差點就被迷惑，現實中不可能的數學

作者：Evelyn Lamb

翻譯：山寺小沙彌

審校：Propagator

克雷格·卡普蘭用硬紙板和透明膠帶製造出類似於富勒球或者足球的「類球體」，這樣的球體非常漂亮。它由4個正十二邊形、12個正十邊形、28個正三角形組成，這些三角形是空白區域，也就是沒有硬紙板的區域。但是，我們不能被表象所迷惑，其實這樣的「類球體」是不存在的。這些多邊形並不會在頂點的位置重合，也就是說，這樣的美好想法是不可能實現的。

卡普蘭的模型只有當你把硬紙板換成紙的時候才有可能實現。由於紙比較軟，所以這些多邊形容易發生扭曲從而實現上述「類球體」。加拿大滑鐵盧大學的計算機科學家卡普蘭表示：「由於只有使用紙的時候才會出現容差係數（也就是紙發生扭曲），這意味著我們想像中的那個美麗的球體是不存在的。」

卡普蘭做的模型

這是美國數學家諾曼·約翰遜在二十世紀六十年代偶然發現的一類數學對象中的一個例子。約翰遜正在努力完成柏拉圖二千多年前的一項工作：對多面體進行分類。在種類繁多的多面體中，只有五種可以由同一種正多邊形組成：正四面體，立方體，正八面體，正十二面體和正二十面體。如果將多種多邊形組合在一起，那麼我們又會得到13種多面體，這些多邊形組合之後能形成封閉的多面體。這十三種多面體我們稱之為阿基米德多面體，或者稜柱（兩個完全相同的正多邊形通過矩形連接而成）和反稜柱（由兩個相同的多邊形平行基底和側面的三角形所組成的一個多面體）。

1996年，約翰遜在密歇根州立大學發現了一類多面體，它們可以由普通的多邊形構成，這類多面體共有92種，稱之為「約翰遜多面體」。這樣，約翰遜窮盡了所有可能性，不久之後，來自列寧格勒州立大學的俄羅斯數學家證明了約翰遜的研究。也就是說，除了約翰遜給出的那些多面體的類型之外，不存在其他由規則多邊形構成的封閉多面體。

然而在約翰遜完成多面體的分類之後，他注意到了一些奇怪的事情。他用紙板和橡皮筋建立實體模型，用此驗證他的研究。由於他的結論中多面體的種類較少，所以他希望他能儘快發現新的可能性。

可是任他怎麼組合，新的可能性並沒有出現，所有他搭建出來的模型的種類都在他的研究結論中。「雖然這不是顯而易見的，但是當你組裝一堆多邊形，使他們構成多面體後，多面體的種類並不會超出我的結論。」約翰遜回憶到。

它們似乎是令人拍案叫絕的解決方案，但最終都被證明是不可能的

一個模型看似可以很好的結合在一起，但是「如果你做些計算，你就會發現這樣的模型其實是不存在的」，約翰遜說到。進行進一步的檢查之後，也許正方形不再是正方形，或者一個面不再是二維平面。如果你修剪了這些面，也許它們會結合得很好，但是它們構成的形體已經不再是規則多面體了。

在試圖搭建出多面體的過程中，約翰遜並沒有把太多的精力放在那些近似多面體中。「我把他們放在一邊，集中精力研究那些真正可行的方案」，他說道。但是，這些近似完美的多面體不僅僅吸引了卡普蘭和其他數學愛好者的興趣，現在更是成為了近似完美數學的重要組成部分。

關於近似差錯還沒有精確的定義，也不可能存在定義，在這個搖擺不定的現實世界中，一條硬性的規定並沒有意義。目前，卡普蘭在尋找新的擬約翰遜多面體時，依賴於一條經驗法則：多面體中固有的真實的、數學上的錯誤可以與現實世界中的你並不十分完美的手工製作與不完美的材料相比較。換句話說，如果你可以「成功地」搭建一個不可能存在的多面體，那麼它就是一個近似差錯的例子。在數學中，如果某件事可以使你感到驚訝並誤導你，那麼它可能就是一個近似差錯的例子，它就像數學和我們開玩笑，鬧惡作劇。（註：譯文中的「近似差錯」與原文中的「near miss」相對應，表達的是某個方案非常接近某個結論或者結果，但該方案又是錯的。由於譯者和審稿者查閱了很多資料都沒有找到更好的中文表達方式，故用「近似差錯」譯之。）

數學中的一些近似差錯，如前面提到的近似完美的多面體，它們不僅僅好玩，而且對數學和物理學也有深刻的意義。

在一些古老的案例中，如利用捲尺測量圓的周長，倍立方問題（用尺規作圖的方法作出一立方體的棱長，使該立方體的體積等於一給定立方體的兩倍），這些問題都涉及到近似差錯。這些方法令人拍案叫絕，可遺憾的是，經過證明，它們都無法解決問題。它們就好像一個看似閉合的圓一樣，始終都有缺憾。達芬奇曾通過尺規作圖的方法，在一個圓里畫出了所謂的「正五邊形」，人們驚嘆於達芬奇的聰明才智，但不得不遺憾的說，他的這種作圖方法是無法獲得正五邊形的。

達芬奇手稿

接下來，讓我們來看看「失蹤的方塊拼圖」。如圖所示，把一個直角三角形分成四部分，然後將它們重新組合之後，我們會發現新的圖案中出現了一個空白區域。這個空白區域是從哪裡來的呢？這也是一種近似差錯，其實這個圖案本來就不是三角形，只是它太像三角形了，所以瞞過了我們的眼睛。細心的讀者可以看看，此時的斜邊不是一條線段，它在某處發生了突變，藍色三角形斜邊的斜率是0.4，紅色三角形斜邊的斜率是0.375，由於兩條線段的斜率相差不大，所以引起了我們的錯覺。

失蹤的方塊拼圖

在日常生活中，一些數字的組合也可能引起近似差錯。例如，這麼一個數字上的近似也許是日常生活中最有用的一個近似差錯了。這也是為什麼鋼琴上一個八度音程包含著12個琴鍵的原因，同時也是西方音樂里平均律的基礎。這種近似使得兩個最重要的音程——八度音（頻率比為2:1）和五度音（頻率比為3:2）達成了妥協，而如果要將八度音分為完美的五度音階在數值上是不可能的。但是，我們可以將一個八度音程等分成12個半音，其第七個音的頻率比為1.498（譯註：即27/12，與五度相升律的純五度音的頻率比1.5很接近），這樣對大多數人來說已經足夠完美了。27/12（譯註：即27/12，與五度相升律的純五度音的頻率比1.5很接近）

鋼琴琴鍵

「辛普森一家的恐怖樹屋」宣傳海報

然而，近似差錯不僅僅是玩笑那麼簡單。加州大學河濱分校的數學家約翰?貝茲說: 「那些吸引我的近似差錯可能是挖掘某個數學理論的線索。」拉馬努金常數就是一個例子。這個常數的表達式是： eπ √163，它的數值為262,537,412,640,768,743. 99999999999925，非常接近整數。從直觀上來看，由於構成這個常數的三個組成部分e，π，√163都是無理數，所以我們很難想像它們通過某種方式組合起來能派生出一個有理數，更何況是一個整數呢？但這個常數之所以很接近整數是有原因的。貝茲說: 「其實這並不是巧合，我們是可以理解這樣的情況的。它是一條通往某個數學理論的線索。」具體的解釋太過複雜，但是163這個數比較特殊，它是一個Heegner數，當Heegner數出現在以e為底數的指數函數的指數部分時（eHeegner數），這個指數函數的數值便非常接近整數。

我們再來看看大名鼎鼎的「魔群月光猜想」。故事是這樣的，在1978年的時候，數學家約翰·麥凱做了一個瑣碎又奇特的觀察：196884 = 196883 + 1，第一個數字196884，和j不變數有關，而196883和魔群有關。大多數人對這些可能並不在意，但是這樣的拆分引起了數學家們的關注，他們都希望能進一步了解兩者之間的關係。他們發現了兩個看似無關主題之間的聯繫：數論和魔群的對稱性之間的聯繫。這些聯繫可能對其他理論有深刻的影響。物理學家愛德華·威騰認為，魔群可能與量子引力和時空的深層結構有關。

數學中的近似差錯表現了人類在數學研究中出現的一種有趣同時又能推動人類發展的美麗錯誤。約翰遜、卡普蘭等人通過實踐的方法開展他們的研究，這和生物學家很相似，他們有時候會步履艱難地穿梭於熱帶雨林中，尋找新的物種。但是，數學家們會相對輕鬆點，因為他們可以較為系統地搜集這些近似差錯。例如，數學愛好者吉姆·麥克爾尼，他就在自己的網站上搜集一些網友們提供的近似差錯；計算機程序員羅伯特·韋伯，開發專門用於研究多面體的軟體。

近似差錯經常「混跡於」現實與理想之間，通過感官欺騙我們，它們會「顛倒黑白」，使原本錯的結論變得似乎是正確的。通常，真實的世界是柏拉圖理想國中的影子。在將某些結論付諸實踐的時候，基礎數學失去了它的完美性。卡普蘭說，近似是 「對正確答案的不正確的估計」，而 「近似差錯是一個幾乎正確的答案的精確表示」。

通過這種方式，近似差錯改變了數學家和數學物理學家與自然世界的關係。卡普蘭說：「我很感激現實世界的不完美, 因為它讓我能夠實現「准完美境界」的目標，我知道這些結論本質上並不完善。正是現實中破碎而又充滿美感的那部分，使我克服現實的局限性。」

來源：中科院物理所

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