月光女俠撥弦機

譯者按

撰文Natalie Wolchover

翻譯林開亮

物理－數學家程之寧（Miranda Chih‐Ning Cheng）正在努力研究以駕馭存在於弦論、代數和數論之間的一個奇妙聯繫。

程之寧照片，由荷蘭女攝影師Ilvy Njiokiktjien 為《量子雜誌》提供

2010年，位於冰島南部的艾雅法拉火山爆發之後，程之寧因為航班取消而滯留在巴黎。程之寧當時是哈佛大學的博士後，研究弦論。在等待煙消雲散之際，她開始思考不久前掛在網上的一篇論文，該論文的三位作者（見大栗博司等人的文章「Notes on the K3 Surface and the Mathieu group M24」）指出了聯繫極遙遠的一些數學對象之間的一個數值上的巧合。「我彷彿沐浴在另一種月光里」，程回憶當時的思考說，「它可能是另一種月光嗎？」

她恰好讀過一本關於「魔幻月光（monstrous moonshine）」的書， 這是一種數學結構，其存在的最初跡象，也僅僅是一種類似的數字上的巧合：1970年代末，數學家 John Mckay 注意到一個稱之為 j-函數的第一重要係數 196884 恰好是 1 與 196883 之和，這兩個數是一個稱為魔群（monster group）可以表示的空間的頭兩個維數。到1992年，研究者已經追蹤到這個朦朧（因此比喻為「月光」）的對應的一個不大可能的源頭：弦論。弦論是一個備選的基本物理理論，它將基本粒子投像為（cast as）小的振動弦。在一個特殊的弦論模型中，j-函數描述了弦的振動，而魔群則俘獲了這些弦所活動的時空網的對稱。

程之寧說，在艾雅法拉火山爆發之前，這都是「陳芝麻爛穀子」了——對物理學家來說，只是一個已經休眠的數學火山。作為魔幻月光之根基的弦論模型，跟現實世界的粒子或時空的幾何完全不沾邊。但程之寧說，新的月光——如果真的有——也許不一樣。它涉及到 K3曲面——她和許多弦論專家作為現實時空的一個玩具模型來研究的幾何對象。

在她從巴黎啟航回家之前，程之寧已經找到了新的月光存在的更多證據。她與合作者 John Duncan 和 Jeff Harvey 逐漸梳理出不止一個而是23個新月光 的證據，這些新月光是一種數學結構，在對稱群與數論中稱為仿模形式（mock modular forms，包含j-函數為特例）的基本對象之間架起了橋樑。這23個月光的存在性，被作為「伴影月光猜想（Umbral Moonshine Conjecture）」在2012年正式提出，去年被 Duncan 及其合作者證明。

與此同時，37歲的程之寧，也在追蹤作為23個月光之基礎的 K3 弦論—— 這是弦論的一個特殊版本，其中時空具有一個 K3 曲面的幾何。她和其他弦論學者希望能夠用伴影月光的數學思想來詳細研究 K3 模型的性質。這反過來可以成為理解那些無法直接探測的現實世界——比如，黑洞內部——的有力工具。阿姆斯特丹大學的助理教授程之寧，在法國國家科研中心休假期間，跟《量子雜誌》（Quanta Magazine）談論起月光的神秘，她對弦論的期望，並分享了她那傳奇的人生軌跡：從台灣的一個朋客搖滾樂（punk‐rock）高中輟學，而最終成為一個探究數學與物理最深奧的思想的研究者。訪談內容如下：

撥雲現月的「月光女俠」程之寧，由荷蘭女攝影師Ilvy Njiokiktjien 為《量子雜誌》提供

《量子雜誌》：您研究所謂 K3 曲面上的弦論。它們是什麼，為什麼重要？

程之寧：弦論學家說，時空一共10維。既然我們只能感知4維，其它6維必定捲曲或「緊化」得很小以至於看不到，就像一根非常細的電線的周環一樣。而額外的維數如何緊化的可能性太多了——比方說，大概有10的500次方種可能，因此，幾何不可能斷定哪一種緊化比其餘的緊化能更好地描述現實。我們也不可能逐一研究所有可能模型的物理性質。因此，你會代之以考察一個玩具模型。如果你喜歡精確結果而不是近似結果，如我的情況那樣，那麼你通常最終會考慮一個K3緊化，它是介於太簡單與太複雜之間的緊化。它也俘獲了 Calabi‐Yau 流形（研究得最多的一類緊化）以及基於 Calabi‐Yau 流形緊化的弦論的一些關鍵性質。K3還有一個好處，你通常可以對它做直接的精確計算。

《量子雜誌》：K3實際上看起來像什麼？

程之寧：你可以先設想一個平坦的環面，然後將它摺疊，於是將會產生不平的邊邊角角。數學家有辦法將它磨平，其結果就是一個光滑的 K3 曲面。

《量子雜誌》：因此你可以探明在這個框架下的物理學，弦在這個時空幾何中遊走？

程之寧：是的，在我的博士論文中，我探究了這個理論下的黑洞的性態。一旦你有了捲曲的與 K3 相關的 Calabi‐Yau 流形，就可以形成黑洞。那麼，這些黑洞的性態如何——尤其是它們的量子性質如何？

《量子雜誌》：那就是說，您可以試圖解決信息悖論這個懸疑已久的謎題——當量子信息跌入黑洞中將會發生什麼？

程之寧：當然。你可以探討各種類型的黑洞——如現實的天體物理黑洞或來自弦論的超對稱黑洞——的信息悖論和性質。研究第二種黑洞將會給你的現實問題投來一線光明，因為它們共享同樣的悖論。這就是理解 K3 下的弦論以及那一緊化下出現的黑洞也可以給其它問題的研究帶來曙光的原因所在。至少，這是一個期望，而且我認為這是一個合乎情理的期望。

《量子雜誌》：您是否認為弦論確實描述了現實，或者您只是為了它本身而純粹研究的東西？

程之寧：就我個人而言，我一直把現實世界放在腦後——不過，真的真的非常靠後了。我利用它作為決定研究前進的大致方向的一種靈感。但我日常的研究並不是以解決現實世界的難題為目標。在基本高能物理中，需要新的思想，但很難說這些思想會來自何處。理解弦論的基本、根本結構，是必要和有益的。你必須從那些你可以計算東西的地方起步，那通常會將你引向非常數學化的角落。理解現實世界所付出的代價可能是長期的，但在這一階段是必要的。

《量子雜誌》：對物理和數學，你是否一直有訣竅？

程之寧：兒時在台灣，我更喜歡文學，那是我最熱衷的。在我12歲左右時，我被音樂吸引，流行音樂、搖滾（rock）和朋克（punk）。我一直很擅長數學和物理，但並非真正感興趣。我總覺得中小學對我是一種煎熬，總是想方設法逃學。我試圖跟老師打賭我沒有必要去聽課。或者當我完全沒病的時候我會請上幾個月的病假。又或者我在這裡那裡跳一級。我想，我只是不知道如何對付當局。

大概是教學內容太簡單了。我跳了兩級，但那沒有用。他們把我弄到一個特殊班，結果更糟，因為班上的每個人都非常爭強好勝，而我恰好完全無法應對這種競爭。最終我超級沮喪，我決定要麼自我了斷要麼輟學。於是，在16歲時，我輟學了，並且離開了家，因為我堅信父母會逼迫我重回學校而我是堅決不肯的。因此我開始在一家音像店工作，那時我也在一個樂隊演出，我喜歡這個樂隊。

《量子雜誌》：您如何從那裡走向弦論的？

程之寧：長話短說，我有點受挫或厭煩。我想做點音樂之外的事情。因此我試圖回到大學，但有一個問題，我高中沒有畢業。但在我輟學之前，我在一個特殊班中，班裡的每一個孩子都擅長理科。因此我可以通過他們進入大學。所以我想，沒問題，太好了，我進入大學後先修物理或數學，然後轉到文學。因此，我進入了物理系，跟它有了斷斷續續的關係，常常去上課，然後試著學習文學，同時也在樂隊演奏。後來我意識到，自己並非那麼擅長文學。同時，有一個非常優秀的教師講量子力學。我只去聽過他的一堂課後，就想，這實在太酷了。我開始投入了稍微多一點的精力到數學和物理的學習，我開始從中找到平和。那就是數學和物理開始吸引我的所在，因為我在樂隊玩音樂的另一半生活不知怎的有點混沌。音樂汲取了你許多情感。你總是與人在一起工作，音樂關於關心生活、關心情感——你必須把你自己的許多奉獻給它。而數學與物理似乎具有這種平和安靜的美。這是一個寧靜的世界。

後來在大學快畢業時，我想，好了，讓我再學一年物理，然後此生與它了結，就可以自由漂泊我的人生了。因此我決定去荷蘭見世面，學物理，而後來我確實也到了那裡。

《量子雜誌》：您在烏特勒支大學諾貝爾物理獎得主 Gerard』t Hooft 指導下 取得碩士學位，而後又在阿姆斯特丹大學做博士。是什麼吸引你去那裡？

程之寧：跟Gerard』t Hooft做研究當然是一個重要因素。但是，學習更多的東西也是一個重要因素——這讓我認識到存在如此多有趣的問題。而且那是主要的因素。對我而言，日常的片段也很重要。學習的過程、思考的過程，正是優美之所在。每天你都會遇到一些問題或思考方式，或這個事實將會引出那個事實——我想，哦，這真美。Gerard 不是一個弦論學家——但他對量子引力的正確領域應該是什麼非常開明，因此允許我走別的道路。我被弦論吸引，是因為它在數學上是嚴格的，而且很漂亮。

《量子雜誌》：對於您現在研究的工作，除了美感之外，您是否為數學與物理之間這些看似遙遠的部分之間的聯繫的神秘性而著迷？

程之寧：神秘的方面聯繫著我個性中不好的一面，我執迷不悟的一面。這是我的推動力之一，從普通人的觀點來看，我要說這有點負面，儘管從科學家的觀點來看並非如此。但還有一個正面的推動力，就是我真的享受學習不同的東西並感受到自己何等無知。我享受那種感覺，就像「我對此一無所知，我真的想了解！」所以那就是一個動機——待在數學與物理之間的邊界地。月光是一個也許需要各種靈感和知識的謎題。當然，它也需要美——這是一個優美的故事。難以言說它為什麼如此美。它的美，不同於一首歌或一幅畫的美。

《量子雜誌》：差別在哪裡？

程之寧：通常來說，一首歌的美，在於它觸發了某種情感，引發你的共鳴。數學上的美不是那樣。那種一種更結構化的東西。它讓你感覺到某種永恆得多的東西，並且獨立於你而存在。它讓我感受到自己的渺小，我喜歡那種感覺。

《量子雜誌》：確切地說，月光是什麼？

程之寧：一個月光將一個有限對稱群的表示關聯到一個具有特殊對稱性的函數。這一關聯的基礎，至少在魔幻月光的情形，是弦論。弦論有兩種幾何。一個是「世界面（worldsheet）」的幾何。如果你有一條弦——本質上是一個圓周——在隨時運動，那麼你會得到一個圓柱面。這就是為何我們稱之為世界面的幾何的原因；這就是弦本身的幾何。如果你彎曲圓柱面並將兩端粘帖，就會得到一個環面（輪胎面）。這個環面的對稱會給你j-函數。弦論中的另一個幾何是時空本身，它的對稱會給你魔群。

《量子雜誌》：一旦你們找出了作為23個伴影月光之基礎的K3弦論，這些月光將會讓你在K3弦論的研究途徑方面有何收穫？

程之寧：我們還不清楚，但這是可以期待的猜測：月光的存在會告訴你，這個理論必定具有一個代數結構（你必須能夠對代數的元素做操作）。如果你考察一個理論，然後問，在一定能級範圍內存在哪種粒子？這個問題就不能窮盡了，因為隨著能級越來越大，問題也沒有盡頭。在魔幻月光中，這彰顯在這一事實中，你觀察j-函數，它有無窮多項，那無窮多項基本上表徵了粒子的能級。 但我們知道，這裡潛在著一個代數結構——有一個機制將低能態關聯到高能態。因此，這個無窮無盡的問題有一個結構；它不只是隨機的。

正如你可以想到的，有一個代數結構就可以幫助你理解，表徵這個理論的結構是什麼——如果你看看低能態，它們就會告訴你高能態的一些信息。然後，它會給你更多的工具去做計算。如果你想理解高能級下的一些東西（比如黑洞內部），那麼我有更多的信息可以提供。我可以用手頭的低能數據計算我想了解的高能態的信息。這就是我們的期望。

伴影月光告訴你，一定存在類似於此的某種結構，儘管我們尚不清楚它是什麼。從更一般的角度理解它，勢必要求我們理解這個代數結構。那將會引出對這個理論的一個深刻得多的理解。那就是我們的期望。

原文標題「Moonshine Master Toys With String Theory」，譯自https://www.quantamagazine.org/20160804-miranda-cheng-moonshine-string-theory/