這種奇異的數學系統，是理解宇宙的密鑰，還是單純的數學玩物？

我們生活在10維宇宙之中？發明於19世紀，已經被我們遺忘的一種數系（number system）或許能對這個問題作出最簡潔的解釋。

撰文?約翰·C·巴茨（John C. Baez） 約翰·韋爾塔（John Huerta）

翻譯 龐瑋

我們每個人小時候都學過數字，一開始是數數，接下來學加、減、乘、除，但對數學家而言，我們在學校里所學的數字只是眾多數系中的一種，除此之外還有其他一些數系，對我們理解幾何與物理至關重要。八元數（octonions）就是這些奇怪數系中的一種，自它在1843年被發明出來後，一直都默默無聞，直到最近幾十年間，人們才發現它在弦論（string theory）中大有用武之地。毫不誇張地說，如果弦論真的是對宇宙的正確描述，那八元數就能解釋為何宇宙具有目前的維度。

變虛為實

八元數並不是第一個可以幫助我們深入理解宇宙的純數學概念，也不是首個找到實際應用的非常規數系。要明白個中緣由，我們先來看看最簡單的數系之一，也就是我們都學過的那種，數學家管它們叫實數（real numbers）。所有實數的集合構成一條直線，所以我們說實數集是一維的。反過來說也行：我們將直線看作一維，是因為確定直線上的任何一個點只需要一個實數。

在16世紀之前，實數是人類掌握的唯一數系，在接踵而至的文藝復興中，胸懷大志的數學家試圖征服更複雜的方程，甚至瞄準最困難的問題相互挑釁展開競賽。-1的平方根就是此時期義大利數學家、物理學家、賭徒和占星術士傑羅拉莫·卡丹諾（Gerolamo Cardano）手中的秘密武器。雖然他對如何解釋這個神秘的數字也一無所知，但與其他人的謹小慎微不同，卡丹諾在通常只涉及實數的長篇計算中，毫無顧忌地信手使用這個小把戲，他唯一知道的是這樣做能得到正確的結果。1545年他將自己的想法公開發表，由此拉開了一場延續數個世紀的爭論：-1的平方根是真實存在的，還是僅僅是數學上的處理技巧。直到近一個世紀之後，勒內·笛卡爾（René Descartes）才對-1的平方根做出定義，他略帶貶義地稱它為「虛幻的」（imaginary），因此，我們現在也用imaginary的首字母i來表示它。

儘管存在爭執，數學家最終選擇跟隨卡丹諾，開始使用複數（complex numbers），即形如a + bi的數，其中a和b是普通實數。大約在1806年前後，讓-羅貝爾·阿爾岡（Jean-Robert Argand）的一本小冊子普及了「複數是對平面上點的描述」這一觀點。怎樣用a + bi來描述平面上的一個點？很簡單：數a告訴我們這個點的橫坐標，而b告訴我們它的縱坐標。

用這種方式，我們能將任一複數與平面上的一個點對應起來，但阿爾岡更進一步，他還展示了如何將複數間的加、減、乘、除運算表示成平面上的幾何變換。

多維中的數學

中學老師告訴我們如何將加、減這樣的抽象概念和具體操作聯繫起來：加減一個數就相當於將數字沿著數軸前後移動。這種代數和幾何間的對應實際上威力無窮，數學家藉此能用八元代數解決不可思議的八維世界中的問題。下方圖式說明如何將實數中的代數運算擴展到二維的複數中去。

為了理解複數運算和平面幾何變換之間的對應關係，我們先用實數來做個熱身。實數的加、減運算相當於將代表全體實數的直線（實軸）向左或向右移動一定距離。正實數的乘、除則相當於將實軸拉伸或壓縮，比如說乘以2及相當於將實軸拉伸2倍，而除以2就是壓縮2倍，使得所有點之間的距離都變成此前的1/2。乘以-1相當於將實軸左右調轉。

這套規則也適用於複數，只不過稍微多了些花樣。給平面上某個點加上一個複數a + bi，就是將該點向左（或向右，取決於a的正負）移動a的距離，然後再向上（或向下，取決於b的正負）移動b的距離。乘上一個複數則相當於在拉伸或壓縮平面的同時旋轉整個平面，乘上i意味著將平面逆時針轉過90度，所以如果給1乘i再乘i，就相當於將整個平面逆時針轉過180度，於是1就變成了-1。複數除法是乘法的逆運算，所以如果乘法拉伸平面除法就壓縮平面，反之亦然，然後再反向旋轉整個平面。

幾乎所有能對實數進行的運算都同樣能對複數進行，實際上，很多時候用複數能做得更好，卡丹諾就察覺到了這點，因為用複數我們能解很多用實數無法求解的方程。既然複數這樣的二維數系能擴展我們的計算能力，那更高維的數系是不是威力更大呢？很遺憾，當時的數學家沒有找到什麼簡單的手段能繼續增加數系的維度，數十年之後，高維數系的秘密方才由一位愛爾蘭數學家揭示出冰山一角，而又過了兩個世紀，也就是直到今天我們才剛剛開始領教它的強大威力。

哈密頓的魔法

1835年，剛過而立之年的數學和物理學家威廉·若萬·哈密頓（William Rowan Hamilton）發現了如何將一個複數a + bi當作一對實數來處理。當時的數學家普遍採用阿爾岡的方法將複數寫成 a + bi的形式，但哈密頓注意到複數可以被看作是兩個實數a和b的另一種寫法，想通了這一點就可以用一對實數來表示複數，比如a + bi可以記為（a，b）。

這種表示方法的好處是複數的加減運算變得很直觀，只須將對應位置上的實數相加減就可以了，比如（a，b）+（c，d）結果就是（a + c，b + d）。哈密頓還找到了該表示中複數乘除法的運算規則，雖然稍微複雜一些，但它保持了阿爾岡所發現的複數漂亮的幾何意義。

就這樣，哈密頓為對應二維平面幾何的複數發明了一套代數運算體系，接著他試圖為形如（a，b，c）的三元數組也建立一套這樣的代數運算，這樣就可以將三維幾何與代數聯繫起來，為此他苦苦追尋多年卻勞而無功，後來在給兒子的一封信中他這樣回憶那段時光：「每一天早晨，你和你的弟弟威廉·埃德溫（William edwin）只要一看到我從樓上下來吃早餐，就會問『爸爸，你會乘三元數了嗎？』，而我總是無奈地回答『不會，我還是只會加減。』」那時的哈密頓還不知道，他給自己設立的目標在數學上是不可能完成的。

哈密頓當時想要尋找的是一個可以進行加、減、乘、除運算的三元數系，這其中除法是最困難的。數學家將可以進行除法運算的數系稱為可除代數（division algebra），他們一直對可除代數有一個猜測，但直到1958年才由三位數學家證明這個猜測是個美妙的事實，即只有在一維（實數），二維（複數），四維和八維下才存在可除代數。哈密頓想要成功，除非徹頭徹尾地改變數學的規則。

哈密頓的山窮水復在1843年10月16日到來，這一天他與妻子沿著都柏林的皇家運河散步，準備去愛爾蘭皇家科學院參加會議，突然之間他靈光一現，要描述三維空間中的轉動，僅用三個數是不夠的，他還需要第四個數，這樣形成一個四維的集合，其中的元素都形如a + bi + cj + dk，稱為四元數（quaternion），其中i，j，k表示三個獨立的-1的平方根（即虛數單位）。

哈密頓後來寫到：「彼時彼處，我突然感覺腦海中盤旋的思想電流閉合了，由此激發出來的火花就是i，j，k之間需要滿足的等式，這些等式形式是那麼完整，我需要做的只是將它們照錄下來而已。」接下來他留下了史上最著名的數學家塗鴉，在布魯厄姆橋（Brougham Bridge）的橋墩上刻下了這組等式。今天哈密頓的手刻已經淹沒於後人的塗抹之中，取而代之的是一塊新立的石板以紀念這次發現。

描述三維空間中的變化竟然需要四維的數組，這看上去也許很怪異，但事實的確如此，描述轉動就需要三個數，想像一下飛機如何在三維空間中導航將有助於看清這點，為了保持航向正確，我們需要調節俯仰，也就是機頭相對於水平線的上下夾角，接下來需要調節偏航，就像駕駛汽車一樣將飛機向左或向右轉，最後還需要調節橫滾來改變機翼與水平線之間的夾角。與二維平面上類似，三維空間中除了轉動同樣也有拉伸與壓縮，這就需要第四個數來描述。

哈密頓將此後餘生都獻給了四元數，並發現了很多實際應用，時至今日，很多這類應用中四元數都被更為簡單的矢量（vector）代替，矢量有點像四元數的表親，形式為ai + bj + ck（即四元數中第一個量取0）。但四元數仍在現代世界找到了藏身之所，電腦中用它來處理三維空間轉動特別有效，所以無論是飛行器的自動導航系統還是電腦遊戲的圖像引擎中都有它的身影。

無盡的虛幻

拋開這些應用不談，我們也許仍心存疑惑，既然已經定義了i為-1的平方根，那四元數中同為-1平方根的j和k究竟是什麼？-1真的存在不同的平方根嗎？這樣的平方根是我們想要多少就有多少嗎？

這些問題是哈密頓大學時代的朋友，律師約翰·格雷夫斯（John Graves）提出來的。正是格雷夫斯對代數的業餘愛好使得哈密頓開始思考複數和三元數。就在1843年秋天那次改變命運的散步的次日，哈密頓就在給格雷夫斯的信中描述了自己的發現，格雷夫斯9天後寫了回信，在對哈密頓的大膽設想表示讚賞之餘，他也寫到：「我還是覺得你的做法存在一些問題。隨心所欲地創造虛數，又賦予這些創造物以超自然的屬性，我目前不知道這樣做是否合理。」但他接著又用了這樣的比喻：「如果用你的魔法能憑空變出3磅黃金來，你為什麼不接著變下去？」

不過就像他的前輩卡丹諾一樣，格雷夫斯很快就將疑慮擱置一邊，用這套魔法開始自己變起黃金來。同年12月26日，他再次給哈密頓去信，信中描述了一個八維的數系，他稱之為八程數（octaves，原指音樂中的八度音程），也就是今天我們所說的八元數。這次格雷夫斯未能讓哈密頓對自己的想法產生興趣，不過哈密頓答應將在愛爾蘭皇家學會上提及格雷夫斯的八程數，這是當時數學家公開發表自己工作結果的途徑之一。但哈密頓一直未能履約，1845年年輕的數學天才阿瑟·凱萊（Arthur Cayley）獨立再次發現了八元數，並先于格雷夫斯發表，因此八元數有時又被稱為凱萊數（Cayley numbers）。

為何哈密頓對八元數缺乏熱情？原因之一在於他正忙於研究自己的發現：四元數。除此之外還有個數學上的原因：八元數破壞了一些數學家珍愛的算術規律。

在算術上，四元數已經比較奇怪了。當你將實數相乘時，前後順序並不重要，2乘以3等於3乘以2，我們說這樣的乘法是可交換的。複數乘法也是可交換的，但四元數乘法卻是非交換的，不同的順序會乘出不同的結果來。

相乘順序之所以重要，是因為四元數描述了三維空間中的轉動，而轉動的先後決定了最終結果。你不妨親自動手試試看，拿一本書，先繞水平軸轉180度（現在你看到的是倒過來的封底），再繞縱軸逆時針轉90度（你看到的是倒向的書頁邊）；現在改變上述轉動的順序，先繞縱軸逆時針轉90度（你看到正向的書頁邊），再繞水平軸轉180度（你看到倒向的書脊），這兩種不同順序的轉動給出了不同結果，換言之轉動的結果依賴於轉動順序，所以轉動是非交換的。

旋轉順序之謎

通常乘法能以任意順序進行，例如3×2等於2×3。但在高維數系如四元數和八元數中，乘法順序變得至關重要。以四元數為例，它描述的是三維空間中的轉動，如果我們轉動一本書，轉動順序會對最終結果造成極大影響。右圖上面一行中，我們先繞水平軸轉動，再繞豎直軸轉動，最終書頁朝外；而在下面一行中我們先繞豎直軸轉動，再繞水平軸轉動，結果書脊朝外。

八元數就更為怪異，它們的乘法不僅是非交換的，而且還破壞了另一個我們熟知的算術規律：結合律（associative law），用符號來表示即（xy）z = x（yz）。不滿足結合律的運算在數學中並不罕見，比如減法就是，例如（3-2）-1 ≠ 3-（2-1），但我們所用的乘法一直都是滿足結合律的，像三維轉動，它雖然是非交換的，但仍滿足結合律。

這些都不是最重要的，哈密頓的時代無法了解八元數的真正妙處，那就是它與7維和8維幾何有密切聯繫，我們能用八元數乘法來描述7維和8維空間中的轉動，不過後來者雖然知道了這點，也僅僅將它看作純粹的智力遊戲，這樣的狀況持續了一個多世紀，我們是隨著現代粒子物理學，尤其是弦論的發展，才發現八元數如何對現實世界產生作用。

對稱與弦

在上世紀七八十年代，理論物理學家們發展出一個驚人的美麗想法，稱為超對稱（supersymmetry，後面的研究發現弦論需要超對稱）。超對稱斷言在最基本的層次上，宇宙展現出物質與基本力之間的對稱性：每種物質粒子（如電子）都有一個伴隨粒子，用以傳遞相應的基本力；而每一種傳遞子（如傳遞電磁相互作用的光子）亦有一個物質粒子同伴。

超對稱還包括不變性要求，即如果我們將物質粒子與傳遞粒子交換，物理定律保持不變。設想有一面奇怪的鏡子，鏡中的宇宙不僅左右調轉，而且所有傳遞粒子都換成相應的物質粒子，反之亦然，如果超對稱是正確的，也就是說如果超對稱是對我們這個宇宙的真實描述，那這面鏡子中的宇宙將和我們的宇宙完全一樣。儘管物理學家還未找到任何支持超對稱的可靠實驗證據，但因為它美麗絕倫，所以拜倒在該理論之下的數學家和物理學家不知凡幾，他們都希望超對稱是對的。

有些東西我們已經知道是對的，比如量子力學。量子力學認為粒子亦是波。物理學家整日擺弄的是三維空間中的標準量子力學，其中有一類數（名為旋量，spinor）描述物質粒子的波動，另一類數（名為矢量，vector）描述傳遞粒子的波動，如果要理解粒子間的相互作用，我們必須用一種拼湊而成的類似乘法運算將旋量和矢量結合起來，這套方法也許管用，但絕對談不上有多雅緻。

不過我們可以另闢蹊徑。設想有這樣一個奇怪的宇宙，裡面沒有時間只有空間，如果這個宇宙的維度是1、2、4和8，則只用一類數就可以同時描述物質粒子和傳遞粒子的波動，這個數必然屬於可除代數，也就是該維度下唯一有加、減、乘、除運算的數系。於是旋量和矢量合二為一，在上述維度中就是實數、複數、四元數和八元數，這就自然產生了超對稱，為物質和基本力提供了一個統一的描述，其中相互作用變成簡單的乘法，所有粒子無論類型都使用同一個數系。

當然這個玩具宇宙不可能成為現實，因為還沒考慮時間。在弦論中，時間的加入會產生一個迷人的結果。在任何時刻，弦都是一維的，像一條曲線或直線，但隨著時間的變化一條弦會延展成一個二維的面，弦的這種演化會改變能自然產生超對稱的維度，現在要額外增加2維，一個是弦的維度，一個是時間維度，於是超對稱的維度就從1、2、4、8變成了3、4、6、10。

無巧不成書，弦論專家多年來一直聲稱只有10維的弦論才能自圓其說，其他維度的弦論都有稱為反常（anomaly）的瑕疵，會造成計算結果依賴於計算方法。弦論只有在10維中才能站住腳，但我們現在知道，10維的弦論需要用到八元數，所以如果弦論是正確的，那八元數就從數學珍玩一躍成為宇宙經緯，它為宇宙何以有10維提供了一個深層解釋，因為在10維下物質粒子和力傳遞粒子能融合在一個數系中，那就是八元數。

故事至此還未畫上句號。最近物理學家的研究對象開始由弦至膜（membrane），舉例來說，一張二維的膜（2-brane）在任何時刻看上去都是一個二維的面，但隨著時間流逝，它會在時空中延展成一個三維的體。

參照弦論中我們給超對稱維度加上兩個額外維度，對膜而言我們就要加上三個，所以在膜宇宙中能自然產生超對稱的維度是4、5、7和11。正如在弦論中一樣，這裡又有個驚喜在等著我們：研究者告訴我們M-理論（這裡的M通常指膜）成立的維度剛好是11維，這似乎暗示它其實也建立在八元數上。不過有人說M也可以解釋成「神秘」（mysterious），因為眼下還沒人完全理解M-理論，更談不上寫出它的基本方程，所以它的真容還在雲山霧罩之中。

這裡我們要強調一下，無論是弦論還是M-理論目前都未能做出任何實驗上可進行驗證的預言。它們是美麗的夢想，固然美麗但暫時只是夢想。我們生活的宇宙看不出有10維或11維的樣子，而且我們也還沒看到物質粒子和力傳遞粒子之間有對稱的跡象。歐洲核子研究中心（CERN）大型強子對撞機（LHC）的任務之一就是尋找超對稱的跡象，但弦論的權威專家之一戴維·格羅斯（David Gross）認為，找到的幾率只有50%，質疑者則認為比這還要小，一切都有待時間去評判。

由於不確定是否有超對稱，所以奇異八元數究竟是理解宇宙的密鑰，還是美麗的數學玩物，它的命運可能還要很長一段時間後才能揭曉。當然，數學美本身就是一種褒獎，但如果真的是八元數編織出宇宙結構，那真可謂錦上添花。無論如何，正如複數及其他無數數學發展所昭示的，這已經不是第一次物理學家在純數學中覓得如此得心應手的美麗發現。

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