吳國平：拓撲學到底有多重要？在數學中佔據多高的地位？

如果吳老師給大家一個三角形，你會想到什麼？邊長、角度、周長、面積、三角形的穩定性等等，這些都是大家很容易想到的地方。

如下圖：

現在我們把這個三角形的三邊換成橡皮圈，就構成一個用橡皮圈材料組成的三角形。此時，我們對這個橡皮圈進行拉升、扭轉等活動，使它形成新的圖形，如四邊形、圓等等。

如下圖：

提醒大家：拉升、扭轉等等活動一定要在橡皮圈的彈性範圍內，這樣就防止橡皮圈不被弄斷或撕裂，保證橡皮圈的永遠是一個「圈」。

我們在拉升或扭轉橡皮圈過程中，哪些量可能發生變化呢？如三角形變成四邊形，角度、長度、面積、形狀等等都很可能發生變化。此時，我們要求大家「摒棄」這些常規度量的性質（如長度、面積、形狀等等這些），只考慮物體間的位置關係，而不考慮它們的形狀和大小，這時候大家又發現什麼？

有些人可能有點迷茫，如果一個幾何圖形不去研究周長、面積等等這些性質，那剩下還能研究什麼？就像這個橡皮圈，不去管拉升、扭轉之後可度量的周長、面積等等變化，只專註於橡皮圈本身從三角形到四邊形，在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質，這就是拓撲學。

同一個橡皮圈從三角形到四邊形，長度、面積、形狀等等改變了，但在拓撲學上不會去管這些變化，拓撲學只研究和關注這個橡皮圈的「圈」上面。

在以前一篇文章當中，本人講到「七橋問題」如何被解決，以及「七橋問題」對後續數學發展起到哪些影響等等。

18世紀初普魯士的哥尼斯堡，有一條河穿過，河上有兩個小島，有七座橋把兩個島與河岸聯繫起來。有個人提出一個問題，一個人怎樣才能不重複、不遺漏地一次走完七座橋，最後回到出發點。這個看起來很簡單又很有趣的問題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。看來要得到一個明確、理想的答案還不那麼容易。

歐拉於1736年研究並解決了此問題，把它轉化成一個幾何問題，他把問題歸結為的「一筆畫」問題，證明上述走法是不可能的。

歐拉解決這個問題最聰明地方就是把問題簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。歐拉在解決「七橋問題」的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和線的個數，這些就是拓撲學思考問題的出發點。

因此，「七橋問題」就簡化成，能不能用一筆就把這個圖形畫出來，這是拓撲學的「先聲」。

歐拉在解決「七橋問題」過程中，就是拓撲學最原始的「形態」，只不過在當時這些問題被當做一些孤立的問題來處理，隨著拓撲學不斷發展，這些問題在拓撲學的形成中占著重要的地位。

類似像「七橋問題」這樣拓撲學「先聲」的事件，還有「四色問題」、「歐拉定理」等等。「四色問題」等拓撲學經典問題都向我們展現了拓撲學的廣泛應用以及它獨特的思考方式。

從以上簡單的敘述中，大家應該能「粗略」的了解到什麼是拓撲學，或拓撲學主要是做什麼工作。拓撲學，直接點講就是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的學科。

大家一定要記住一點：拓撲學只考慮物體間的位置關係而不考慮它們的形狀和大小。

拓撲學起初叫形勢分析學，是德國數學家萊布尼茨1679年提出的名詞。他在17世紀提出「位置的幾何學」（geometria situs）和「位相分析」（analysis situs）的說法。

歐拉在1736年解決了七橋問題，給當時數學界引起很多思考；

歐拉在1750年發表了多面體公式；

在1833年，高斯在電動力學中用線積分定義了空間中兩條封閉曲線的環繞數。

在1847年，J.B.利斯廷根據希臘文τ?πο?和λ?γο?（「位置」和「研究」），提出Topology這一數學名詞，即拓撲學。Topology，直譯是地誌學，最早指研究地形、地貌相類似的有關學科。

之後在19世紀中期，即1851年左右，德國數學家黎曼在複變函數的研究中提出了黎曼面的幾何概念，並且強調為了研究函數、研究積分，就必須研究形勢分析學，從此數學界開始了現代拓撲學的系統研究。

拓撲學可以說是一門非常抽象的數學分支學科，同時也是幾何學一個分支，主要研究幾何圖形在連續變形下保持不變的性質，現在已成為研究連續性現象的重要的數學分支。但拓撲學與通常的幾何學區別非常大，如我們熟悉的平面幾何或立體幾何研究的對象是點、線、面之間的位置關係以及它們的度量性質，而拓撲學對於研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質和數量關係都沒有關係，它只在乎研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的學科。

因此，在拓撲學裡沒有不能拉升、扭轉、彎曲的元素，每一個圖形的大小、形狀都可以改變，這也就是為什麼說拓撲最重要的性質就是連通性與緊緻性。

看到這裡，大家是不是覺得拓撲學很「任性」？

拓撲學經過幾代數學人不斷努力的發展，它不僅僅是一門研究幾何圖形在連續變形下保持不變的性質的學科，更是一門在現代數學、自然科學以及社會科學等眾多領域中應用極為廣泛的數學學科。

拓撲學源於對周圍世界的直觀觀察，把生活數學化、大自然數學化、社會數學化等等，因此，我們學習拓撲學，就相當於以一種獨特的視角去將世界數學化。

就像前面講的對於一個橡皮圈，我們在它的彈性範圍之內，任意進行拉長、扭轉等等「不人道」行為，但不能弄斷或撕裂，要保證橡皮圈永遠是一個橡皮圈。那麼我們在拉升、扭轉等過程中，橡皮圈的長度、形狀等發生改變，但在拓撲學裡，我們是不會去理會這些度量性質上的變化，拓撲學只專註於橡皮圈的「圈」上。

如我們把一個橡皮製的三角形，進行任意的拉升、扭轉，得到另一形狀的四邊形，我們稱這兩個圖形，三角形和四邊形在拓撲上是一種「同胚」或「等價」的結構。廣義的來說，在一個物體到另一個物體的對應關係，如果它是不間斷，又不重複，則在拓撲上稱這個關係在兩物體間建立一個「同胚」變換。兩個物體間如果存在有這種關係，則稱它們為「拓撲同胚」。從這個角度來講，拓撲學可以說是探討同胚的拓撲空間所共有的性質的一門學科。一個幾何圖形的性質，經由一拓撲變換作用後維持不變，該性質稱為圖形的拓撲性質。

拓撲學完全不同於我們所學的其他數學課程，如高等代數、數學分析、複變函數、解析幾何、常微分方程等等。 因此，基於拓撲學這種特殊性，這門課程學起來就會顯得非常抽象，要求學習者具有較高的邏輯推理能力和抽象思維能力。

連續性與離散性這對矛盾在自然現象與社會現象中普遍存在著，數學也可以粗略地分為連續性的與離散性的兩大門類。拓撲學對於連續性數學自然是帶有根本意義的，對於離散性數學也起著巨大的推進作用。例如，拓撲學的基本內容已經成為現代數學工作者的常識。拓撲學的重要性，體現在它與其他數學分支、其他學科的相互作用。拓撲學在泛函分析、實分析、群論、微分幾何、微分方程其他許多數學分支中都有廣泛的應用。

我們非常熟悉的計算機網路、歐拉定理、曲面、向量場、四色問題、結、覆蓋等等，都是拓撲學研究的重要課題。

如計算機網路的拓撲結構是引用拓撲學中研究與大小，形狀無關的點、線關係的方法。我們把網路中的計算機、通信設備、工作站、伺服器等網路單元抽象為一個「點」，把傳輸介質（電纜）等抽象為一條「線」，由點和線組成的幾何圖形就是計算機網路的拓撲結構。

網路的拓撲結構反映出網路中各實體的結構關係，是建設計算機網路的第一步，是實現各種網路協議的基礎，它對網路的性能，系統的可靠性與通信費用都有重大影響。

拓撲在計算機網路中即是指連接各結點的形式與方法。

經過長時間的發展，拓撲學由幾何學與集合論里發展出來的學科，研究空間、維度與變換等概念。從拓撲學所衍生出來的知識已和近世代數、分析共同成為數學理論的三大支柱。

拓撲學的最簡單觀念產生於對周圍世界的直接觀察，直觀的說，關於圖形的幾何性質探討，不「理會」它們的「度量」性質(長度、角度、周長、面積、體積等等)方面的知識，多數的討論都是圍繞在那些與大小、位置、形狀無關的性質上。

拓撲學不僅僅在數學世界發揮重要作用，更在物理學、化學、生物學、語言學等方面起到重要作用。如拓撲學的概念和方法對物理學（如液晶結構缺陷的分類）、化學（如分子的拓撲構形）、生物學(如DNA的環繞、拓撲異構酶)都有直接的應用何影響。

不管是拓撲學在數學當中的重要性有多高，還是它對其他學科所起到的影響力等等，單單是學習拓撲學就可以幫助我們進行高層次的思維鍛煉，提高我們的思維高度等等，就值得我們認真去學習拓撲學這一門學科。

大學期間拓撲學的學習，主要分成兩部分內容來學習：一般拓撲學和代數拓撲學。

一般拓撲學分為了八章，分別是：

集合論與邏輯、拓撲空間與連續函數、連通性與緊緻性、可數性公理與分離公理、Tychonoff定理、度量化定理與仿緊緻性、完備度量空間與函數空間、Baire空間和維數論。

代數拓撲學分為了六章，分別是：

基本群、平面分割定理、Seifert-van Kampen 定理、曲面分類、 復疊空間分類、在群論中的應用。

由於篇幅有限，一篇文章不能對拓撲學進行更加細緻化的講解，不到之處，敬請諒解。後續本人將會對拓撲學相關知識內容進行更多「淺薄」的講解，希望大家喜歡。

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