棄九法猜數遊戲

棄九法猜數遊戲之一

我們知道，習以為常的十進位數有著一個有趣的特性，一個十進數除以9所得到的餘數，等於這個十進數的各個數位上的數的和除以9所得到的餘數。根據這個特性，既可以進行驗算（俗稱棄九法驗算），也可以進行猜數遊戲。現在，從一則頗為動人的故事談起。

古代的波斯國，有個國王是數字迷，一天，有一位少年求見國王，說是要獻上一道有趣的數學遊戲。國王召見後，這位少年說道：「國王，請您背著我任意寫出一個不少於兩位的正整數，再用它減去這個正整數各個數位上的數的和，然後再所得的差中隨便圈起其中一個不為零的數字，把剩下的數字逐個告訴我。我便能立即知道您所圈起來的是一個什麼數字。」

國王不解的說：「你怎麼知道我隨便圈起來的那個數字呢？」

「國王如果不信，可以立即驗證。」這位少年滿有把握的說。

於是，國王背著少年寫下了一個七位數7540876，讓別人用它減去各個數位上的數的和。（7+5+4+0+8+7+6＝37），得7540876-37＝7540839。接著國王在所得的差中把3圈起來，說道:「我已經按照你的說法做了，剩下的數字是7，5，4，0，8，9，你知道我圈起來的是一個什麼數字嗎？」

「知道！國王您圈起來的是3。」少年立刻回答道。

國王感到很驚訝，他怎麼知道呢？當這位少年把其中的奧妙告訴過王后，國王對這一奇妙的數學遊戲很感興趣，於是重賞了這位少年。這位少年是怎樣推算出來的呢？

這是一個有趣的數學遊戲。只要把圈後剩下的各個數字加起來（或者不必加上0與9），看看還要再加上一個什麼一位數。正好是9的整數倍，那麼這個數就是被圈起來的那個數。這裡，7+5+4+0+8+9＝33，或7+5+4+8＝24，都是再加上3，正好是9的整數倍，所以被圈起來的數是3。

棄九法猜數遊戲之二

在整個遊戲的過程中，老師面向學生，始終不看黑板，老師先請一位學生在黑板上隨意寫出一個多位數，例如7516726。然後，再請一位學生把剛才所寫的數隨意打亂排成另一個數，例如，2176567，接著，計算這兩個多位數的差（大數減小數），7516726-2176567=5340159。最後，請一位學生在差中隨意劃掉一個非零的數字，並把餘下的數字按任意次序高聲讀出，例如，劃掉一個數字5，讀為534019，這時，老師便能正確迅速地說出學生劃掉的數字是幾（5）。

這個遊戲的奧秘在哪裡呢？我們知道，一個多位數除以9所得的餘數等於這個多位數各個數位上的數的和除以9所得的餘數。因此，隨意寫出的多位數與後來據此打亂排成的另一個多位數，它們除以9就具有相同的餘數，它們的差（大數減小數）是9的倍數。這就是說，差的各個數位上的數字的和是9的倍數。所以，在差中隨意劃掉一個非零數字後，便能猜出被劃掉的數字。

例如，在上例中，老師把學生高聲讀出的數字，用心算加起來，得5+3+4+0+1+9=22，再把這裡各個數位上的數相加，直到得到一個數字為止，2+2=4。甚至，可以這樣地心算：不必加上與9，得5+3+4+1=13，再把這裡各個數位上的數字相加，直到得到一個數字為止，1+3=4。這裡所得的數字是4，說明被劃掉的數字是5。添上這個數字5後，差就是9的倍數。

棄九法猜數遊戲之三

（撲克牌遊戲）

老師把一副撲克牌的大王、小王拿起來，同時說明每張牌代表一個數：2，3，4，5，6，7，8，9，10就代表本身所標明的數；J，Q，K和A分別代表11，12，13和1。接著，老師按黑桃、紅心、梅花、方塊4種不同的花色分別發給甲、乙、丙、丁4個學生。每位學生一種花色，都是13張牌。讓他們各自將這13張牌任意分為若干組，每組的張數是隨意的，然後計算每組各張牌所代表的數的和。在這些所求的和中任意刪掉一個數字，將剩下的數字告訴老師。老師就能很快地說出被刪掉的數字。

例如，學生甲的分組演算如下：

甲將其中的一個數字3刪掉，告訴老師2，8，9，2，4五個數字，老師很快地說出了被刪掉的數字是3。

學生乙的分組演算如下：

乙將最後一個數字6刪掉，告訴老師2，5，3，4，2，6六個數字，老師也很快就說出了被刪掉的數字是6。

學生丙的分組演算如下：

丙將其中的一個數字0刪掉，告訴老師2，2，2，3，9，1，5，1，1，2十個數字。老師問道：刪掉的這個數字比5大嗎？丙回答：比5小，老師隨之說出了被刪掉的數字是0。

這裡的奧秘是什麼？原來老師首先將學生告知的各個數相加（或者不必加上0與9），如果加得的和是兩位數。再將組成這個兩位數的各個數位上的數相加，使之成為一位數。然後用10減去這個一位數。所得的數就是被刪掉的數字。這裡有一種情況必須注意：當所求餘下各個數的最後和為1時，被刪掉的數有兩種可能：9或0，遇到這種情況，可先問刪掉的數比5大嗎？若大於5，則為9；若小於5，則為0。

於是，甲餘下各數的和是2+8+9+2+4=25。進而2+5=7，甲刪掉的數字是10-7=3。乙餘下各數的和是2+5+3+4+2+6=22。進而2+2=4，乙刪掉的數字是10-4=6。丙餘下的各數是2+2+2+3+9+1+5+1+1+2=28，進而2+8=10，1+0=1，丙刪掉的數字比5小，所以這個被刪掉的數字是0。

現在來說說這一撲克牌遊戲的理論跟據。我們知道，能被9整除的自然數的各個數位上的數的和必定能被9整除；反之，不能被9整除的自然數的各個數位上的數的和也必定不能被9整除。這裡的13張牌的和是：A+2+3+4+5+6+7+8+9+10+J+Q+K=91，9+1=10，1+0=1。由上述整除性質可以知道。這13張牌的和不能被9整除，且其餘數必定是1。因此把13張任意分為若干組相加。所得各組和的各個數位上的數的和也不能被9整除，且其餘數也必定是1。又因為兩個非負整數的和為1的，有且僅有一種情況：1+0=1，從而可知各組和的各個數位上的數的和的最小兩位數必定是10。

* 來源：《進位制與數學遊戲》，李友耕著，科學出版社，有刪改。

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