電腦能取代人類做數學！

撰文Borwein（紐卡斯爾大學數學教授）、Bailey（加州大學戴維斯分校研究員）

翻譯333（哆嗒數學網翻譯組成員，就讀於中南大學數學專業）

電腦在幫助數學家解決問題時是很有用的工具，同時，它們也能夠自己發現並證明一些數學定理。

或許由電腦做出的第一個重要結果要算是40多年前關於四色定理的證明，這個定理聲稱任何一張地圖（有著確定的、合理的條件）只要用四種不同顏色就夠了。

這張圖中需要四種不同的顏色以確保任意兩個相鄰的區塊顏色是不同的。

這個定理在1976年首先被電腦證明，儘管不久後就被發現有漏洞。而一個完全正確的證明直到1995年才被最終完成。

在2003年，匹茲堡大學的托馬斯·海爾斯發表了一篇關於開普勒猜想的基於計算機的證明，這個猜想是說，與超市堆放橘子的方法類似，這也是擺放相同維數球體的最節省空間的方法。

儘管海爾斯在2003年發表了這一證明，許多數學家對此卻並不滿意。因為這個證明是伴隨著2G位元組的計算機輸出(需要耗費大量的時間)，並且某些計算無法保證完全正確。

作為回應，在2014年海爾斯發表了一個已被計算機驗證過的正式證明。

新手上路

沿著這條線的最新進展是最近《自然》上的一篇關於所謂的「布爾畢達哥拉斯三元數問題」計算機證明的聲明。

這個斷言是說，從1到7824的任何整數能夠被染成紅色或藍色，使得滿足 a2+ b2= c2（由畢達哥拉斯定理，a，b，c 正好是直角三角形的三條邊）的三個整數 a，b，c 不全是同一種顏色；而對於從1到7825的整數，不存在滿足條件的染色。

即使是對於比較小的整數也很難找到一個滿足上述條件的染色方法。舉個例子，如果5是紅色的，那麼12和13中至少得有一個是藍色，因為；3和4中也必須至少有一個是藍色，因為。每一種選擇都將導致對於其他數產生不同的約束條件。

研究表明，給1到7825的整數進行染色，其所有可能的方法總數是一個天文數字——超過10的2300次方（1後面跟著2300個0）。這個數字比可觀測到的宇宙中的基本粒子數10的85次方還要來得巨大的多！

不過通過利用各種各樣的對稱性和數論性質，研究人員能夠把這個數字顯著地減小到「僅僅」一萬億。德克薩斯州立大學有著800個處理器的超級計算機 Stampede 為了檢查這一萬億種情形足足運行了兩天。

儘管這一結果無法被直接應用，但是解決這樣一個困難染色問題的能力勢必會對密碼學和安全領域產生一定影響。

在德州的這次計算，據估計執行了大約10的19次方次算術操作，卻仍然不能稱得上是最大型的計算。2013年對 π2 數字的計算，兩名IBM的研究人員做了兩倍於此的計算量。

梅森素數互聯網大搜索（GIMPS），是一個尋找最大已知素數的全球性計算機互聯網路，每秒可執行450萬億次計算，每六個小時就超過德州那次計算的數目。

在計算機輸出中，德克薩斯的計算機在數學計算方面卻是超人一籌——令人難以置信的200兆兆位元組，換句話說2位元組或者平均到地球上每個人30000位元組。

誰能檢查這種尺度的輸出結果？幸運的是，這個布爾畢達哥拉斯三元數問題的解法能夠被一個小得多的程序檢查。

這跟用計算機分解一個很大的數c為兩個較小因子 a 和 b，使得 c=a×b 很相似。通常尋找這兩個因子 a 和 b 是極其困難的，但是一旦找到，把它們乘起來以確認結果就是很容易的事了。

數學家過時了嗎？

所以，這些發展和進步意味著什麼？是否數學研究者們很快就要淪落為國際象棋大師、Jeopardy節目、售貨員、計程車司機、貨車司機、放射科醫師等等這些被快速發展的科技所威脅而面臨淘汰的職業之列？

不完全是。數學家，就像許多其他領域的專業人士，已經很大程度上接受計算機作為一種新的數學研究工具，由此發展來的所謂的實驗數學，已經產生了深遠影響。

那麼實驗數學究竟是什麼呢？它被很好地定義為使用計算機作為「實驗室」的一種研究方式。跟物理學家、化學家、生物學家或者工程師做實驗一樣，舉個例子，它可以用來獲得洞察力和直覺，檢驗和否證猜想，以及確認一些已經被傳統方法證明了的結果。

在某種意義上，數學研究的實驗方法並沒有什麼根本上的新意。在公元前三世紀，偉大的希臘數學家阿基米德寫道：

當我們做過先期的質詢與調查，就會更容易地給出一個證明。這種（實驗）方法使我們對問題有一些初步的認識，這比一無所知地直接尋找答案要好得多。

據說伽利略曾寫道：

一旦真理被發現後就會很容易理解；關鍵之處是發現它們。

卡爾·弗雷德里希·高斯，19世紀的數學家和物理學家，頻繁地使用計算來激發他那些卓越的發現。他曾寫道：

我已經得到了結果，但我還不知道如何證明它。

基於計算機的實驗數學當然有它的科技優勢。每一年，計算機的硬體就按照摩爾定律在不斷更新，越發先進。數學計算軟體包例如 Maple, Mathematica, Sage 以及其他的此類軟體也變得越來越強大。

實際上，這些系統已經強大到幾乎足以解決本科階段任何方程、微分、積分或者其他的本科數學階段的任務。

所以，儘管基於人腦的傳統證明仍是基本的，計算機在幫助數學家發現新定理、指明正式證明的道路方面也是功不可沒的。

更重要的是，我們認為在很多情況下，計算的結果要比人工的證明更令人信服。畢竟人工證明會被小錯誤、疏忽和對前人也許並不正確的結果的依賴所干擾。

安德魯·懷爾斯關於費馬大定理的初始證明被發現是有瑕疵的，這個錯誤之後被修正了。

順著這條線，最近亞歷山大·伊和近藤貿計算出了 π 的12.1萬億位數。為了算出這個結果，他們首先計算出了稍微超過10萬億的十六進位下的數字，然後他們用另外一個不同的演算法計算了在接近尾部的一段十六進位下的數字，以檢查之前的結果是否正確。比較後發現，它們吻合得非常完美。

所以到底哪個更可信呢？一個幾百頁篇幅的人工證明的定理，而且只有少數其他的數學家讀過並證實那些細節之處，還是伊-近藤的結果？讓我們接受這一點，計算機的計算結果在很多情形下比證明更可靠。

數學家將來的命運如何？

各種跡象都表明在可預見的未來，數學研究者們將會和計算機互利共存，繼續他們的工作。確實，隨著這種共存關係和計算機技術的成熟，數學家們將會更願意把證明的某些部分扔給計算機去做。

這個問題在2014年六月的科學突破獎（數學）的授獎典禮演說上被五位獲獎者所討論。澳大利亞裔美國數學家陶哲軒在這些方面表示贊同。

毫無疑問，計算機會越來越強大，但是我期望數學家們能夠繼續與計算機一起工作。所以別急著扔掉你的代數課本，你仍然是需要它的！

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