微積分速寫：高鐵時代

微積分一本書，定理太多、證明太長，大學生也難懂。今欲代之以一個知識點，或一條定理(基本定理）加幾行證明：使小學生知其然（知道微積分是什麼），中學生知其所以然（知道為什麼）。 所以一個變數的微積分在中學即可學會，大學物理不必再等微積分接軌。

小學版（知其然）

娃娃是白紙，聽得進先進的東西（長大了雜念多了，反而難聽進）。 所以微積分（最先進的數學）趁早從娃娃抓起。

在深圳華富小學四年級、武漢華中科大附小一年級，做過實驗：背口訣、一言片語

一方的面積 = 另一方的高

（只比較大小）具體化

餘弦cos下的面積 = 正弦sin的高， ....

解釋：基本定理是什麼？那就是：曲線（例如cos，或半圓形教室）下的面積怎樣計算？

傳統方法：以直代曲，由一系列長方形來覆蓋，但無論你用了多少個長方形，永遠達不到精準值（永遠蓋不滿，小學生也明白）。 所以它不能作為精準的計算方法，只能作為曲線下的面積定義（如果精準值存在）

cos下的面積 sin的高

微積分方法：意外，根據以上的面積定義，居然對應著一個精準值，那就是另一條曲線（sin）的高. 一次性解出，簡直異想天開。

欲知為什麼，須知三角公式。 初中未學到，耐心等。

能不能先睹為快（高鐵時代），越過初中，跳到高中（隨後才回到初中？）

高中版（知其所以然）

為什麼有基本定理：cos下的面積 = sin的高？

先將sin的定義區間等分為許多小區間，長為θ

再求在sin兩個節點上的高度差（又稱小高）

（其中cos取分點間的中值，故稱中值公式）

（三角恆等式沒商量，後面張景中有兩行的證明）。

再在所有x=xi節點上相加，便得sin在兩頭，b與a的高度差（又稱全高）

（還是恆等式）。 但右邊第一個公因子1當θ0(見三角不等式cosθ

當θ0就定義為曲線cos(x)下的面積（見上左圖），記為cos(x)的積分（面積或積分的定義就在於此，慢慢體會）。 結果，一石二鳥，得出面積以及基本定理（求高）

總共論證也不過四行（不算三角恆等式的兩行證明. 此外每行都得解釋），所以透明如鏡！

立下寫書行規：超過四行的證明不進教科書（理想之例：是無理數的證明）

對稱地，將 cos 下的面積 = sin的高，換成sin下的面積 = cos的高：先求 cos 的小高

（中值公式）

再變成全高：

或

總共論證也不過四行（雖然每行都得解釋），透明如鏡！

重複寫書的行規：超過四行的證明不進教材（理想之例：√2是無理數的證明）.即使專業，台雪成（現在香港浸會大學）說，Nash得獎的定理，證明大致20行（雖然每行都得解釋）.再多人們就跟不上！

sin下的面積示意圖（無需另一半）

習題1：用tan做一遍

習題2：用√x做一遍

習題3：用x3做一遍

到此，基本定理是什麼、為什麼，我們已經心中有數，甚或透明如鏡！過去（傳統教材），學了80學時，其實並不知道基本定理是什麼，更不知道為什麼。

以上就是基本定理或微積分的速寫（高鐵時代的精神），它一針見血、立竿見影

到此已告一段落

進一步深造，無非將以上各例推廣到更複雜或更一般的函數。

高中深造版：借用導數

前面兩例，借用三角，有中值公式（若借用一般的函數語言，即

兩邊再除以θ，即得割線斜率及導數. 經過變形及算術定理，又得基本定理 。

例1. sin的割線斜率切線斜率或導數：

（用中值公式）

其中

（此即算術定理，只需驗證無需證明，見以後的微積分小卡片）

例2. cos的割線斜率切線斜率或導數：

其中

（算術定理）

下面各例，沒有中值公式，但借用導數，並有基本定理。

例3.tan的割線斜率切線斜率或導數：

其中用到

例4.√x的割線斜率切線斜率或導數

其中用到

例5.x3的割線斜率切線斜率或導數

其中用到

經過反覆做題，熟悉了基本定理的推理程序，自然會做出

總結 擺脫中值公式，借用導數，仍有基本定理

（算術定理見以後的微積分小卡片）

這裡積分，或

當θ0即曲線 f"(x)下的面積（面積與積分的定義就在於此，慢慢體會）

以上論證也不過四五行（雖然每行都得解釋），高中生可以承受

基本定理統一證明

這時，也只有這時，我們才嘗到了微積分的鮮活味道！

總之，基本定理只要拿幾道題，自己做一遍，就完全明白了.還有必要引經據典、狂轟亂炸：由實數論，到連續函數論，到微分學（中值公式、泰勒公式、原函數、不定積分），到黎曼積分？越多越糊塗。

從此，微積分一本書由槍林彈雨解脫出來，成了一個知識點。

微積分一座大山，終於變成了幾碟小菜。

以上借用高中的函數語言與導數定義. 但是，後面有一張《微積分小卡片》，像三字經（或九九歌），小學生也能一知半解（啟蒙作用）。

夠了，讀者可以鬆口氣了！暫停。

注 張景中的三角公式無圖證法:

建議

微積分一開始就布置這幾題，作為打擂台、比武場，供學生試身手、比功夫.直到他們交卷了，才能肯定微積分過關了。

這幾題真值得，包含了微積分的最初功能：求導數與積分. 加上四則運算求導，便可以製造導數表與相應的積分，如上表。

以後僅僅是套公式. 下面僅舉出決定性的一招：利用上表求單位圓的周長與面積。

即 圓周長=4arcsin(x)的高，圓面積=2（arcsin(x)+x√(1-x2)。

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