牛頓《原理》中的「大意」

最近在修訂《科學簡史》講義時突然意識到，今年是牛頓（Issac Newton, 1624~1727）逝世290周年（牛頓的逝世的日期是1727年3月31日），也是其《自然哲學數學原理》（Philosophi? Naturalis Principia Mathematica，簡稱《原理》）出版330周年（《原理》出版於1687年7月5日），因而從該講義中抄出關於《原理》的一點文字在此發表，以表示一位科學史教師對這位科學巨匠的紀念。

牛頓46歲時的肖像（Wikipedia）

牛頓一生在科學上做出了諸多發明創造，從數學上的二項式定理、微積分，到在光學上揭示光的本質、發明反射式望遠鏡，再到提出運動三定律、發現萬有引力定律，等等。但真正改變人類的世界觀和科學方法論，從而深刻影響到近代文明發展的還是他在1687年7月出版的《自然哲學數學之原理》一書。儘管《原理》是因為萬有引力定律的發現而完成，但是牛頓想通過該書表達的卻遠不止於這樣的一條具體的力學定律，他要表達是一套全新的研究自然的方法。

牛津大學圖書館所收藏的牛頓親筆修改的《原理》第一版（Wikipedia）

牛頓早年閱讀《幾何原本》時對其中的公理化幾何學並沒有太好的印象，認為它不能給人帶來新知識。但是，《原理》恰恰是以歐幾里德幾何式的公理化形式寫成。一方面，牛頓無疑是要以這種方式來表示自己理論體系的嚴密性。而另一方面，正是由於採用了這種形式，牛頓才創造了一個以三條基本運動定律為基礎、具有極大普遍性意義的力學系統。

全書從「定義」開始，內容包括八條定義和一條長篇附註。定義包括物體的質量、運動、慣性、作用力、向心力及其三種量度方式，附註則進一步定義了絕對時間、相對時間、絕對空間、相對空間、相對運動和絕對運動等概念。接著是「公理，或者運動定律」，給出了著名的牛頓三定律，並在隨後的推論和附註中介紹了力的合成與分解原理、運動疊加性原理、動量守恆原理、伽利略相對性原理等，構成了全書的理論基礎。正文分為三卷，所有結論都是以命題的形式給出，並附有嚴格的證明過程。

牛頓三定律在《原理》中被稱為「公理或者運動定律」（AXIOMATA SIVE LEGESMOTUS），充分體現了該書內容的公理化特徵

儘管牛頓的三條基本運動定律構成了全書的基礎，但他對於絕對時間和絕對空間的定義在其整個力學體系中也佔有舉足輕重的重要地位。他把絕對時間稱作「絕對、真實和數學的時間」，認為它是均勻流逝的，而且「自含、自在並具有自己的本性，無需參照外在的任何東西」；時間又可以稱作持續性，而「相對、表面和一般的時間則是通過運動對持續性做作的（準確或者不準確的）測量」。至於絕對空間，則是「具有自己的特性而無需參照外再東西的，永遠保持各向同性以及不可以移動性」；而「相對空間則是對絕對空間的任何可動部分與大小」，也是有感覺而決定的。牛頓的絕對時間和空間為他的力學提供了一個簡單的終極時空參照系，其中的時間和空間是互不相干的。

應該說，推求萬有引力並用它解釋太陽系各天體的運動，這是《原理》的中心。因此，該書第一卷主要討論質點在無阻力空間中的運動，尤其是在有心力作用下的運動，這些是為宇宙體系的討論所作的理論上的準備。而第二卷主要討論流體以及流體中物體的運動，看上去似乎與宇宙體系問題無關。但是，正是通過這一部分內容，牛頓最後證明，在均勻介質的渦旋中，物體的運動不可能遵守開普勒三定律，由此得出結論：「因此很清楚，行星們不是由物質渦旋帶動的。」因此，這一部分是對笛卡爾（René Descartes，1596~1650）在《哲學原理》（Principia philosophiae，1644）中提出的以太渦旋學說的明確否定。笛卡爾的這種學說在當時的歐洲佔據著主導地位，牛頓在這裡否定它顯然是要為自己萬有引力理論的提出與應用掃清道路。

笛卡爾關於恆星系統的以太渦旋模型

最後，牛頓在第三卷「世界體系論」中切入了宇宙體系的討論。首先，他把開普勒第三定律作為一個通過反覆觀測得到的「現象」，在此基礎上利用第一卷中推導出的力學定理推出了萬有引力定律。然後，他又根據這條定律證明，包括太陽在內的太陽系所有成員都必然地圍繞整個系統的公共重心運轉，而這個重心必然地處於質量最大的太陽附近，從而第一次從物理學上完成了對日心說的證明！隨後，他又進一步用這條定律分析了太陽系天體的各種運動現象，尤其是月球運動、潮汐規律和彗星軌道這些十分複雜的現象，以顯示其理論的強有力。最初他是以非數學化的語言寫成這一部分的，目的是想讓更多的人理解其中的論點與論述方法。但是，最後他還是決定改用數學性的版本。據說是由於胡克（Robert Hooke, 1635~ 1703）提出了引力發現優先權的要求，牛頓為了表示自己的發現遠非胡克的非數學性理論所能相比，所以才改變了主意。

牛頓當初以非數學化語言寫成的《世界體系論》直到1728年才首次出版

毫無疑問，牛頓《原理》實現了對歐洲近代早期自然研究成果的一次大綜合與大發展。這種綜合首先是知識上的：從哥白尼的日心地動說到開普勒的行星三定律，從伽利略對自由落體、勻加速運動、拋體運動、運動相對性以及單擺的研究到笛卡爾對慣性運動、運動守恆以及碰撞問題的思考，一直到惠更斯對擺、圓周運動以及碰撞等問題的研究。這些成果不但被充分地吸收到了牛頓自己的力學體系之中，而且在新的理論框架之下顯示出了更加明確和重要的物理學意義——這就是牛頓對以往這些發現的發展。

與此同時，《原理》也實現了近代早期科學世界觀和方法論上的一次大綜合與大發展。首先，書中明確地體現了自然的數學化觀念。在全書的序言中，牛頓明確指出：由於近代人們在自然研究中拒斥物質性的形式與神秘的性質，而努力把自然現象歸結為數學定律，因此他在本書中也要集中討論與自然哲學相關的數學。按照他自己的劃分，這種數學的內容可分為三個層次。第一，是前兩卷中提出的一些「數學地證明了的」的一般命題；第二，是以這些命題為基礎，從天體的運動現象中推出太陽與各行星之間的相互引力；第三，是從這些引力中演繹推導出有關行星、衛星、彗星和潮汐運動的數學命題。正是從這種意義上來講，牛頓才認為：「本書提出了自然哲學的數學原理。」

當然，牛頓在《原理》中也極大地發展了自然數學化的觀念。例如，除了空間、時間和運動這些前人已經用過的數學性範疇外，牛頓把力也作為自然結構中的一個基本要素，同時利用第二運動定律（牛頓將之表述為作用力與運動的改變數成正比）提出了它的量度方法，使之也成為一個數學性的範疇。此外，他還用質量作為物質的量度，取代了前人所用的重量或者廣延等範疇。正是通過這些改進，尤其是通過力和質量概念的引進，牛頓實現了運動學與力學的結合，從而創立了真正的「動力學」（dynamics）。

其次，《原理》也繼承和發展了機械論觀念。在該書序言里，牛頓指出：「許多事情引導我懷疑，所有的現象都可能依賴於某些形式的力。由於現在還不知道的原因，物體的微粒在這些力的作用下或者被相互壓在一起，聚合在規則的形體中；或者相互排斥而彼此分離。」這是一種典型的機械論觀點，所不同的是，牛頓現在把物體間的作用力看成是機械作用中最關鍵的要素，認為「哲學最基本的問題就是首先從運動的現象中去發現自然的各種力，然後用這些力來對其他現象進行推演。」與此相應，牛頓提出了所謂的「理性力學」（rational mechanics）的概念，將它定義為「關於各種形式的力所產生的運動、以及各種運動所要求的力的科學」，並把它看成是自然哲學的主要基礎。因此可以說，牛頓建立或者至少是強化了一種以物質間作用力為中心概念的機械論。

最後，牛頓也強調經驗知識和實驗的重要性。儘管《原理》中給出的是一個高度數學化的抽象體系，但是牛頓卻認為它是地地道道的「實驗哲學」，其中的「命題都是從現象中演繹出來、並通過歸納而加以一般化的」。在「宇宙體系」前面的「自然哲學研究的規則」中，牛頓明確地強調了經過歸納得來的經驗知識的權威信：「由於物體的性質只有通過實驗才能為人所知，所以，那些被實驗所普遍證實了的性質就是普遍的性質……不能用粗心編織的無用空想來取代實驗的證據。」而在其中最後一條規則中，牛頓則明確規定：「在實驗哲學中，通過歸納法從現象中搜集來的那些命題應該被認為是精密或者非常近似於真實的，即便是在存在相反的假說的情況下也應如此，除非有其他現象使這些命題變得更加精密或者受到排除。」也就是說，當經驗與理論假說發生衝突時，必須遵從經驗。

對於牛頓來說，《原理》不僅是對自己自然哲學理論的闡述和證明，更是一種方法論上的示範。這種方法就是：把經驗所揭示的自然現象歸結為力作用下的物質運動，首先根據基本的力學原理，借用數學方法，從現象中總結出力的作用規律，再反過頭來利用這些力來解釋和預測新的現象；當發現解釋和預測同實際觀測之間存在差距時，則說明其中有尚未發現的力的規律；再通過類似的研究方法找出這些新規律，則可以使理論得到進一步的精確化。這才是他最終想要傳達的一種「大意」。所以，他在該書序言中明確表示：「我希望，這裡所確立的這些原理可以對這種模式的哲學研究或者某些更加正確的哲學研究產生新的啟示」。他殷切地期望，「如果我們能按照[與本書]同樣的推理方法，根據力學原理推出其他自然現象[的原因]該多好啊！」

英國威斯敏斯特大教堂中牛頓墓上的紀念雕刻（取自Wikipedia）

當然，對於今天的一位中國科學史工作者來說，《原理》還最好地體現了西方公理化科學追求的一個優勢。正是由於存在著這樣的追求，西方科學家才不會像中國古代的自然研究者們那樣滿足於就事論事，滿足於對於具體現象的研究和對特殊規律獲得，而總想從具體和特殊中去尋求更加基本、更加普遍的東西。牛頓《原理》的產生過程很好地說明了這一點：在發現了萬有引力的基本規律後他並沒有滿足於這個發現本身，而是要反過頭去尋找更加一般的原理，以便能通過公理化方法「推出」這條定律。最後，他找到了三條最基本的運動定律，又為三條定律的應用建立起一個由絕對時間和絕對空間構成的時空框架，再把自己在這個問題上的所有發現全部用公理化的方式表達出來。正是通過這樣的方法，牛頓所發現的就不在是一條或者幾條具體的定律，而是一整套研究力學問題的全新理論。正是因為重視這種倒逼式的研究，牛頓這樣的西方科學家往往能獲得各種革命性發現。在這些科學家手裡，公理化方法不僅可以充當科學化嚴密表達的工具，更是一種發現工具，能有效地幫助自己從具體中發現抽象，由特殊上升到一般。本來，培根（Francis Bacon, 1561~1626）是想通過歸納法來達到這一目標，但實際卻很難、最終也沒能達到。而藉助於公理化的方法，牛頓卻十分巧妙地達到了這一步。可以說，牛頓的《原理》也為公理化方法在歐洲科學中的重要作用做出了一個很好的註腳。

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