被流放的思想和靈魂-記20世紀兩大偉人！

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卧底1000天後

他寫出百萬暢銷書

影響全球千萬讀者！

流放

麗貝卡·戈德斯坦 著 唐璐 譯

選自《不完備性---哥德爾的證明和悖論》

如涉版權請聯繫編輯微信@iwish89

哲學園鳴謝

老蟬原編錄入 轉載請在文首註明哲學園

老蟬按：這本小書購於7年前，一直沒有看。前天晚上網友老丁轉了一篇講普林斯頓高研院和愛因斯坦的文章，機緣巧合，從書架中抽出了這本書。讀後欲罷不能，直至凌晨1點多。

第一章的第一個亮點是：道出了目前流行的對哥德爾的一系列誤解，包括他的哲學與數學。最常見的就是對不完全性定理的相對主義、主觀主義的理解---這是一種典型的後現代式理解。而我們知道，哥德爾是一位地地道道的柏拉圖主義者，他信奉的是客觀性和實在性，他證明不完全定理的動機正是出於要為自己的柏拉圖理念做辯護而不是相反（書中作者觀點），而不完全性定理的結論，在哥德爾眼裡，恰恰好地又為他的理念做了腳註----存在真的但不可判定的命題（第一不完全定理）----這並不意味著後現代式的相對主義虛無理解：絕對真理是虛幻的，人們無法理解它們----而是恰恰相反：數學的形式世界存在為【真】的命題，它們是客觀的，而我們恰恰可以理解它們----通過不完全性定理的證明，我們知道它們不可判定但卻為真！這是多麼奇妙而又合理！後現代理解顯得多麼弱智啊！

第二個亮點是作者頻繁提到的元概念，老蟬對元思考也情有獨鍾，曾經寫過一篇《對人工智慧的元思考》（點擊藍字閱讀）。元思考是一種突破性思考，是在更高一個層級上的思考，是跳出原有圃抑從外部審視的思考。在元思維中，可以避免盲人摸象的謬誤，達至窺一斑而見全豹的境界。

這是一本難得的非主流觀點的好書，是一位柏拉圖主義作者對另一位偉大的柏拉圖主義邏輯學家所作的發自內心真誠而又理性的精神素描。

這本書在市面上已斷貨，哲學園有電子版，如需閱讀請返回到哲學園首頁，回復「哥德爾」下載。當然，最好是看完下面的文章，比較長，耐心讀完，定有收穫。

作者前言：哥德爾對人們相互理解的能力不抱樂觀態度。語言是我們交流的工具，而語言也的確是適應性的奇蹟。它在語法和語義上是有限的，這對它的可被學習是必需的——不僅是對小孩子!——然而它又有著無限的生成能力。我們用語言所能描述的事物沒有界限，我們所能生成的命題也沒有限制。

然而，雖然語言有著無限的能力，哥德爾卻認為，語言可以被證明是生硬而笨拙的工具。還在維也納大學讀書的時候，他就向一同參加傳奇性的維也納小組高級哲學討論班的朋友透露，「我對語言思考得越多，我就越奇怪人們居然能相互理解。」

哥德爾想闡釋的涉及他對數學哲學所持有的深刻信念；而這也是與語言的局限聯繫在一起的哲學。考慮到哥德爾對語言總體上的悲觀態度，也許就不奇怪他在表述他的哲學信念時，會痛苦於語言的局限，並用他的數學天賦來克服。他傑出的成就正是將哲學蘊涵豐富的結論翻譯成澄凈透明的形式邏輯。然而，雖然他用嚴格的數學對兩個不完備性定理的證明為他人所承認，哥德爾還是常常感到其哲學蘊涵——這也是他最為關切的部分——被誤解了。雖然他進行了不懈努力，人們在相互理解時的困難仍然困擾著他。

哥德爾對我們相互理解對方的能力感到悲觀，即便我們說同一種語言並生活在同一個國家。如果身隔萬里，對世界和對方的理解是由完全不同的歷史和文化所塑造，那麼在進行對話或試圖在深層次上交流時，又會有多少額外的困難呢。在試圖擴展語言的適應性時我們時常依賴於隱喻，但是隱喻常常無法走得很遠。有些描述依賴於理解通過某種隱含的方式X類似於Y，在領會它們時，經驗的不同會導致嚴重的困難。因此經驗的主觀性使得相互理解甚至更為困難。

.....庫爾特·哥德爾遠比我認為他意識到的要成功。他傑出的數學結論等著我們所有人去理解，我們還沉思於它們的哲學意義。在分享這深刻的智識體驗時，我們也在分享著某種超越一切外在局限的東西。

麗貝卡·戈德斯坦

馬塞諸塞，波士頓

新澤西郊外的夏天快要結束了。一條僻靜的小路上,兩個人在散步,手背在身後,低聲交談著。濃密的樹蔭遮天蔽日,遠處矗立著宏偉的老房子,路邊榆樹叢外蜿蜒著蔥翠的高爾夫球道,隱約傳來打球的人微弱的談話聲。

這裡雖然看上去不起眼,卻不是普通的郊外居民區---散布著鄉村俱樂部,人們每天進城去獲取財富。這裡是新澤西普林斯頓,座落著世界上最偉大的大學之一,因此也擁有來源更多樣的居民。兩人在僻靜小路上散步回家的這一刻,普林斯頓的居民甚至更具世界性,擁有許多因希特勒而逃離歐洲的最傑出思想家。一位美國教育家說:「希特勒搖樹,我撿蘋果。」-些最好的蘋果結束飄零,來到世界的這個小角落。

因此這兩位散步者用德語交談也就不奇怪了。其中一位,穿著整齊的白色亞麻西服,戴著配套的白色軟呢帽,只有30多歲,而另一位,褲子松垂,用老式吊褲帶掛著,大約70來歲。雖然年齡相距甚遠,說起話來卻有如同輩,偶爾老者的臉會被逗樂得皺成一團,他搖著頭,似乎對方談論的事情wirklich verruckt,非常好笑。

在樹蔭濃密的小路盡頭,與兩人走的方向相反,高等研究院新建的那幢醒目的喬治時代風格紅磚大樓矗立在寬闊的草坪上。研究院已有大約10年是在普林斯頓大學哥特式的數學樓里租的地方。但歐洲湧來的學術精英讓研究院的聲望大增,現在它搬到了距大學幾英里遠的地方,自己建了開闊的園區,有池塘和一小片森林,小徑交織,在這裡可以捕捉難以琢磨的思想。

20世紀40年代早期,高等研究院在美國已是個很不尋常的地方,擁有一些一流的思想家。研究院的建立源於一個人的遠見卓識,這多少解釋了研究院的獨特。1930年,教育改革家弗萊克斯納說服兩位新澤西百貨公司繼承人,班貝格和他的妹妹福爾德夫人,建立一所新型研究院,以促進「無用知識的有用性」。在股市崩潰前幾周,這兩位零售業巨子將企業出售給了梅西公司;秉著博愛的心愿,他們拿著3000萬美元找到弗萊克斯納,向他請教,希望能將這筆錢用於改善人類心靈。

弗萊克斯納

弗萊克斯納這位東歐移民的兒子,多年前曾獨力承擔分析美國醫學教育弊端的責任。世紀之交,醫學院過多過濫,獲得醫學學位除了說明學位獲取者交了學費,幾乎說明不了什麼。僅密西西比州就有42所醫學院,芝加哥有14所。弗萊克斯納報告痛陳積弊,由卡耐基教學促進基金會出版後,扭轉了這一局面。一些太差的機構捲起鋪蓋,從此徹底消失。

班貝格和福爾德對他們以前的新澤西顧客們心存感激希望能回報他們。他們一開始想建醫學院,因此派代表去和知道應當如何進行醫學教育的人商談。(弗萊克斯納的哥哥是洛克菲勒大學醫學院院長,他是弗萊克斯納的偶像。)但弗萊克斯納已經有了比讓美國醫生懂一點醫學知識更為烏托邦的夢想。他的教育改革思想已經遠離應用和實踐領域,有了決定性的轉變。他的理想是為最純粹的思想家創造一個天堂,用堅實的紅磚牆實現傳說中的象牙塔:說白了,就是建立後來舉世聞名的高等研究院。

在這裡,被嚴格甄選的成員將像王子一般被對待,Reine Vernunft,純粹理性王子。他們將有豐厚的報酬(因此有人調侃這裡是「高薪研究院」),全部時間都可用來思考,沒有備課和修改學生作業的負擔—事實上是完全沒有指導學生的負擔。同時還不斷補充有天賦的青年學者,後來被稱為「臨時成員」。他們會訪問一到兩年,用他們的能量、年輕和熱情為遲暮的天才們注入活力。「這裡將是學者們自由的社區,」弗萊克斯納寫道,「自由,是因為受學術目的驅使的成熟人士,需要不受干擾地去追求自己的目標。」應當提供簡單寬鬆的環境,以及「最重要的,安寧——沒有任何打擾,既不需要世人的關注,也沒有關照不成熟學生的責任」。班格/福爾德本想將學院建在新澤西內瓦克,但是弗萊克斯納建議他們,普林斯頓有著幾個世紀的學術傳統,而且安詳靜謐將更易於達到所期望的目的,賦予天才們自由。

弗萊克斯納決定在數學的堅實基礎上實現他的理想,用他的話說,數學是「所有學科中最嚴格的」。在一定意義上,數學是從所有學科中最大限度地除去「現實世界」的思想——在此語境下這個短語不僅僅意味著世事紛擾的實際世界。短語的意義還覆蓋了物理存在的一切事物,除了思想、概念、理論——思維世界。當然,思維世界肯定可以涉及真實世界,典型情況就是這樣;然而,在數學中這卻不是典型。數學家,以他們極度的不近人情,可能不會喜歡(甚至痛苦於)被公眾過多地關注;但是在那些生活在思想中的人當中,他們又被投以特別好奇的目光。這是他們方法的嚴格性以及他們結論的確定性所導致的,正是這些獨一無二的特性讓他們基本上沒有什麼用處(「沒有用處」在此意思是,數學知識,就它本身而言,沒有實踐意義,不能改變我們的物質條件,或好或壞)。

數學的嚴格性和確實性來自演繹,意指數學家從不藉助任何觀察來達成他們的數學洞察,這些數學洞察,就它們本身而言,也不需要觀察,因此任何經驗都削弱不了我們據以認識它們的基礎。任何經驗都不能用來作為根據改變,比如說,5+7=12。如果我們將5件東西和7件東西加起來得到了13件東西,我們就會重新數一遍。如果再數了幾遍還是13件,我們就會認為,要麼是12件中的一件分成了兩件,要麼就是我們看到了重影或幻覺,再要不然就是我們瘋了。是根據5+7=12這個真理評判計數經驗,而不是反過來。

數學的演繹推理複雜,讓人糊塗。但正是它讓數學如此無可置疑,如此不容篡改:定理一旦被證明,就不可能被經驗修正。大體上,數學的無懈可擊正是來自演繹。在Reine Vernunft拱塔上,數學家們站在最頂端,他們的方法由理性構成,而且只包含理性;這就是為什麼弗萊克斯納認為他們的學科最嚴格的部分原因。

雖然數學家智高望重,資助他們相對來說卻很划算,再借用一下弗萊克斯納的話,只需「幾個人,幾個學生,幾間房子、書籍、黑板、粉筆、紙和鉛筆」就行了。無需昂貴的實驗室、觀測台或沉重的設備。數學家的所有設備都在他們的頭腦里,這是數學就是演繹的另一種表述方式。弗萊克斯納還有一個現實考量,就是數學對哪些是最好的幾乎能完全達成一致。在所有學科中,唯獨數學能基於無懈可擊的演繹推理建立它的結論,正因如此,從事這個行業的人的排名也遵循幾乎數學般的確定性。作為研究院的規劃者,同時也是首任院長,弗萊克斯納將能確切地知道該選哪些人。

然而,這並不表明這些信念就是天生的,即我們與生俱來的。顯然,我們必須首先獲取這些概念,以及表示它們的語言,然後才能開始相信+=.天生是一個心理學概念,而演繹則是一個認識論概念,關係到這些信念如何被證明的方法,用來作為支持或反對它的證據。(注:這本書中將用到兩種注釋腳註作為本頁思想的延伸,章節附註則給出引用出處。)

他很快就放寬了條件,讓最為理論的物理學家和最為數學的經濟學家也加入進來。到1932年,他得意地宣布,他擁有了兩位僱員,一位是普林斯頓大學的維布倫,最頂級的數學家;還有一位就是愛因斯坦,他幾近讓人崇拜的地位使他成了納粹的明顯目標。愛因斯坦革命性的狹義和廣義相對論被德國科學家攻擊為病態的「猶太物理學」的代表,被猶太人對抽象數學的愚蠢痴迷所敗壞。甚至在種族滅絕計劃實施之前,這位物理學家就巳被列在第三帝國的特別打擊名單上。

可想而知,很多大學都迫不及待想將這位聲望崇高的難民攬至門下。例如,地處帕薩迪納的加州理工學院就急切地想招募他。但是愛因斯坦更喜歡普林斯頓,有人說因為這是第一所對他的工作表示出興趣的美國大學。他的朋友用他們見多識廣的眼光審視這所新澤西的最高學府,認為它從骨子裡土裡土氣,問他說:「你不會是想自殺吧?」但是,在故土突然變得近乎瘋狂的敵意時,也許普林斯頓及時而持久的友善就被證明是難以抗拒的。愛因斯坦向弗萊克斯納要求3000美元作為薪酬,而弗萊克斯納給了他16000美元。很快這個有著一頭捲髮的著名頭腦就開始在郊區的人行道上散步了,結果至少有一次「司機突然認出這個沿著街道行走的漂亮老人後」把車撞到了樹上。

其他歐洲來的傑出人物也跟著愛因斯坦陸續來到新澤西,其中包括耀眼的匈牙利學者馮·諾依曼,他將在研究院建造世界上第一台計算機,這使得那些認同弗萊克斯納理念---讓研究院不用去做任何「有用的」工作---的成員心生反感。愛因斯坦還在盛年時,就被尊崇為不朽的天才人物，因此幾乎從他到達那天起,當地居民就稱弗萊克斯納建立的是「愛因斯坦研究院」。

顯然,從研究院延伸出的林蔭路上出現的兩位散步者中的老人不是別人,就是這位普林斯頓最著名的居民,他的同伴表情嚴肅地宣稱著什麼事情,他聽後臉上不時浮現出頑皮的微笑。這個年輕人,一位數理邏輯學家,對愛因斯坦的反應報以輕微而蹩腳的微笑,然後繼續以慣常的精確演繹著他的思想推論。

他們每天的談話主題涉及物理、數學、哲學和政治,在所有這些領域中,這位邏輯學家更多是用他的新奇、深刻天真和完全不著邊際讓愛因斯坦感到驚訝。1944年到1947年擔任愛因斯坦助手,恩斯特·施特勞斯曾這樣評價,他所想的一切都受一個「有趣的公理」支配。對每個事實,對於為什麼事實是事實;為什麼它必須成為事實,都存在一個解釋。總結一下這個信念,就是世界上沒有沒理由的偶然性,沒有不需要被假設的假設。惱羞成怒的父母會對倔強的孩子說:「為什麼?我告訴你為什麼,因為那是我說的!」這個世界卻永遠也不會用這種方式對我們說話,一次也不會。這個世界對它自己總有一個解釋,或者就像愛因斯坦的同伴所表述的,Die welt is verninftig,世界是可理解的。這個論斷與通常想法截然不同,它表現在「有趣的公理」的嚴格一致應用之中,也散布到這位邏輯學家頭腦里的方方面面---從身體與靈魂的關係到全球政治再到高等研究院本身的政治。不過,這種與通常想法的分歧對他來說算不了什麼。這就好像他頭腦里的一條不成文法則:如果理性與常識相違背,那麼……常識就不妙了!從長遠的角度看,什麼是常識,不就是庸常嗎?

根據研究院數學院的官方紀錄,對於研究院越出純粹理論工作王國的這第一次冒險,即使是那些十分尊重研究者本人的成員也批評這是「錯位」。在馮·諾依曼去世後,這台計算機被悄悄地轉交給了普林斯頓大學。

許多當事人記述當他進人一個講座或討論班房間時就會出現「敬畏的靜(同上,借用杜卡斯的話)。普林斯頓的哲學家貝納塞拉夫在愛因斯坦時期曾是普林斯頓的研究生,他告訴我愛因斯坦有時常常去參加每周一次的星期五哲學討論班,很少發言,但他只要出席就能讓人感覺到。

不管是在他自己的年代還是現在,這個年輕人都不怎麼為人所知。雖然他的研究成果以其特有的方式,同愛因斯坦的一樣具有革命性,是上個世紀少數最為重要和嚴格的發現之一,這些發現的重要影響遠遠超出它們各自的領域,已經滲人到我們最基本的觀念中。至少在數學領域,20世紀的前三分之一可以說是觀念革命此起彼伏。在深深攪動了「精確科學」根基的理論大變革中,這個人的定理與海森伯的不確定原理(測不準原理)、愛因斯坦的相對論三足鼎立。三者彷彿把我們帶入了一個陌生的世界,它們與我們以前的想法和直覺是如此不同,以至於近一個世紀後,我們仍在試圖搞清楚我們究竟到了哪裡。

這個人和他的研究成果是如此遠離塵世,使他永遠也得不到他在普林斯頓的同路夥伴所具有的那種聲望,或不確定原理提出者那樣的名氣,後者在歷史的此刻很可能是在為納粹德國研製原子彈。愛因斯坦的同路夥伴是一位隱身的革命者。他是你很可能從沒有聽說過的最著名的數學家。如果你聽說過他,也很有可能是把他與這樣一類想法聯繫起來(雖然這不是你的錯),認為他對理性、客觀性和真理的事業具有顛覆性的敵意,不僅激烈地反對,還在數學上進行了結論性的質疑。

他就是庫爾特·哥德爾,1930年,在他23歲時,證明了數理邏輯中稱為不完備性定理的某種東西,讓世界為之震撼一一其實是兩個在邏輯上相關的不完備性定理。

邏輯學家和物理學家在每天往返普林斯頓高等研究院的路上

與大多數數學結果不同的是,哥德爾的不完備性定理並不是用符號或數字公式表述。雖然證明的細節艱深而富有技巧性,讓人高興的是證明的整體策略卻不難。在所有讓人眼花繚亂的公式結束後,兩個結論可以用多少比較淺白的語言表述出來。《哲學百科全書》中「哥德爾定理」一文以對這兩個定理清晰的闡釋開始:

哥德爾定理通常意指以下陳述:

任何足以包含初等數論的形式系統中都存在不可判定的命題,命題既不能被證實也不能被證偽。(這個陳述有時候也被稱為哥德爾第一定理。)

這個定理的一個推論是任何足以包含初等數論的形式系統的一致性不能在這個系統內部被證明。(這個推論就是哥德爾定理;有時候也被稱為哥德爾第二定理。)

這稍微有些含糊的陳述是哥德爾年在維也納發表的結果的簡要闡釋。(「Uber formal unentscheidbare Satze der principia mathematica und Verwandter Systeme I。」1930年11月17日收到稿件。)

雖然這些簡單的陳述並不顯山露水,不完備性定理卻因它們所說的內容之多而很不尋常(也有其他原因)。它們屬於被稱為形式邏輯或數理邏輯的數學分支,在哥德爾的成果出現之前，這個領域曾被懷疑是不是屬於數學;現在它們所涵蓋的遠遠超出了狹隘的形式領域,還研究真理、知識以及確定性的本質等這些大而棘手的問題。因為我們人的本質與對這些問題的討論密切關聯---畢竟,談論知識就是在隱含地談論認知的人---哥德爾定理似乎也對我們的思維所能是的---以及所不能是的---有重要的東西要講。

左二為哥德爾

一些思想家已經在哥德爾定理中看到了後現代磨坊的優質穀粒,將絕對主義者過時的關於真理和確定性、客觀性和理性的思維方式徹底磨碎。一位作者用生動的末世筆調錶達了這種後現代情感:「對於數學,他(哥德爾)是魔鬼。哥德爾之後,數學不再僅僅是上帝的語言,也是我們能夠破解,用來理解宇宙和一切事物的語言——它不再那麼有效。這是我們所處的偉大後現代不確定性的一部分。」即便是我們思維的形式系統也不可避免地不完備,這表明不存在所有系統都可以依賴的不變基礎。所有真理——即便看似確鑿無疑,不存在一點修正可能的那些——本質上都是人構造的。事實上客觀真實的絕對觀念是社會虛構的神話。我們的認知思維並沒有嵌在真理中,相反,真理的整個觀念都嵌在我們的思維中,思維不自覺地服從於有組織的影響。認識論無非就是影響力社會學。這或多或少就是後現代版的哥德爾。

在哥德爾出場之前,邏輯學家更多是哲學系的成員。普林斯頓大學數學系的邏輯學家科琴向我這樣評價道:「哥德爾將邏輯放到了數學的版圖上。現在每個著名的數學系都有研究邏輯的教員。也許只有一兩個,但多少肯定會有一些。」(2002年5月)

對於人類思維的本質,另一些思想家則認為,哥德爾定理指向的是完全不同的方向。比如,彭羅斯在他的兩本暢銷書《皇帝新腦》和《心智之影》中認為,我們的思維,不管是什麼,不可能是數字計算機,不完備性定理在他的論證中具有核心地位。他爭論道,哥德爾定理所證明的是,即使我們在進行最為理論、最受限於規則的思考---也就是數學---我們也是在進行真正的發現過程,不可能被還原為可編入計算機的機械程序。注意彭羅斯的論點與前面那段後現代解讀截然相反,他認為哥德爾的結果沒有削弱我們的數學知識。哥德爾定理並不是表明人類思維的局限,而是表明人類思維的計算模型的局限(基本上這些模型都是將所有思維還原為規則依循)。它們並沒有讓我們陷入後現代不確定性的困境,而是否定了一種特定的思維還原論。

因此,哥德爾定理就好像是珍稀動物中的珍稀動物:是數學真理同時卻又——雖然含糊不清而且富有爭議——涉及人性的中心問題:是什麼讓我們之所以成之為人?它們是數學史上最引起話題的定理。雖然對於它們具體說了多少以及它們說的是什麼還沒有達成共識,卻都同意它們說得極多,它們說的超出了數學,無疑進入了元數學,甚至更遠。事實上,定理的元數學本質與《哲學百科全書》用(多少比較)淺白的語言陳述的那些事實緊密相關。「形式系統」、「不可判定」以及「一致性」的概念可能有點半專業,需要解釋一下(讀者不用擔心這些對定理的簡要陳述會導致理解困難);不過它們是元數學概念,對它們的解釋(遲早會來的)不是用數學語言。哥德爾的定理是試圖逃出純數學的數學定理,它們是從數學內同時也是從數學外來陳述的,這是它們獨特魅力的另一面。另一本很受歡迎的書,侯世達的普利策獲獎圖書《哥德爾、艾舍爾、巴赫》抓住了這一面。

元數學的前綴元(meta)來自希臘語,意思是「之後」」,意指從外面來觀察。針對一個認知領域的元觀察是樣的問題:這個領域的知識是怎麼可能如它所是的?數學,正由於它的自成一格---最嚴格的學科---用演繹方法建立常常讓人驚愕、卻又無可置疑的結果,一直有力地向知識學者(即「認識論學者」)提出元問題,特別是它是怎麼可能如它所是的這個問題。數學對其認知者來說有如天賜的神一般的絕對可靠性,被視為應被效仿的典範:如果在那裡我們能做到,就讓我們處處都做到。這種確定性同時也是引人入勝的謎題:我們如何能做到這一點的,不管是在那裡還是任何地方?像我們這樣由進化蒙著眼睛晃蕩出來的,怎麼做到任何的絕對可靠的?為了領會這個謎,與格勞喬·馬克斯的名言對比一下也許會有幫助,取他將不會加入任何會受像他那樣的人為會員的俱樂部的意思。與之類似,有些人也擔心,如果數學真那麼確定,我們是如何能理解它的?我們如何能得以進入如此嚴格的認知俱樂部的?

這種烏托邦式的認識論是世紀理性主義者的特點---笛卡兒(1596~1650)、斯賓諾莎(1632~1677)和萊布尼茨(1646~1716)。尤其是，斯賓諾莎和萊布尼茨相信有可能借用數學的標準和方法,將其推廣到可以回答我們提出的所有問題:科學、道德、甚至神學,這樣,一且出現了導致長時間而血腥的戰爭的這類神學分歧,理性的人就可以回應道:「來吧,讓我們演繹推理一下,」

一個領域的元問題,比如關於科學、數學或法律,並不屬於這個領域本身;他們各自並不歸入科學或數學或法律。相反,它們被歸入哲學問題,分別屬於科學哲學或數學哲學或法律哲學。哥德爾定理是這個一般規則的迷人例外。它們既是數學也是元數學。它們的證明遵循嚴格的演繹,而建立的卻又是元結論。就好像某人畫一幅畫來試圖回答基本的美學問題;一幅表現美的一般本質的風景或肖像,甚至可能解釋它何以能夠打動我們。一個數學結果對於一般的數學真理的本質居然會有話要說,這真是驚人。

對於哥德爾和愛因斯坦來說,他們理論工作的中心就是物理學和數學各自應該被如何解讀這樣的元問題---這些知識的有力形式實際在做什麼以及它們是如何做的。愛因斯坦對於物理學也有極強的元信念。詳細地說,愛因斯坦和哥德爾的元信念都是著眼於這樣的問題,他們各自的領域是否描述了客觀實在——獨立於我們的思維而存在---或者相反只是人們的主觀映像,是社會共享的智識構造。

他們各自對這些元問題的強調本身就足以使他們與他們各自領域的大多數同行區分開來。兩人不僅主要興趣都在元層次上,更不同尋常的是,他們都想讓他們的理論工作照射出元光束。事實上,哥德爾還在維也納大學讀書時,就有了這樣的抱負,只投身於這類有更廣泛哲學含義的數學。這真是一個讓人敬畏的目標,在某種意義上是歷史性的雄心壯志,而最讓人吃驚的是他居然做到了。他終其一生追求這讓人敬畏的抱負,也許限制了他所能做到的,但同時也決定了不管他做了什麼都會很深刻。愛因斯坦雖然沒有像哥德爾那樣嚴格地限制自己,但也有同樣的信念,即真正好的科學永遠都關注更大的哲學問題:「完全可以想像,沒有認識論的科學是原始和粗糙的。」

愛因斯坦與哥德爾之間的友誼至今仍然是富有傳奇色彩又充斥各種猜測的話題。兩人毎天跋涉往返於研究院,其他人則好奇地望著他們,驚訝於他們相互之間有那麼多話可說。比如施特勞斯就寫道:

說到普林斯頓時期的愛因斯坦就不可能不提到他與哥德爾之間那真摯而親密的友情。他們是截然不同的人，然而不知何故,他們相互理解對方,而且相互十分欣賞。愛因斯坦常常提到他覺得他不能當數學家,因為有趣而迷人的問題是如此之多,你可能會迷失其中,找不到任何真正重要的東西。而在物理中,他能看到什麼是真正重要的問題,能夠憑藉頑強的性格和毅力去窮追不捨。但是有一回他告訴我:「自從我遇到了哥德爾,我才知道在數學中也是一樣。」當然,哥德爾有一個用來觀察世界的有趣公理;即所謂的,沒有什麼是由於偶然或愚蠢所導致的。如果你認真看待這個公理,那哥德爾信仰的所有奇怪理論就會變得絕對必要。我試著挑戰過他幾次,從沒有贏過。我的意思是,它們都遵循哥德爾的定理。愛因斯坦沒有把這真當回事,事實上他認為這相當可笑。除了1953年最後一次我們見他,他說:「你知道,哥德爾真是完全瘋了。」然後我問:「哦?他還能做什麼更糟糕的事情?」愛因斯坦說:「他居然投了艾森豪威爾一票。」

施特勞斯的話引出了一個值得注意的問題,即這兩人相互如何看待對方;尤其是,睿智的物理學家如何看待神經質的邏輯學家。施特勞斯寫道,愛因斯坦「合群,快樂,充滿歡笑而且具有常識」。而哥德爾「極為嚴肅,非常莊重,相當孤僻而且不相信常識可以到達真理」。

愛因斯坦給人的印象是頭髮凌亂、心不在焉、對世界政治大同抱有唐吉訶德式的想法,還有其他種種註定要失敗的努力,一般不會被描繪為精明、善於處世之類的;不過,同哥德爾比起來,他就是這樣。普林斯頓大部分人,包括哥德爾的數學同事,發現同哥德爾交流完全不可能,他用他那「有趣的公理」,讓每次討論和實際決策都急劇複雜化。數學家波萊爾在他的研究院數學院紀事里寫道,他和其他人有時候「發現亞里土多德邏輯的繼任者…·…相當令人喪氣」。[最後,這些數學家解決了他們的哥德爾問題,不讓他參加他們的會議,讓他一個人一個部門:任何事情都必須在邏輯上嚴密的唯一決策人。

雖然普林斯頓的人都已見怪不怪,學會了對漠然(或看上去漠然)凝視虛空的那個人目不斜視,哥德爾卻杵得幾乎每個人都像陌生人一樣,為談話交流設置了可怕障礙。哥德爾沉默寡言,當他真說話的時候,說出來的更有可能是某種聽起來不友善的東西。

約翰·巴克爾當時是位很有前途的年輕天體物理學家,在一次小型的研究院晚餐上,他被引薦給哥德爾。他稱自己是物理學家,哥德爾唐突的回應是「我不相信自然科學「。

」哲學家托馬斯·奈格爾也回憶有一次在研究院的小型聚餐會上坐在哥德爾旁邊,並與他討論心物問題,這是兩個人都試圖破解過的哲學堅果。奈格爾向哥德爾指出他的極端二元論觀點(指靈魂與身體是完全分離的存在物)似乎很難與進化論保持一致。哥德爾表示自己不相信進化論,並說:「你要知道斯大林也不相信進化論,而他是個非常聰明的人。」好像這是他排斥達爾文學說的額外依據。

他這樣說後,」奈格爾笑著告訴我,「我乾脆認輸了。」

同樣,語言學家喬姆斯基也說過談話被邏輯學家突然中斷的故事。喬姆斯基問他現在在研究什麼,結果得到一個可能從17世紀萊布尼茨說過之後就再沒人說過的答案:「我正試圖證明自然規律是演繹的。」

三個傑出的頭腦,在純粹思想的世界裡就像這個星球上的人在家裡一樣自在,就這樣他們(還有更多人)在與哥德爾交流思想時還是碰到了難以逾越的障礙。

同樣,在每天往返於研究院的路上,愛因斯坦也一次又一次面對著哥德爾的奇怪直覺,他徹底的「反經驗主義」。不過愛因斯坦卻始終如一地尋求獲得這位邏輯學家的友誼。事實上,經濟學家摩根施特恩在一封信里透露(他還在維也納就認識哥德爾):「愛因斯坦經常跟我說,他晚年時堅持找哥德爾做伴,是為了能和他討論。有一次他對我說,他自己的研究已不再有多大意思了,他到研究院來僅僅是lum das Privileg zu haben,mit Godel zu Fuss nach Hause gehen zu dur fen」，即:為了能有和哥德爾一起走路回家的特權。雖然知道他們在各自領域元層次上有共同的興趣,愛因斯坦虔誠的說明仍然讓人覺得太過奢侈。

一旦更多地了解了哥德爾的思維,他對進化論的敵意就變得完全可以理解了。像哥德爾這樣的理性主義者希望消除偶然性和隨機性,而自然選擇卻將隨機性和偶然性作為基本的解釋要素。在微進化層面上(代際變化):這個理論將隨機突變和重組作為核心因素。在宏進化層面上(生命史中的模式),將歷史偶然性作為核心因素,比如地質狀況與氣候的反覆無常,或偶然性事件,像隕石撞擊導致陽光被遮蔽,使恐龍滅絕,從而使老鼠之類的哺乳動物得以佔據騰出來的生態位。(感謝史蒂芬·平克告訴我這個洞察

摩根斯特恩也是從納粹佔領的奧地利逃到研究院的。雖然他是經濟學家,他的研究卻十分數學一同馮·諾依曼一樣,他也是博弈論的創始人之一---這讓他得以進入弗萊克斯納的研究院」。

在哥德爾與母親瑪麗安的通信中(她留在歐洲),多次提到了愛因斯坦(這些信件告訴了我們很多關於他的東西,直到她1966年去世)。如果對於愛因斯坦來說,他晚年時去研究院僅僅是為了能與哥德爾一起走路回家的特權,對於哥德爾來說,則是全世界都完全沒有其他人可以交談,起碼不能以他與愛因斯坦交談的那種方式(如果想到哥德爾還有妻子,這種排他性就更讓人印象深刻)。以至於,舉個例子,1947年7月4日,他給母親的信中提到醫生要求愛因斯坦靜養。「因此我現在相當寂寞,幾乎同任何人都沒有私人交談。」

哥德爾獲第一屆愛因斯坦獎

對見證過他們深厚友誼的人來說,這是一個小謎團，一直都是。「我習慣於看到他們每天從福爾德樓走向奧爾登農場,」生於瑞土的波萊爾在他研究院的辦公室里對我說,他來研究院比哥德爾稍晚一點。「我不知道他們談些什麼。很有可能是物理,因為你知道,哥德爾也對物理感興趣。他們不想同其他任何人談。他們只想互相說話。」說完他聳聳肩。

要理解愛因斯坦與哥德爾的友誼,重要的是,在試圖領會施特勞斯讓人茫然的「不知何故他們相互理解對方」時不能簡單停留在平常解釋上,認為這兩人是對方在智識上獨無二的知己,或用邏輯學家王浩的話,他們組成了「本世紀最重要的「自然哲學家』的二元『自然種,」。除了如此排他性的成員資格,對將兩人結合在一起的一切還有很多可說的。

哥德爾發現了愛因斯坦廣義相對論場方程的一個非常新穎的解,並在愛因斯坦70歲生日時給了他一個意外,在哥德爾的解中,時間是循環的。見第四章

王浩(1921~1995),洛克菲勒大學的邏輯學家,一生致力於理解哥德爾的觀點,包括從數學直覺的本質到靈魂輪迴,根據相關資料撰寫了三本書。

當然,有很多表面上的相似。比如說,他們都在中歐做出了最重要的成果,在德語區,他們也都被迫逃離那裡。但起碼在這方面,在普林斯頓的那段時期,愛因斯坦和哥德爾並不是唯一這樣的。一個接一個的學者不得不從維也納、哥廷根、布達佩斯逃往像帕薩迪納和普林斯頓這樣的地方。他們都是政治流亡,說同樣的母語,並且發現自己漫步於新澤西美麗的鄉村景色之中,這些事實顯然不能解釋他們之間的特殊關係,這種關係甚至讓同他們一道流亡的人也覺得不可思議。

兩人之間還有一些驚人的相似。比如說,兩人在很年輕的時候就都做出了他們最重要的成果。1905年愛因斯坦26歲,那一年是他的奇蹟年,當時他還是瑞士伯爾尼一個名不見經傳的專利員,他發表了(狹義)相對論、光量子和布朗運動的文章,同時也完成了他的博士論文。哥德爾出成果(同樣也是三個,不過第一不完備性定理的光芒遮住了另外兩個)的年齡還要早上三年。

比這些相同的經歷更為重要的事實是,在甚至更年輕的時候,兩人都曾想要進入對方後來選擇的領域。哥德爾進入維也納大學是打算學習物理。愛因斯坦一開始想成為數學家。兩人看到對方時有種感覺,覺得如果自己真地那樣選擇了，就有可能成為對方現在的樣子,這肯定會產生一種特別的吸引力。

將兩人聯繫到一起的因素還遠不止這些。我認為這兩個「截然不同的人」之間的深刻理解和欣賞存在於他們革命性思想的最深層面上。他們是同志,在最深意義上的那種思想家的同志關係。兩人都致力於理解實在,理解他們自己的工作與那個實在的關係,這種關係將他們置於與全世界的思想家群體的痛苦爭執之中。

他在1929~1930年間的另外兩個成就是第二不完備性定理以及謂詞演算的完備性.

人們可能會認為,他們都做出了如此革命性的成果,以至於他們各自的領域不得不被重新改造,並將這些成果置於中心,愛因斯坦和哥德爾最不可能有的感覺就是被排斥。被疏遠、不滿、被解僱、孤立,這種感覺只會是沒有影響力或失敗的人才會有。但是他們感到了被孤立,而且是以極為相似的方式,在他們領域的元層次上,可以解釋為整體上意味著什麼的那個層次。

在試圖洞悉這讓旁觀者迷惑的友誼的內核時,我有一種感覺,愛因斯坦和哥德爾是在一場更大的流放中一同被流放,這種感覺遠遠超出了導致他們來到普林斯頓尋求庇護的地緣政治因素。我相信他們是一同被流放者,在最深意義上的思想流放。這似乎很奇怪,因為人們在盛讚他們的貢獻,他們卻成了智識上的被流放者。

他們共同的那種被孤立的感覺,為他們著名的友情提供了凝聚力,要完全理解這一點,就必須考慮到使他們與同行疏遠的元信念。就更大的哲學問題角度而言,我們應當如何解讀愛因斯坦的相對論和哥德爾的不完備性定理?這些人類思想中最傑出成果的創造者又如何解讀它們?其他人呢?

哥德爾的不完備性定理,愛因斯坦的相對論,海森伯的不確定原理,這些獨特的名字暗示的意味強烈,彷彿要將軟的人的因素注入到硬科學中,甚至彷彿在暗示人的因素壓過了那些嚴格精確的系統,數學和理論物理,用我們絕對的含糊性和主觀性將它們玷污。「思想決定一切」,「人是萬物的尺度」,這種信奉主觀性超過客觀性的推理模式,在20世紀知識與文化生活中,是決定性甚至支配性的思想風氣。哥德爾愛因斯坦的工作,再加上海森伯的不確定原理,所有人都承認它們是革命性的,又被冠以這樣暗示性的名字,因此常常被列在一起,作為現代思想賦予我們反對「客觀性神話」最強有力武器之一。對三者的這種解讀本身就是現代性神話的一部分,或者更精確點,後現代神話。

因此,比如說,在1998年備受好評的話劇《哥本哈根》中,劇作家弗雷恩不僅準確地表現了玻爾和海森伯反對物理學是對客觀物理實在的描述,同時也錯誤地將愛因斯坦的相對論視為現代物理學在這個終極反對的方向上走出的第一步：

玻爾:它(量子力學)行得通,是的。但它的重要性還遠不止這些。因為,你明白我們在那三年里做了什麼嗎,海森伯?一點也不誇張,我們把世界翻了個個兒。是的,聽著,現在想起來……我們把人放回了宇宙的中心。在整個歷史中,我們不斷發現自已的位置被挪動。我們不斷把自己驅逐到事物的外圍。一開始,我們讓自己只不過是上帝不可知目的的附屬品,是跪在宏偉創世教堂中的小人物。然後,我們剛剛在文藝復興中恢復了自己,人剛剛像普羅太哥拉宣稱的那樣,成為萬物的尺度,我們就又被我們推理的產物推到了一邊!當物理學家們建起了供我們景仰的偉大新教堂時,我們就又變成了侏儒;這個大教堂就是經典力學的定律,從永恆的開始它們就先於我們而存在,還要超過我們存在到永恆的結束。不管我們存在與否,它們都存在。一直到了20世紀初期,我們又突然被迫從跪著的地方站起來了。

海森伯:那是從愛因斯坦開始。

玻爾:是從愛因斯坦開始的。他證明了,測量---科學的整個可能性所依賴的測量---並不是具有不偏不倚的普適性的客觀事件。它是一種人的行為,是從時間和空間中一個特定的觀察點,從潛在的觀察者的某個特定視角來進行的。然後,在哥本哈根,20年代中期的那年裡,我們發現,並沒有可以被精確確定的客觀宇宙。發現宇宙只能作為一系列近似而存在,只能處於由我們和它的關係所決定的限制之中,只能通過存在於人類頭腦中的理解而存在。

同愛因斯坦的相對論一樣,在20世紀反對客觀性和理性學術革命中,哥德爾不完備性定理也被視為佔據了重要地位。比如說,威廉·巴雷特寫的很受歡迎的哲學書,1962年出版的《非理性的人:存在主義哲學研究》,出版時哥德爾還在世(我在進入大學之前的暑期指定讀物)。在書中哥德爾被放在海德格爾(1889~1976)和尼采(1844~1900)這樣的思想家一起,作為對我們關於理性和客觀性的幻想的摧毀者:

哥德爾的發現似乎(比海森伯的不確定原理和玻爾的補充)具有更加深遠的影響。在西方傳統中,從畢達哥拉斯派和柏拉圖起,數學作為理性所能把握的東西的楷模,本身一直是理性主義的中心堡壘。現在,哥德爾的發現卻表明,即使在最精確的科學中,在理性似乎萬能的這一領域,人也不能逃脫其本質的有限性:他構建的每個數學體系都註定是不完備的。哥德爾表明數學包含著不可解決的問題,因此決不可能成為一個完備的體系……數學家現在知道,他們是永遠不可能到底的。事實上,也沒有一個所謂的底,因為數學並沒有任何獨立於數學家所從事的人的活動的自身存在的實在性。

巴雷特正確地說明了(第一)不完備性定理,即數學永遠也不可能被形式化為任何完備的系統。他從中得出的哲學結論與20世紀最流行的智識傾向也完全一致。因此如果讀者知道哥德爾自己沒有這種看法的話,可能會覺得吃驚。事實上,如果將「自身存在的實在性」前面的「沒有」用「有」替換,我們就將得出哥德爾自己數學觀點的準確陳述,這個觀點激發了他所有的數學成果,包括他著名的不完備性定理。

雖然知識權威也許會把哥德爾解讀為一場偉大革命的第一步,這場反對客觀性和理性的革命是20世紀許多思想的標誌,然而哥德爾自己對他的革命性成果卻沒有這樣解讀。對愛因斯坦來說也是一樣。事實上,兩人都是客觀性的堅定信徒,而且將他們自己最著名的成果解讀為對這種日漸沒落的立場的正面支持。很多學術同仁可能已經完成了向主觀主義者的轉變,將相對論和不完備性定理這些偉大成就作為指引他們朝那個方向前進的路標,愛因斯坦和哥德爾卻沒有。

愛因斯坦和哥德爾都從根本上反對古代詭辯家的「人是萬物的尺度」,一點也不認為這也許可能是對的。對兩人來說,他們各自領域的方法---推理的複雜混合物,包含直覺知識以及推理(就物理來說,不僅僅是演繹,還有觀測）---並不是由隨意而為的規則集組成,這些規則集支配著精心構造的思維遊戲或語言遊戲,用其他規則集替代就會導致對實在不同的構造,但一樣也能運作。不,對兩位思想家來說,存在著引導我們超越個人經驗限制的規則,讓我們得以獲知不這樣做否則就不可能知道的實在的面貌。

愛因斯坦與他的科學同輩深深的孤立,同他膾炙人口的一生的許多其他方面一樣廣為人知(雖然可能很少被理解)。這通常被解釋為他乖戾地拒絕承認量子力學的革命性進展所導致的,特別是其基本的隨機本性,從中除不去純粹的偶然因素。流傳的關於他的故事是這樣,年輕時用他的狹義和廣義相對論實現了觀念的革命,然後停滯了下來,像很多老人一樣,思想變得保守,不能再包容下一代革命,即使這後來的革命就是他自己成果的邏輯延伸。這樣講述的愛因斯坦的故事也是20世紀智識神話的一部分。

然而這並不準確。愛因斯坦在科學上的孤立的核心是他對主觀主義者的曲解,像劇作家讓他筆下的人物宣稱的「一切都是從愛因斯坦開始的」。愛因斯坦並不認為相對論指向了主觀主義者對物理學的解讀,相反,其指向的是完全相的方向。「相對性」,在愛因斯坦的理論中,並不是指測量(以及一切事物)是相對於人的觀察位置,其指的是遠比這個更為技術性和嚴格的東西。事實上,對於愛因斯坦來說,跟隨海森伯和玻爾這些人的主觀性方向,就是對他理解的相對論最基本的元結論的否定。愛因斯坦將他的理論詮釋為表現了時空的客觀性本質,因此完全不同於我們人類對於時空的主觀性視角。愛因斯坦用優美的數學語言表示的理論,遠不是要把我們複位到宇宙中心,用相對於我們經驗的視角描述一切事物。其讓我們窺見的是真正驚人的物理實在,驚人恰恰是因為這種物理實在完全不像我們對它的經驗了解呈現給我們的那樣。

根據狹義相對論,對長度這類屬性的測量是相對於一個特定的坐標系或參照系。但是將專業術語---坐標系、參照系---當作人的觀察位置則完全是胡扯,我們可以選擇不同的坐標系來描述物體的運動,根據相對論,所有坐標系都是等價的,誰也沒有特權。在一個坐標系中,「觀察者」(甚至不必是有意識的實體,因此也不用真地觀測或者是能觀測任何東西)可以是靜止的;在另一個中他或她又可能在運動。雖然不是必需的,通常會選擇相對於特定的觀察者靜止不動的坐標系。因此通常也(雖然不是必需的)會選擇(舉個例子)讓地球在其中靜止不動的坐標系。這樣我們所有地球生物的運動,以及我們的觀測位置就能相對於單一坐標系來描述,而地球在其中靜止不動。

在狹義相對論中,舉個例子,時間並不流動,而是作為第四維,與空間一樣是靜止的。與之形成鮮明對比的是,我們的時間經驗中最明顯(並讓人痛苦)的一面是它永不停息的單向運動,把我們帶離過去,帶向未來。

愛因斯坦有時候稱客觀實在為「視野之外」,由希爾普編輯的在慶祝物理學家70歲生日紀念文集中,他用他典型的自嘲式幽默寫了《自述》,在其中他清楚地將他對實在的這種信仰視為他作為科學家的一生的精神核心：

我很清楚,少年時的宗教天堂就這樣失去了,這是使我自己從「僅僅作為個人」的桎梏中,從那種被願景希望和原始情感所支配的生活中解放出來的第一次嘗試。視野之外有一個廣闊的世界,它獨立於我們人類而存在,如同一個偉大而永恆的謎擺在我們面前,然而至少能被我們的觀測和思維部分理解。對這個世界的沉思有如自由在召喚……在被允許的可能框架下對這個超越個人的世界的心靈領悟,作為最高的目標時隱時現地浮現在我心裡……通往這個天堂的道路並不像通往宗教天堂之路那般舒坦而誘人;但是它已經證明自已值得信賴,我也從沒有後悔過選擇了它。

「我已經67歲了,坐在這裡,為了寫點有些像自己悼詞的東西,我這樣做不僅是因為希爾普博士勸我這樣做,而且我自己確實也相信,告訴正同我們一起奮鬥的那些人,一個人是如何奮鬥和追求的,其如何回顧自己的過去,這是件好事情。」

這是愛因斯坦作為一個科學家的信條的動人陳述,它也的確不能與他圈子裡幾乎其他所有傑出物理學家更不一致了。愛因斯坦將物理學的事業理解為去發現讓我們得以窺見處於我們經驗「視野之外」的客觀物質世界的理論。海森伯、丹麥的玻爾和德國的玻恩(也是量子力學哥本哈根詮釋的主要擁護者),都以一場被稱為「實證主義」的學術運動之名反對這樣的觀點。根據實證主義,任何想超越我們經驗的企圖都會淪為徹頭徹尾的胡說。

在下一章,離開普林斯頓,去往奧地利維也納,我們還會有機會更深入地了解實證主義,並分析產生出了可以說是反對實證主義的最重要學術反叛行為——哥德爾的兩個不完備性定理——的環境。

實證主義,主要是由著名的維也納小組的一群科學家、數學家和哲學家發起,受到了維也納出生的偉大哲學家維特根斯坦的強烈影響,它是關於意義的嚴肅理論,寬泛地使用了無意義一詞。具體說就是,它把任何在原則上不能用我們的經驗內容驗證的描述性命題都打上無意義的標籤。命題的意義是通過用經驗驗證來給定的(證實主義者的有意義標準)。

哥德爾同愛因斯坦一樣,致力於超越我們的經驗,越過實證主義者,去描述「視野之外」的世界。只不過因為哥德爾的領域是數學,所以他所感興趣的「視野之外」是抽象實在的領域。他所信奉的數學實在的客觀存在就是所謂的概念或數學實在論觀點。這同時也被稱為數學柏拉圖主義,以紀念這位古希臘哲學家,他的形而上學強烈反對詭辯家普羅太哥拉的「人是萬物的尺度」。

舉個例子,與海森伯的陳述對比一下:「認為存在一個客觀實在的世界,其最小部分的存在就像石頭或樹的存在一樣客觀,與我們是否觀察到它們無關這種思想是不能成立的。」

描述性命題(描述性陳述)意指這樣的命題,其真(或假)並不僅僅依賴於其意義。真值(真或假)由其意義就能決定的命題被稱為「重言式命題」，有時也稱為「平凡命題」。因此,比如說,「所有的雙語者至少說兩種語言」就是重言式命題,另一方面來說,一個描述性命題是否為真或為假不僅僅是由其意義決定,還要根據命題內容的事實來決定,因此命題「我說兩種語言」為假就是根據其意義以及內容的事實。

柏拉圖主義觀點認為數學真理不依賴於任何人的活動,比如說形式系統的構造——包括它們的公理、定義、演繹規則和證明。根據柏拉圖主義,數學真理是由數學實在,由實在的本性,通過抽象,構成實在的實體(數、集合等等)所確定的。比如說,對於數學實在論者,自然數(有序而古老的計數數:1、2、3,等等)的結構就不依賴於我們,就像時空結構對於物理實在論者一樣;而數字4和25的屬性---比如說,一個是偶數,另一個是奇數,兩個都是完全平方數——就像光和萬有引力的物理屬性對於物理實在論者一樣客觀。

對哥德爾來說,數學是揭示客觀數學的實在特性的手段,就像對愛因斯坦來說物理學是揭示客觀物理的實在面貌的手段一樣。對於當我們在做數學時我們是在做什麼,哥德爾的理解可以模仿愛因斯坦的話來表達:「視野之外有一個廣闊的世界,它獨立於我們人類而存在,如同一個偉大而永恆的謎擺在我們面前,然而至少能被我們的觀測和思維部分理解。」只是在這裡,「視野之外」要被理解為不僅僅是去除經驗主體,以及他作為人的視角,「視野之外」還超越了物理時空。它是純粹抽象的實在,是普遍和必然真理的實在,我們的演繹推理官能(神秘地)給我們提供了通往這終極的「視野之外」的途徑,得以至少部分窺見所謂的「極限實在」(用現在流行的電視節目命名方式:「極限生存」、「極限變身」、「終極極限」)。

哥德爾的數學柏拉圖主義就其本身來說並非不同尋常。許多數學家都是數學實在論者,而且即使是那些自己不這樣認為的人,一且直接逼問他們的數學立場,就會稱他們的成果為「發現」,不自覺地滑入實在論。傑出的英國數學家哈代(1877~1947)在他的經典著作《一個數學家的辯白》中表示自己是柏拉圖主義的信徒,一點也不像是要辯白。

我相信數學實在存在於我們之外,我們的任務是去發現或觀察它。並且,我們所證明的定理,我們誇耀稱之為「創造物」的,只不過是我們的觀察記錄而已。自柏拉圖以來很多享有盛譽的哲學家都持有此觀點,雖然形式各異。我採用的語言對持有這種看法的人來說是很自然的……

這種數學的實在論觀點比物理實在似乎更合理一些，因為數學的客體更接近他們所看到的。一把椅子或一顆星星一點都不像它們看起來的那樣,我們對之想得越多,感覺的迷霧就越會使它的輪廓模糊不清。但是「2」和「317」與感覺無關,我們觀察得越仔細,它們的性質就越清晰。也許現代物理學最適合於唯心主義哲學框架---我不相信這一點,但有些著名的物理學家是這麼說的。純數學在我看來倒是唯心主義的絆腳石:317是個素數,並不因為我們是這樣認為,或是我們的思想是以某種特定的方式形成,而是因為它原本如此,因為數學實在就是這樣建立的

有趣的是,即使對於希爾伯特,這也是真的,而他的形式主義與柏拉圖主義是尖銳對立的(見第二章)

哈代的經典著作的寫作背景感人而且不尋常。哈代已經失去了他的數學創造力,這往往發生在數學家還較為年輕的時候。[一個40歲的數學家可能已經度過了他最好的歲月,這也就是為什麼數學界聲望最高的菲爾茲獎,只授予40歲或以下的人(沒有諾貝爾數學獎)。]哈代試圖自殺,但是倖存了下來,並聽從斯諾的建議寫了一本書,表白一個數學家的一生。其結果就是無與倫比的《一個數學家的辯白》。

柏拉圖之後的三千年給了我們大量新奇而驚人的數學,但是並沒有比這位古希臘哲學家自已所有的更多的理由來相信柏拉圖主義。一個又一個數學家,比如哈代,驗證了他們的柏拉圖主義信念,他們是發現而不是創造出數學成果。但是,驗證也就是我們所能得到的全部……直到哥德爾。哥德爾心懷遠大抱負,他要讓他得到的數學結論同時也是能支持數學實在論的元數學結果,這才是他得出不完備性定理的意圖。

哥德爾的數學觀念,他對客觀、獨立存在的數學實在的肯定,構成了也許他一生的精髓。有一點毫無疑問是真的：他的確很奇特。不是他的哲學見解表達他的數學,而是他的數學表達了他的哲學見解及柏拉圖主義。柏拉圖主義是這個人最深層的表達。因此他的成果,與愛因斯坦的一樣,不僅被解讀為與反對客觀性的革命相一致,還被認為是最具說服力的武器之一,這就不是一點點諷刺了。

愛因斯坦在晚年是幸運的,他遇到了哲學興趣相同的人,被流放的感覺得以緩解,雖然這人是反覆無常而且古怪的哥德爾。摩根施特恩引用的愛因斯坦的話——他晚年時到他在研究院的辦公室來僅僅是為了能有和哥德爾一起散步回家的待權——在元光束的映照下,就不那麼令人吃驚了。

1955年愛因斯坦去世後,哥德爾在學術上被流放的感覺更深了;現在最能讓他有深深認同感的是理性主義前輩萊布尼茨,而他已經死了差不多有三百年了。這位邏輯學家在對他「有趣的公理」的嚴格應用中得出的解釋披上了永遠神秘的面紗。穿著整潔白西服的年輕人更加消瘦,身子裹在厚重的外套里,即使在新澤西潮熱的夏天也圍著圍巾,覺得周圍充滿陰謀。他開始相信,有一個巨大的陰謀,顯然已經實施了幾個世紀,想要壓制真理「並讓人變得愚蠢」。他相信,那些發現了演繹推理巨大威力的人,像17世紀的萊布尼茨和20世紀的哥德爾,都是被監控的對象。他與同輩人的完全孤立,甚至疏離,為從理性變得瘋狂,變成偏執狂,提供了肥沃的土壤。

自亞里士多德以來最偉大的邏輯學家會堅信如此不合邏輯的結論,這讓很多人覺得自相矛盾。但是,就像我希望在下一章闡釋得更清楚的那樣,哥德爾個性的內在自相矛盾至少部分是由外界對他的著名成果自相矛盾的反應引起的。他的不完備性定理廣受讚譽同時又被忽視。它們的技術性內容改變了邏輯和數學領域;他在證明過程中使用的方法、定義的概念,導致了全新的研究領域,如遞歸論和模型論。而其他一些曾處於中心的研究領域則被放棄,特別是那些曾被希爾伯特(1862~1943)這位早哥德爾一代的最偉大的數學家肯定過的領域,已經因哥德爾定理而表明是徒勞。

然而定理在元數學上的重要性卻被忽視了,而這對於哥德爾才是最重要的方面。更為荒謬的是,越來越活躍的文化潮流、掠奪性的後現代不確定性以及肆無忌憚的虛假神話,將他的定理與愛因斯坦的相對論一併鏟起,重新解讀,以至完全否定哥德爾以及和他一同被流放的難友曾如此熱切想要證明的信念。

悖論,從原理上講,是當思維被邏輯本身驅使,不得不做出自相矛盾的結論時的推理災難。其中許多都是自指性的;困難來自一些語言學成分---一個描述、一個句子---潛在地指向自身。一個最古老的悖論就是有名的「說謊者悖論」，它可以被追溯到古希臘時期。它產生自一個自指性句子:「當前這句話是假的。」與所有句子一樣,這句話必定要麼是真要麼是假。但如果它是真的,那它就是假的,因為那就是它所說的;如果它是假的,那好,它又是真的,因為同樣,它就是這麼說的。因此,它就必須同時為真和為假,而那就是一個嚴重的問題。思維崩潰了。

與說謊者類似的悖論在哥德爾為他那非凡的第一不完備性定理所構思的證明中扮演了一個技術性角色。哥德爾能夠自指的悖論性結構——考慮「當前這句話是假的」時導致們思維崩潰的這類結構---並將其變為對數學史上最驚人結果之一的非凡證明。這本身看上去就幾乎是個悖論。悖論常常好像是特意設計出來,好讓我們相信,我們並沒有聰明到可以處理把我們引向它們的那些主題。哥德爾將讓智力受挫的悖論材料糅合進證明,給我們帶來對真理、知識和確定性本性的深刻洞察。根據哥德爾自己對他的證明的柏拉圖主義理解,這個證明表明,我們的心智在理解數學時,是在掙脫人為系統的局限,抓住獨立的抽象實在的真理。

哥德爾的證明的結構,其對古老悖論的使用,在某種層面上嘲諷了,如果只是暗喻性的話,20世紀對自己講述的關於它的一些最偉大的學術成就(當然,也包括哥德爾的不完備性定理)故事的自相矛盾。也許有一天某位思想史學家會解釋上個世紀如此多最具影響的思想家,不僅包括哲學家,也包括最重要的科學家,如海森伯和玻爾,向主觀主義者的轉變。這個解釋完全超出了本書的範圍。不過我能做的是描述反對客觀主義的這場革命對20世紀一位最偉大科學家產生的影響:它是怎樣激起了他對不完備性定理的證明,後來它又如何重新解讀這個定理來確證自己。

為了充分理解哥德爾的豐富意味和悖論,包括他的世界和他的成就,在粗略看過他和愛因斯坦在普林斯頓林蔭路上的漫步之後,我們得回退兩步。我們首先退回到20世紀20年代,他在維也納的青年時期,世紀初期在知識和文化上對傳統大肆攻擊的場景;然後再退一步到世紀之交,當時從一個數學觀念誕生了終結數學的計劃,這個計劃最終將覆滅,成為一位具有遠大的元數學抱負、沉默寡言的青年邏輯學家的犧牲品。

這裡有一段文字提到了這個悖論的起源:「他們中的一個,甚至還是他們自己的一個先知,說,『克利特島人總是說謊。,……這個見證是真的。」(聖經提多書1:12~13)

數學結論能讓我們驚訝,這也許本身看上去就有點自相矛盾。世界相當能、也經常挫敗我們的期望,我們與它的經驗接觸讓我們直接意識到這些。但是通過純粹演繹推理得出的結論怎麼可能做到這一點呢?如果——根據定義---演繹的真理不受經驗修正的影響,那就沒有任何來自世界的意外經驗會帶來衝擊。我們自己必須推理出挫敗來,而這乍看上去很古怪。哥德爾冗長的第一定理同樣也致力於這個元數學問題。對哥德爾來說,我們的公理只能不完備地描述獨立的數學實在,將驚訝從數學的驚訝中去除了。

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