雙曲線中的面積問題

學習反比例函數時，我們經常遇到一些求解與其函數圖象雙曲線有關的面積問題。要解決好這些問題，應注意以下幾個方面的基礎知識：

設反比例函數式為y=。

由雙曲線上一點向兩條坐標軸做垂線段，由這兩條垂線段與兩坐標州圍成的矩形的面積計算。（如圖1，以第一象限的圖象為例）

由四邊形PMON為矩形。設P點坐標為（m，n），P在y=圖象上，則有mn=k。∵OM=，ON=

∴S四邊形OMPN=OM·ON=·==

由雙曲線上一點向其中一條坐標軸的作垂線段，並連接這一點與原點的線段，由這兩條線段與坐標軸圍成的三角形的面積的計算。（如圖2，仍以第一象限的圖象為例）

由圖象可知，SPOM=SPON=S四邊形OMPN=。

理解點的坐標的幾何意義：點P的坐標為（m，n），則表示P到y軸的距離；表示P到x軸的距離。

用好雙曲線的對稱性：雙曲線關於原點O對稱，因此雙曲線y=與過原點O的正比例函數y=k2x的交點關於原點O對稱。

會利用反比例函數關係式y=設雙曲線上點的坐標。如點P在雙曲線y=的圖象上，設P點的橫坐標為m，則P點的坐標可表示為（m，）

會用割補法求面積。尤其要注意有時需先利用坐標軸構造出特殊圖形（如矩形、梯形、直角三角形等）。

一、用好雙曲線的對稱性

例1若函數y=kx（k＞）與函數y=的圖象相交於A、C兩點，AB⊥x軸於B。則ABC的面積為（）。

A。1 B。2 C。3 D。4

解：由A在雙曲線y=上，AB⊥x軸於B。

∴SABO=×1=

又由A、B關於O對稱，SCBO= SABO=

∴SABC= SCBO+SABO=1故選（A）

二、正確理解點的坐標的幾何意義

例2如圖，反比例函數y=－與一次函數y=－x+2的圖象交於A、B兩點，交x軸於點M，交y軸於點N，則SAOB=。

解：由y=－x+2交x軸於點M，交y軸於點N

M點坐標為（2，），N點坐標為（，2）∴OM=2，ON=2

由解得或

∴A點坐標為（－2，4），B點坐標為（4，－2）

SAOB=SAON+SMON+SBOM

=ON·+OM·ON+OM·=6

（或SAOB=SAOM+SBOM=OM·+OM·=6）

三、注意分類討論

例3如圖，正方形OABC的面積為9，點O是坐標原點，點A在x軸上，點C在y軸上，點B在函數y=（k＞，x＞）的圖象上。點P（m、n）是函數函數y=上任意一點，過點P分別作x軸、y軸的垂線。垂足分別為E、F，並設矩形OEPF中和正方形OABC不重合部分的面積為S。

求點B的坐標和k值。

當S=時，求P點的坐標。

解：設B點坐標為（x，y），B在函數y=（k＞，x＞）的圖象上，∴S正方形OABC= xy=9，∴x=y=3

即點B坐標為（3，3），k= xy=9

當P在B點的下方（m＞3）時。

設AB與PF交於點H，∵點P（m、n）是函數函數y=上，

∴S四邊形CEPF=mn=9，S矩形OAHF=3n

∴S=9－3n=，解得n=。當n=時，=，即m=6

∴P點的坐標為（6，）

當P在B點的上方（m＜3）時。同理可解得：P1點的坐標為（，6）

∴當S=時，P點的坐標為（6，）或（，6）。

四、善用「割補法」

例4如圖，在直角坐標系xOy中，一次函數y=k1x+b的圖象與反比例函數y=的圖象相交於A（1，4），B（3，m）兩點。

求一次函數解析式；求AOB的面積。

解：由A（1，4），在y=的圖象上，∴k2=xy=4

B（3，m）在y=的圖象上，∴B點坐標為（3，）

A（1，4）、B（3，）在一次函數y=k1x+b的圖象上，

可求得一次函數解析式為：y=－x+。

設一次函數y=－x+交x軸於M，交y軸於N（如圖）。則M（4，），N（，）

SAOB=SMON－SOBM－SAON=OM·ON—OM－ON

=×4×－×4×－××1=

五、構造特殊輔助圖形

例5如圖，已知直線y=x與雙曲線y=（k＞）交於A、B兩點，且點A橫坐標為4。求k的值；若雙曲線y=（k＞）上一點C的縱坐標為8，求AOC的面積。過原點O的另一條直線交雙曲線y=（k＞）於P、Q兩點（P點在第一象限），若由點ABPQ為頂點組成的四邊形面積為24，求點P的坐標。

解：A橫坐標為4，在直線y=x上，A點坐標為（4，2）

A（4，2）又在y=上，∴k=4×2=8

C的縱坐標為8，在雙曲線y=上，C點坐標為（1，8）

過A、C分別作x軸、y軸垂線，垂足為M、N，且相交於D，則得矩形ONDM。S矩形ONDM=4×8=32。

又SONC=4，SCDA=9，SOAM=4

∴SAOC= S矩形ONDM―SONC―SCDA―SOAM=32―4―9―4=15

由反比例函數圖象是中心對稱圖形，OP=OQ，OA=OB，

∴四邊形APBQ是平行四邊形。SPOA=S四邊形APBQ=6

設P點的坐標為（m，），過P、A分別作x軸、y軸垂線，垂足為E、M。

∴SPOE=SAOM=k=4

若＜m＜4時，如圖所示。

∵SPEO+S梯形PEMA=SPOA+SAOM，∴S梯形PEMA=SPOA=6

∴（2+）（4－m）=6解得m=2或m=－8（捨去）P點的坐標為（2，4）

若m＞4時，同理可求得m=8或m=－2（捨去），P點的坐標為（8，1）

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