沒有定理的中國古代數學，如何站在世界之巔？

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不同於希臘數學的公理化論證（以歐幾里得《幾何原本》為代表），中國古代數學是演算法式的數學。它注重通用的方法，而不是特殊的技巧。

撰文 林開亮（首都師範大學數學博士，目前任教於西北農林科技大學理學院）

最近讀到物理學家和科技史家程貞一教授的訪談錄（標題是「我的人生經歷與學術生涯」，作者郭金海），他提到早年的一段感受：

另一件印象比較深刻的事，是上初中時，我對中國古代數學萌發了興趣。記得那時我們在念代數，教科書是《范氏大代數》。那時一直困惑我的一個問題是：為什麼我們的數學教科書上沒有一個來自中國文明的定理和成就？

正是這個疑問引導程貞一後來慢慢走向了科學史的研究，最終取得了傑出的成就。

與他相仿，我在年少時也渴望了解中國古代數學，然而教科書上很少提及這段歷史。即便到了大學、上了數學系、念了研究生、翻了好多書，我對中國古代數學的認識還是很模糊。直到工作之後，我偶然讀到吳文俊先生的幾篇分析中國古代數學的文章，才豁然開朗。

照我的解讀，吳文俊先生的意思是，中國古代數學其實只有一個關鍵字：術。吳先生在《對中國傳統數學的再認識》中的原話如下：

大體說來，中國數學的古典著作大都以依據不同方法或不同類型分成章節的問題集的形式出現。每一個別問題又都分成若干個條目。條目一是「問」，提出有具體數值的問題。條目二是「答」，給出這一問題的具體數值解答。條目三稱為「術」，一般來說乃是解答與條目一同一類型問題的普遍方法，實際上就相當於現代計算機科學中的「演算法」，但有時也相當於一個公式或一個定理。條目四是「注」，說明「術」的依據或理由，實質上相當於一種證明。宋元以來，可能是由於印刷術的發達，往往加上條目五「草」，記述依據「術」得出答案的詳細計算過程。

這裡應特別提出條目三「術」的作用。雖然條目一、二中的問與答都以具體數值表達，有時甚至術文本身也是如此，但不難看出所有術文都具有普遍意義。術文中即使帶有具體數值，這些數值並不起重要作用。如果以其他同類型的數值來代替，術文也依然行之有效。條目四的「注」或即證明也是如此。論證的正確性完全不依賴於原設數值的特殊性。例如，《九章算術》第九章勾股的第一、二、三的三個問題，都是以勾三、股四、弦五為例，知其二求其第三者。求法名為勾股術，術文曰：「勾、股各自乘，並而開方除之，即弦。」顯然，這是從勾股求弦的一般方法，與具體數值三、四、五無關。勾股術的注或即證明也是如此。因此，問、答或術文中的具體數值，只起著一種舉例說明的作用，同時也指出了術即一般方法的來歷或動機。

在最近出版的《走自己的路——吳文俊口述自傳》（湖南教育出版社，2015年）中，吳文俊先生著重指出：

機械化，貫穿中國古代數學的思想是機械化，中國古代數學的特點就是構造性和機械化。中國古代數學是著重解決實際問題，它的方法是「機械」的，跟西方數學的證明不一樣，靈機一動什麼的。中國古代數學不講這個，沒有什麼靈機一動，都是死板的。這是我的發現，這是我真正讀懂了中國古代數學。

吳先生這裡所謂的機械化，就體現在「術」的作用，相當於現代計算機科學中的「演算法」。讀到這裡，就容易明白，為什麼一直以來我們稱數學為「算術」了：因為「術」正是中國古代數學的精髓。改稱「算學」為「數學」，還是近代的事情。民國時期，北大有「數學系」，而清華的則叫作「算學系」。他們認為是一樣的，但不想用同樣的名字，因為互相不服氣。

吳文俊先生一直強調，不同於希臘數學的公理化論證（以歐幾里得《幾何原本》為代表），中國古代數學是演算法式的數學。這不難理解，只要看看我們的前輩創造了多少「術」：

更相減損術（《九章算術》，求兩個整數的最大公因子）

盈虧術（《九章算術》，線性插值法）

方程術（《九章算術》，解線性方程組的方法，國外稱高斯消去法）

割圓術（劉徽、祖沖之，用圓的內接正多邊形的面積作為圓面積的近似，從而得到圓周率的近似值）

球積術（劉徽、祖暅，計算球的體積）

天元術（李冶，設未知數解方程）

大衍求一術（秦九韶、黃宗憲，解同餘方程，主要結果表述為中國剩餘定理）

增乘開方術（賈憲、楊輝）

正負開方術（劉益、秦九韶，英國數學家霍納後獨立發現）

四元術（朱世傑，天元術的推廣，解四個未知數的方程組）

隙積術（沈括）、垛積術（楊輝、朱世傑）

招差術（王恂、郭守敬、朱世傑）

尖錐求積術（李善蘭）

正如吳文俊先生所總結的：「中國古代數學，就是一部演算法大全。」所以要了解中國古代數學，就要了解一些代表性的演算法。以下我們選取其中幾項，略為介紹。

1

更相減損術

第一個例子是吳文俊先生本人舉的，即求兩個正整數的最大公因子的「更相減損術」。

一個典型的例子是求最大公約數，中國古代叫「更相減損術」。中國古代數學中，把最大公約數叫做「等數」，術曰：以少減多，更相減損，求其等也。 就這麼幾句話！比如說，要求24和15的最大公約數，也就是 「等數」，「更相減損術」的步驟如下：

(24,15) (9,15) (9,6) (3,6) (3,3)

因此「等數」為 3。真漂亮！

「更相減損術」來自《九章算術》，一般簡稱《九章》，它是中國第一部數學專著，一共有九章內容。《九章》定型不晚於公元100年，但其作者不可考，後世流行的版本是經三國時期數學家劉徽加工之後的《九章算術注》（公元263年出版）。劉徽在《九章算術注》中曾明確指出，「更相減損術」的原理在於：在運算過程中，整數逐步減小，但其等數卻始終保持不變。順便提一句，《九章》中主要是利用「更相減損術」來約分，所以它完全包含在「約分術」中：「副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。」就是求出分子、分母的最大公因子（等數），然後分子分母同除以最大公因子。

劉徽 《九章算術注》

在現代教科書中，通常用「輾轉相除法」（也稱為歐幾里得演算法）來求兩個正整數的最大公因子。它是「更相減損術」的一個變體，其基礎是所謂的帶余除法。

帶余除法定理：設a和b是兩個整數，其中b>0 ，則存在唯一的整數q和r使得

a=qb+r，（其中r滿足0≤r

定理中的q稱為a除以b的商，可以用下述性質刻畫：qb是b的所有的倍數中不超過a最大的一個；r稱為a除以b的餘數，由r=a-qb確定。帶余除法名稱的由來，在於等式右邊有餘數r。當餘數r＝0時，稱b整除a，而且b就是a,b的最大公因子。

我們不擬介紹歐幾里得演算法，是因為在解決另一個與求最大公因子問題關係非常密切的問題時，中國古代的數學家本質上也創造了同樣的演算法，只不過它換了一個名字，叫「求一術」。

2

大衍求一術

簡單地說，求一術，就是求解下述方程

ax≡1(mod b)（1）

的演算法。這裡a,b是給定的非零整數，x是要求的整數，它滿足方程ax≡1(mod b)是指，ax除以b的餘數為1。

北宋數學家秦九韶發明了一種求一術，他在1247年出版的《數書九章》中命名為「大衍求一術」（「大衍」的來由：在序言中，秦九韶把這一方法與《周易》「大衍之數」附會）。後來，清代數學家黃宗憲進一步簡化了秦九韶的方法。我們現在介紹的，是這個簡化的版本。

不同於歐幾里得的輾轉相除，秦九韶‐黃宗憲的方法是用矩陣。首先寫出一個 2 行 2 列的陣

其中a,b,1都是源自方程(1)，只有0是補充進來的。

秦九韶‐黃宗憲的方法（求一術）如下：對第一列的數a,b使用帶余除法（較大的數除以較小的數）。設得到的商為q，則較大的數那一行減去較小數的那一行對應元素的q倍。於是新得到的矩陣的第一列兩個元素替換為第一次帶余除法的除數與餘數。重複之前的操作，直到某一步帶余除法得到的餘數為 1（演算法結束）。此時1正右方的數，即為所求的x。求一術，實際上就是「得1」的方法，因此又名「得一術」。

作為例子，我們用秦九韶‐黃宗憲的方法來求

5x≡1(mod 7)（2）

的一個解。

解：求一術步驟如下：

根據求一術，1的右邊的數，就是x的一個解，即x=3。這是很容易驗證的：

5·3＝15≡1(mod 7)

當然，你或許以為我是把問題搞複雜了，你甚至在一開始就試出來x=3是一個解。然而，正如吳文俊先生多次強調的，中國古代數學講究的是一種演算法，是一種威力極強的基本功夫。毫不誇張地說，簡直可以遇妖除妖遇魔降魔。簡單的例子你用技巧可以解決，但如果我換成一個稍微複雜一點的例子，如解方程

250x≡1(mod 2017)

你若是還想故技重施，就沒那麼幸運了！

說到這裡，我想起著名數學家、數學教育家波利亞（George Pólya）的一句名言：「使用過一次的是技巧，使用過兩次以上的技巧就有可能發展為一種方法。」正所謂「大智若愚，大巧若拙」，中國古代數學，注重的是通用的方法（「法」「術」同義），而不是特殊的技巧。讀者若想領教秦九韶‐黃宗憲的求一術的威力，不妨用上面的方程250x≡1(mod 2017)一試！

不難發現，秦九韶‐黃宗憲的求一術與求最大公因子的歐幾里得演算法是相通的。作為例子，我們用矩陣格式寫出求250與2017的最大公因子的過程如下：

在上述歐幾里得演算法中，直到某一步帶余除法得到的餘數為 0（演算法結束），此時另一個數（這裡就是1）即為最大公因子。當然，在我們的例子中驗證十分容易，通過分解因子250=2×5×5×5 ，不難發現2017和250的公因子只有1。（事實上，2017是素數，但要徒手確認這一點，比上述求公因子的問題困難多了！）

3

方程術

學過線性代數的讀者應該會想起來，求一術本質上就是解線性方程組的初等行變換法，也稱高斯消去法。因此，可以想見，秦九韶的求一術可能脫胎於「方程術」。「方程術」出自《九章算術》第八章，這一章詳述了線性聯立方程組的解法並引進了負數。按現代語言，「方程」這一術語的最好解釋就是「方陣」。實際上，「方」的字面意義為正方形或矩形。「程」，按劉徽在《九章算術注》里的解釋, 就是把數據在盤上擺成矩陣：「並列為行, 故謂之方程」。 因此，解法便是縱橫移動算籌，如我們上面所展示的那樣。

4

天元術與四元術

中國古代數學的高峰是在宋元時代，其代表人物是秦九韶、李冶和朱世傑。前面我們介紹了秦九韶和黃宗憲的大衍求一術，接下來我們介紹一下李冶的天元術和朱世傑的四元術。

秦九韶的《數書九章》

天元術其實就是設未知數解方程的方法。元就是未知數，「天元」就是未知數的名稱。打個比方，「天元」相當於「嫌疑人X」，其中「元」相當於「嫌疑人」，「天」相當於「X」。

我相信每個人都對這種方法的威力深有體會，尤其是剛接觸這個方法的小學生。其實， 我們每個人在小學就已經接觸到中國古代數學的傑出成就了，只是我們沒有被告知而已！

國家自然科學基金中有個數學專項基金名叫「數學天元基金」，命名就來自「天元術」。

四元術，是天元術的推廣。四元是指「天、地、人、物」四元，相當於說四個未知數x,y,z,w。天元術是求解帶有一個未知數的方程的方法；而四元術則是求解帶有四個未知數的方程組的方法。

「四」在此並無特殊含義，只是多項式中各項係數要擺在盤上的固定位置，這就限定了未知數的個數不超過四。因而對於懂「四元術」的人來說，這個方法不難推廣到任意多個未知數。然而，宋元之後，中國古代數學就盛極而衰了，以至朱世傑的「四元術」沒有被後人繼承發展（甚至當利瑪竇在明代來到中國時，中國已經無人懂《九章》了！）。直到 20 世紀，在計算機興起和數學機械化思想復甦的背景下，朱世傑的這一工作最終啟發吳文俊開創了幾何定理機器證明的「吳方法」。吳文俊甚至這樣說：「這裡所謂本人所創立的方法，事實上無非是朱世傑四元術的現代化推廣形式。」

《吳文俊論數學機械化》其中收入了吳文俊先生部分數學史文章

結語

在一次訪談（標題是「走進吳文俊院士」，作者黃祖賓）中，吳文俊先生說到：

最早的幾何學、最早的方程組、最古老的矩陣等等，翻開歷史，中國曾經是一個數學的國度，中國數學在世界上的位置遠比今天靠前。祖沖之、劉徽、《九章算術》、《周髀算經》、《四元玉鑒》等一批大家和著作，使中國數學曾經處於世界巔峰。正是由於這些輝煌，中國數學，不僅要振興，更要復興！

就我個人的感覺，從前學數學，在課本上讀不到中國古代數學的成就， 確實有些打擊士氣，下意識里就覺得我們中國人，是不是不適合學數學？如果當初有幸從吳文俊先生的文章中 了解到一些中國古代數學思想，我想我可能會學得更好些，甚至有可能專門研究中國古代數學。筆者這裡並沒有要揚中國古代數學而抑希臘古代數學的意思，只是想告訴讀者，從風格上講，中國古代數學具有鮮明的演算法特色，這是中國古代數學的精髓所在。

無論如何，我要向所有對中國古代數學感興趣的讀者，推薦吳文俊先生的文章。要知道，這位榮獲2000年首屆國家最高科技獎的大數學家曾經說：「對中國古代數學的研究，是我最得意的，拓撲的那些工作不算什麼。我感到最得意最自豪的是：真正懂了中國古代數學是怎麼回事。」

如果我拋此磚能引出美玉，這篇小文的目標就達到了。

致謝：感謝陳關榮、李良攀、劉雲朋諸位教授和潘穎女士對初稿提出的寶貴意見！

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