《牛津通識讀本：數學》——維度問題與超越計算機的方法

我們都知道計算機算算數的速度比人快，那麼數學家有什麼方法可以讓他們比計算機更快呢？僅僅是依靠單純的腦力，恐怕並不能做到這一點。

聽起來人腦不如計算機算的快，如果只是單純的累加計算的話，的確可以算作如此，如果要求人與計算機同時計算256個1相加的話，倘若都是使用1+1+1+1+……的方法，人腦的確不如計算機的速度。但是若人腦在整個運算體系中加入乘法的概念，你就會意識到，載入了乘法概念的人腦會意識到256x1=256，這個時候計算機還在那做加法呢。

五、維度

用我們的眼睛觀察世界，我們知道，一個點可以稱為零維：

·

一條線，我們稱為一維：

一個平面，我們稱為二維：

一個立方體，我們稱它為三維：

那麼四維，和之上的五維，我們要怎麼才能表示他們呢？

用一句時髦的話來說：「看起來這是一個幾何問題，實際上是一個代數問題」。

還記得嗎？我們要學會抽象的方法，不僅是現實中的問題可以抽象，實際上，數學中的概念也可以相互抽象。

讓我們用坐標系來解決這個問題：

除零維度以外，我們知道一維坐標繫上的點可以用點x=1來表示1這個點，同樣的方法，我們可以表示二維平面上的點，只要使用2個數就好了，比如：

（x,y）=（1,2）

再擴展下去，三維空間中的點，則需要使用3個數來表示：

（x,y,z）=（2,5,9）

現在，我們可以推測，四維空間中的點要使用4個數（因為它有四個坐標軸），其表示方法為：

（w,x,y,z）=(3,5,9,1)

五維及以上維度，其中的點表示方法是否依然如此呢，顯然也是這樣（當然，你不大想像的出來，沒事，我們也想不出來，這需要長久的鍛煉）

那麼，為何我們要將各個維度中的點抽象為坐標系中的點呢？答案是：為了計算方便：

現在，我們知道了高維空間中點與點之間距離的方法，能計算出距離，那麼面積和體積也就不太遠了，你可能要問，對於現實世界來說，這有什麼意義呢？

還記得數學概覽（一）中的扔蘋果核問題嗎？

現在我們可以將空氣的阻力，地球的自傳，月球的微小引力都表示為高維度數學空間中的一個坐標軸，蘋果核在空中受到這些力量變化後經過的每一個點，在高維度空間中都有一個對應坐標，本來極端複雜的多變數問題，變成了高維度空間中的一個代數問題。是的，引入高維度空間的概念，不是因為它很酷，而是因為它能簡化問題。讓數學家走走捷徑。

六、超越計算機的方法

現在我們知道怎樣將一個複雜的問題，通過抽象的變化，變成簡單的問題，這其中體現出來的思想，對人腦的計算速度如何超越計算機計算速度尤為重要。

數學不一定要很精確，有的時候只要近似就好，抽象的方法，也不一定總是要精確的：還記得我們對根號2的論證嗎？看看下面的複雜序列精確表示起來是怎麼樣的：

很顯然對於此類數列的演算法，如果是採用純粹的計算方式，會耗費大量的時間，數學家採用了一種很聰明的方式：我不需要知道這個數字的精確值，我只要知道，這個數字約等於多少就可以了——只要求數字所在區間比求數字簡單，我就這麼干。

那麼，為何數學家要這麼干呢？原因是，在處理超大數字和超大序列時，比如我們要將其按照大小的順序依次排列的話（對，這是計算機常乾的活之一），如果是需要計算出準確的差值再開始排列，會耗費大量的時間，那麼，找到一種簡單的方式來快速處理這個問題就尤為重要了——單純重複計算的數量越少，得出結論的效率也就越高。

讓我們給出原文中列出的一些快速計算方法來結束這一小節：

以下原文：

既然近似乘法這麼簡單，近似平方也就很簡單了——只要把原來的數替換為一個兩倍位數的新數。由此得出，把n的位數減半可以求出n平方根的近似值。類似地，將 位數除以3可以求出立方根的近似值。更一般地，如果n是個大整數，t是任一正數，那麼nt的位數大約為n的位數乘以t。

假設你有一個數t且知道它是另一個數n的自然對數。那麼數n稱作t的指數冪，記作et。那麼n大致是多少呢？剛才為了得到t，我們數n的位數並乘以2.3。所以n的位數必定約為t/2.3。這就決定了n的大小，至少是近似值。

所以，有的時候我們經常在電影中聽到某某演算法可以加快計算機的處理速度，你可以簡單的認為，上述原文中的演算法，其作用及意義就在於此。

結語

或許讀完上述所有的部分，你對數學有了初步的了解，希望去繼續深入下去。當然，有的時候，你還是會認為數學在現實生活中沒有任何意義，至少不能換來金錢，抱有這個想法的小夥伴，可以看看全球頂尖數學家與程序員參與策略的投資公司：高盛集團，其在自己招聘廣告中將strats團隊描述為「使用量化及科技手段解決複雜商業問題的全球領軍者」

順便說一句，這夥人的人均年薪是370萬美元。

下期預告

《槍炮、病菌和鋼鐵》

1492年，哥倫布發現了新大陸。

等等，為什麼，不是新大陸發現了哥倫布？

因為隨後歐洲國家殖民、征服了美洲土著？

——為什麼不是美洲土著去征服歐洲？

因為科技……

等等，同樣是人類，為什麼美洲發展比之歐洲要慢？

……

現代科學證明，人類起源於非洲大草原——那，非洲發展的最早，怎麼現在？嗯，你懂的。

你的閱讀時間就是最好的讚美。

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