天體運動機械能通式及思考-高中物理二級定理微講堂

【高中物理二級定理微講堂】

天體運動機械能通式及思考（推廣）

文賀艷偉

引子：

關於天體的運動規律，高中階段主要研究的是從圓周運動的動力學規律到運動學規律，但是如果問題情景中告訴了我們引力勢能的概念和表達式，在計算題中應用就難免涉及到能量守恆。本文小河老師在高中物理現有知識基礎上，從一般的橢圓軌道上的運動機械能表達通式開始推廣到圓周運動中，並且從通式中得到普遍意義上的結論，推廣至氫原子的玻爾理論和變軌問題中。

前提知識：

開普勒三定律的內容：

開普勒第一定律（軌道定律）：所有行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個焦點上；

開普勒第二定律（面積定律）：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積；

開普勒第三定律（周期定律）：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉周期的二次方的比值都相等.

引力勢能公式：

通式推理：

已知質量為m的衛星在質量為M的太陽引力作用下沿橢圓做半長軸為R的運動。試推理系統的機械能與相關物理量之間的關係通式。

設近日點遠日點對應的距離和速度分別為r1,r2,v1,v2,根據開普勒第二定律可知，在時間微元Δt內，行星與太陽連線掃過的面積相等：

於是

其實這就是角動量守恆定律的結果。

行星和太陽系統的機械能E：

根據機械能守恆定律：

即：

?

其中

聯立??式可得：

整理為：

再與聯立：

於是，得到動能Ek：

於是機械能E：

於是得到系統機械能通式：

推廣：

1、質量為m的天體繞質量為M的中心天體勻速圓周運動時，軌道半徑為R，則有：

2、質量為m的天體繞質量為M的中心天體勻速圓周運動時，根據式可知天體動能為：

3、質量為m的天體繞質量為M的中心天體勻速圓周運動時，根據能量守恆定律可知

4、對於氫原子核外電子繞原子核做勻速圓周運動的玻爾理論，可知亦有如下關係：

系統電勢能Ep：

系統動能Ek：

系統能級值（總能量）E：

5、對於質量為m的天體繞質量為M的中心天體勻速圓周運動橢圓軌道長軸相等的情況下，在交點（到中心天體距離相等的位置）處的勢能相等，動能也相等。

6、變軌問題中，原本在做圓周運動的天體，如果瞬間加速而在新的橢圓軌道上運動，長軸要大於原來圓周運動的直徑，或者半長軸大於圓周運動的半徑。

本期編輯：小河老師

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