為何從一元五次方程開始就沒有由有限次加、減、乘、除、開方運算構成的求根公式了？

【蔡奕欣的回答(1829票)】:

過600贊，感謝知友賞光。感謝@余翔在本原根上的指正，已修改。之前在引理的證明上有失誤，感謝@李亦仰指正，已經對關鍵證明做了修正。

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按理來講@zero的答案已經說明清楚了，不過從這個問題的問法看來題主好像對整個過程並不清楚，那我們就做詳細一點的剖析，主要走伽羅華理論的這條路。

該答案主要面向>系之外的愛好者，部分地犧牲了邏輯上的嚴密。長文預警，為此先給本文一個任務清單：

了解根式求解的局限性從何而來；

開根號和加多項式的根是兩種擴張數域的方式；擴張的結構是否相同，決定多項式能不能用根式求解；

將同一多項式的所有根視為一個整體，為何可以看作一個整體；

了解刻畫整體的方式：+

了解怎樣用這種刻畫方式來描述整體的層級結構；

群和擴張構成結構上的一一對應，群結構不同於根式求解的多項式，其擴張結構和開根號的擴張結構也不同，此類多項式將無法用根式求解。

一

這個問題提得比較糙，導致最後問起來好像特別玄乎。我們應該說「有理係數五次方程」或者說「有理數域上的五次多項式」沒有求根公式。在另外一些的特定數域上，存在五次方程有求根公式的情況，不過我只是知道有這回事，那些數域並沒有做詳細的了解。

先說說多項式。大家都知道它長這樣：

「有理數域上的多項式」，不是說這個多項式的根是有理數，而是指多項式的係數

是有理數。

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