虔誠」地參加了討論班。在謝瓦萊的幫助下，瑟哈里在討論班上做了若干演講。當看到瑟哈里理解並在報告中闡述了自己的思想，謝瓦萊看起來很是高興。他還經常邀請瑟哈里到家裡去研究討論班上未完成的有關問題。([26]，p.119)

在巴黎的最後一年，瑟哈里要從學校宿舍的一幢公寓搬出，但必須由導師向公寓管理員出具一份例行公事的證明信，瑟哈里求助於謝瓦萊。於是，謝瓦萊寫了一封飽含美溢之辭的證明。沒想到，公寓管理員看到信後竟然不同意如此優秀的住宿者離開。通過這件小事，謝瓦萊為人的熱情樂助便可窺一斑。瑟哈里這樣回憶自己的老師：「通過與他的交往，我能感覺到他身上的那種優秀品質。與這位偉大的數學家近距離相處共事確實是一件人生幸事。」([26]，pp.120-121)

謝瓦萊一生所得到的榮譽並不多，僅僅只是1940年發表在數學年刊上的關於類域論的論文為他贏得了1941年美國數學學會(AMS)的柯爾獎。1948年他得到古根海姆獎金，1967年成為倫敦數學學會成員。1984年6月28日，謝瓦萊在巴黎病逝。

謝瓦萊數學工作的影響可謂廣泛而深遠，對其工作和數學思想進行分析，有以下幾點值得我們思考。

首先，謝瓦萊的數學思想與數學工作對布爾巴基學派的數學風格有著重要的影響，而這些則某種程度上源於其在德國期間的訪學經歷。將謝瓦萊的類域論工作與20世紀30年代數學發展結合起來，可以發現其類域論工作在相當大的程度上帶有德國數學的印記，其工作也體現了法國和德國數學交流及那個時代的發展特徵。特別要指出的是德國數學家哈塞和諾特。哈塞在謝瓦萊類域論工作中扮演了重要的角色，或許我們可以說沒有哈塞就沒有謝瓦萊對類域論的工作。從二人往來信件中可以看出，哈塞實際上已經成為謝瓦萊與德國數學家聯繫的主要紐帶。儘管謝瓦萊很少引用諾特的工作，但諾特仍應被視為謝瓦萊類域論工作的推動者。其實布爾巴基學派的工作也正是建立在諾特和阿廷的思想之上[27]。

其次，從數學學科創新的角度來分析謝瓦萊的工作，特別是其類域論工作，以跨領域視角來解讀其類域論工作，可以更好地理解謝瓦萊的數學思想。從類域論層面理解，正是伊代爾的概念使謝瓦萊擺脫了ζ函數、L函數等解析理論和解析工具，也使類域論的敘述更為簡潔。在此基礎上，謝瓦萊用拓撲群理論來處理無限擴張，重新構建了類域論，從此伊代爾的概念作為基礎成為類域論工作的標準內容，顯得越來越重要。從學科交叉及整體數學科學廣義層面看，謝瓦萊藉助伊代爾概念直接將類域論與拓撲群和泛函分析理論的發展緊密結合在一起，使類域論的內容更加豐富，工具也更加先進抽象，結果也更富有借鑒意義。([28]，p.116)

此外還有一個問題值得我們深思，那就是如何對數學家的工作給出更全面合理的評價。謝瓦萊的工作大致可以分為兩個時期：1940年之前的類域論時期和之後的李群和代數群理論時期。丟東涅曾在紀念文章中概述了謝瓦萊的數學工作，其中對謝瓦萊1940年之後群論和代數群方面的論述佔據了文章的大部分篇幅。他直接寫道：謝瓦萊對數學的最重要貢獻當屬他在群論方面的工作。([10]，p.3)可以看到，謝瓦萊在1930-1940年間關於類域論的工作似乎並不被認為是其最重要的數學工作，沒有受到更多重視。從歷史的發展來看，我們不能也不應將數學家在不同時期的不同領域的成果簡單地對比，而應將數學工作放入所屬領域，從分支及領域的發展史來評判其重要性。如果有可能的話，在數學發展的大環境下，綜合考慮數學家在不同領域所做工作的重要性，而不是限於單純的比較研究。當然，這就將問題導向了更寬泛的研究領域，不僅涉及到數學的發展，還涉及到文化、經濟等社會環境的多個方面的因素，這給數學及數學史工作者提出了更多維度的問題，這些問題也更值得進一步深入研究，對現代數學也將更具有現實意義。

文中嘉當均指法國數學家亨利·嘉當(Heri Cartan 1904-2008)。

2013年筆者在法國巴黎高等師範學校圖書館中發現了謝瓦萊大學時期的借閱記錄。記錄上清楚地顯示了他大學期間的閱讀興趣和所借閱過的書籍。

周環，即周煒良環或周氏環。周煒良(1911-1995)，數學家，在代數幾何方面有諸多貢獻。許多數學成果以他的名字命名，如：周煒良坐標、解析簇的周煒良定理、周煒良簇、周煒良環等。

法國數學家，在數學上有很多貢獻，主要涉及到函數論、數論、微分方程、泛函數分析、微分幾何、集合論和數學基礎等方面。1936年阿達瑪曾到中國講學。阿達瑪討論班曾由於一戰而短暫終止，1920年繼續照常舉行。

法國數學家，以創立儒利亞集而聞名。一戰爆發後，21歲的儒利亞應招入伍，在一次襲擊中被炸掉鼻子，因而整日帶著面罩。

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數學家的秘密社團布爾巴基的一位巨匠