詳解三體問題的神秘特解-回顧「拉格朗日點」兩百年來的夢幻

科技 04-25

主頁菌說

在上一期文章中講述TRAPPIST-1星系時，提到了

斯皮策太空望遠鏡接近於地日L5點，以及韋伯太空望遠鏡預計進入的地日L2點的環繞軌道

。很多小夥伴們便問道這個L點到底代表著什麼，有什麼特殊的意義，為什麼

造價幾十億美金的天文望遠鏡非要前往這個點的軌道

。今天就讓我們來解釋下這看似不慍不火，實則有著非凡意義和用處的

L點

。

本文作者：

Saturn V

（土星五號）

，順便說一下獵鷹9下一次發射瞄準3月12日，具體能否準時發射取決於當地時間3月8日的靜態點火。

L1-L5點的相對位置圖

熟悉的感覺，熟悉的味道！挖你的員工，抄你的火箭！貝光頭果然是商海老油條，這場回收火箭的大戲越來越好看了。而孤獨的SpaceX終於有了學生！一個相愛相殺的學生！

地月L點相對距離

L點是英文Lagrange Point的簡寫，中文常譯為

拉格朗日點

，或稱平動點Liberation Point，總而言之離不開L。拉格朗日點其實在日本動漫，尤其是科幻的高達系列（

一部著名的近未來科幻背景的系列動畫作品，國內又譯「

敢達

」，台灣地區譯為「鋼彈」，主頁菌注

）中經常出現。在現在被稱為「始祖高達」的第一部高達《

機動戰士高達0079

》中，作為反派的吉翁公國的大本營，Side 3大型殖民空間站便是在環繞地月L2點的穩定軌道中。

在高達0079的宇宙紀元里，所有的太空殖民空間站均位於地月L點宇域

而在《

高達S.E.E.D

》中的P.L.A.N.T.則更加宏偉，120座60千米長的大型殖民空間站群建在地月L5宇域。哪怕到更接近現實的《

高達00

》中，依然可以看到位於地月L4和L5的大型殖民空間站。

高達S.E.E.D，C.E.紀元中位於地月L5的沙漏型空間站集群

高達00系列中公元2312年建立的位於L4的殖民衛星「輝煌」，用以開採重定向後的小行星里的貴金屬

高達系列中屢屢將能容乃上萬乃至上百萬人口的空間站放置在拉格朗日點是有原因的，

5個拉格朗日點的特性使其非常適合放置大型人造物體而不用擔心軌道調整和維持問題

。事實上在美國聯合發射聯盟（ULA）公布的未來30年的太空計劃中都可看到拉格朗日點的身影。

ULA地月太空計劃圖。第三幅圖中標示的EML-1及地月L1點（Earth-Moon Liberation Point-1）

熟悉英文的小夥伴估計已經發現，Lagrange這個拼寫並不是英文。沒錯，

拉格朗日點是以法國籍義大利裔數學家和天文學家約瑟夫?拉格朗日命名

，對於學習天文學和現代力學的人來說，拉格朗日的名字可謂如雷貫耳，拉格朗日方程可謂是現代力學的核心，為後續的天體力學和分析力學奠定了基礎。

約瑟夫?拉格朗日

1736年1月25日出生在義大利都靈的拉格朗日在年僅19歲時便因出色的數學天賦被時任普魯士科學院數學部主任的歐拉所賞識，被任命為都靈皇家炮兵學校教授，開始進行數學研究。1766年僅30歲的拉格朗日成為普魯士科學院數學部主任，推薦他的正是他的博士導師，

上任數學部主任歐拉

。要知道這位歐拉可不是一般人，

萊昂哈德?歐拉是近代數學先驅之一

，現在耳熟能詳的數學常數e正是為紀念歐拉（Euler）而選。

拉格朗日改變世界的著作Mécanique Analytique（分析力學）

在拉格朗日一生諸多成就當中，

對天文學的最大貢獻莫過於對限制性三體問題的研究以及提出的5個特殊解

，後人為紀念拉格朗日將這5個特殊解以他的名字命名，拉格朗日點因此而來。看過劉慈欣科幻小說「三體「的都知道，

三體問題是指三個質量在相互之間萬有引力的作用下的運動規律問題

。雖然此問題已被證明無解，但如果加上「其中一個質量過小而無法對剩餘兩個質量造成影響」這個限制後，限制性三體問題便有了特殊解。

1767年歐拉，也就是拉格朗日的導師，推算出旋轉的二體引力場有三個特殊點，

如果放入第三個物體可以使其與前兩個物體相對靜止

。歐拉發現的這三個位於兩個大質量物體軸線上的點，便是日後的L1，L2和L3。

限制性三體問題圖示，歐拉發現的點均在上圖的X-軸上。M和M1，M2比質量過小而不影響M1和M2的運動軌跡。M1，M2可為地球和月亮，也可為地球和太陽，因而涉及地球的拉格朗日點其實有兩組。

1772年拉格朗日在歐拉的基礎上進一步推算出另外兩個不在兩個大質量物體軸線上的點，及日後的L4和L5。

拉格朗日進一步證明L1，L2，L3均為單向不穩定平衡點

，及如果有物體在上述三個平衡點，任何垂直於軸線的移動都會被推回平衡點（Y-軸移動），但平行於軸線的移動則會使該物體迅速離開平衡點（X-軸移動）。與之相反L4和L5是穩定平衡點，及在這兩個平衡點的物體，任何方向的移動都會被推回平衡點，進而能一直保持此物體和兩個大質量物體的相對位置。

地球和太陽的引力勢能示意圖（非真實比例）。拉格朗日的推算簡而言之是以能量而不是力為基礎，計算出兩個質量的引力勢能方程，通過微積分求出此方程的極值，再通過二階導數判斷此極值為高值（不穩定平衡），低值（穩定平衡），還是拐點（單向不穩定平衡）

根據拉格朗日的理論，L1，L2和L3三點因不穩定不會存在天然形成的天體，但L4和L5上則會存在

。隨後的太空觀測證實了此理論，土衛三（Tethys）和土星的L4點有土衛十三（Telesto），L5點則有土衛十四（Calypso）。土衛四（Dione）和土星的L4點有土衛十二（Helene），L5點則有土衛三十四（Polydeuces）。2010年天文學家在地日L4點上發現了小行星2010TK7，是人類發現的第一顆和地球共用公轉軌道的小行星。

2010TK7的軌道（綠線）。由於太陽系其他星體引力的影響2010TK7會環繞地日L4點做周期性運動，不過其公轉周期依然是不多不少正好1.00地球年。

從2010TK7上看地球和月球

拉格朗日點的天然能量穩定讓進入此點的太空飛行器可只需少量，甚至不需要燃料便可維持自身軌道

。對於大型乃至巨型空間站來說，地日和地月拉格朗日點，尤其是L4，L5兩個穩定平衡點無疑是最佳選擇。與之相比現在最大的太空設施，全重大約420餘噸的國際空間站每年要消耗近3.7噸燃料維持軌道，同時還需要太空梭，ATV飛船和進步貨運飛船定期助推升軌。

正在進行升軌作業的「奮進」號太空梭

可以看到每一次升軌點火後國際空間站的高度會突然增加，之後又逐漸降低，這是因為400餘千米高度仍然有少量大氣阻尼，致使國際空間站減速。

這裡不得不回頭佩服下高達系列動畫設定的嚴謹性。0079中甚至還原了Side 3環繞L2點的穩定軌道，這是因為如前文所示L2為單向不穩定平衡點，因而人造衛星需要橫向環繞L2點以保持縱向平衡，

此環繞軌道在天文學上被稱為利薩如軌道

。S.E.E.D中大量的P.L.A.N.T.殖民衛星群近距離環繞統一軌道顯然太過危險，於是便將放在絕對平衡的L5點。L4和L5兩點同樣適合放置小行星，於是高達00里負責開採小行星貴重金屬資源的人造衛星便悉數位於L4和L5。

以拉格朗日理論畫出的地月等引力勢能圖。和高達0079中的殖民地圖相比便會發現位於L4的Side 2，6和位於L5的Side 1，4的環繞軌道都正好在L4和L5最外緣的等勢能線上（圖中L4，L5藍色三角處），構思巧妙不得不服。

對於太空望遠鏡等無人探測器來說，拉格朗日點帶來的不僅是易於進行觀測的穩定軌道，

不同拉格朗日點特殊的位置還為探測器提供了獨一無二的太空環境

。日本的飛天號月球探測器利用地月L4和L5的天然平衡，僅消耗少量燃料便進入月球軌道。不過地月拉格朗日點遠沒有地日拉格朗日點位置特殊，所以現在沒有任何探測器在任何地月拉格朗日點工作。

LISA進入地日L1點的軌道及環繞L1點的軌道示意圖。

由於地日L1點介於地球和太陽之間，遠離地球可避免地球磁場對太陽風的干擾，

因

而地日L1點非常適合研究太陽風並為地球提供太陽風預警

，NASA負責採集太陽風粒子的起源號便曾部署在此。作為利用最充分的地日拉格朗日點，地日L1點現在有5個探測器，分別為WIND太陽風探測器，太陽和太陽圈探測器（SOHO），先進成分太陽風預警探測器(ACE)，深空地球環境觀測器(DSCOVR)和激光干涉空間天線開路者號(LISA)。這其中DSCOVR為深空地球觀測衛星，LISA為太空引力波望遠鏡的技術實驗衛星。