全真教與金元數學─以李冶為例

一、楔子

元朝朱世傑《四元玉鑒》（1303）誠然是一部偉大的數學經典，但也總結了十三世紀中國數學的輝煌。中國數學史家錢寶琮曾論及元代數學始盛終衰之外爍原因有二：蒙古人一統中原之後，「科舉制之復行與理學之普及是已。」至於元初數學所以遠勝於前，則是學者多致力於此，「雖在干戈擾攘之際，未廢研治之功。且師承有自，學友相從，利祿之途難進，名理之樂可求。金亡後數十年中，數學之進步遠盛前代。李冶、劉秉忠、朱世傑三家學術，其尤為顯著者也。」（引錢，1983b）

不過，由於李冶及其好友元好問與全真教高道交往密切，所以，金元鼎革之際，全真教所提供的學術環境，可能間接地促成了中國北方數學的發展。京都學派領導人藪內清或許是最早指出這個史實的科學史家，它大大地有助於我們了解宗教（如道教）與中國科學、數學的關係，值得我們再深入探討。（參考藪，1967）

本文將略述金元數學家李冶（1192-1279）的數學生涯，及其歷史環境中最重要的「制度性」因素之一──全真道觀。本文論述，也因而假定任何一種數學知識活動，不能從它的社會文化脈絡抽離（mathematics in context）。這是本文的限定，必須首先聲明。

由於全真教是道教的一個支派，因此，本文第二節將對數學與宗教的關係做一個簡單的說明，進而轉述李約瑟（Joseph Needham）與席文（Nathan Sivin）的爭論。接著，在第三節中，我將從制度史的觀點，鋪陳全真教所經營的學術環境。最後，在這樣的脈絡下，我們將試著探索李冶的學術生涯，以及全真教如何為他的數學研究提供正當性。

二、數學與宗教：數學社會史的一個側面

從認識論觀點來看，宗教影響科學或數學，在西方科學史上確有先例可尋。譬如說吧，中世紀學者在基督教的學術世界中，對亞里斯多德兩部經典《論天體》（On the Heaven）與《物理學》（Physics）的熱烈討論，就可以證明很多科學研究的問題意識，在「言必稱上帝」的宗教文化環境中，不僅「合法」，而且合情合理。（參考Lindberg，1992；洪，1996）伽利略的《兩種新科學對話錄》（Two New Sciences，1638），不僅模仿了歐幾里得（Euclid）的《幾何原本》（The Elements）體例，師法阿基米德（Archimedes）的數學物理進路，而且也回應了「化身」為超級數學家的上帝對他的召喚：

哲學（自然）是寫在那本永遠在我們眼前的偉大書本里的──我指的是宇宙──但是，我們如果不先學會書里所用的語言，掌握書里的符號，就不能了解它。這書是用數學語言寫出的，符號是三角形、圓形和別的幾何圖形，沒有它們的幫助，是連一個字也不會認識的；沒有它們，吾人就在一個黑暗的迷宮裡勞而無功地遊盪著。(轉引自Kline，1972，pp. 328-329)

正因為如此，所以，探索大自然背後的數學定律，既是科學哲學的一種（認識論）主張，也是榮耀上帝的另一途徑。

回到中國數學史這一邊，我們應該可以試著釐清類似問題是否具有「歷史正當性」。誠然，中國道教的教義，是否曾經發展出類似的意識形態而影響自然哲學的進路，目前可能不是下結論的時候。更優先的問題或許是：究竟數學知識的形成與其他學問譬如《周易》的研究有沒有關係？ 1 由於《周易》是儒者與高道之士擅長的學問之一，因而激蕩出金元的「天元術」也未可知。（參考藪，1984，頁46-48）無論如何，要是沒有全真教所提供的學術環境，那麼，金元時代中國北方的數學知識活動，可能就不會那麼多彩多姿了。

針對這個科學與道教議題，Volkov選擇以元朝趙友欽（1271-1335?）作為個案來研究，是很有史識的，因為趙友欽精通經學、天文歷算及經緯數術，在科學與數學尤其表現特出，而且是一位如假包換的全真道士。根據他的徒弟陳致虛的追記，趙友欽（號緣督子）師承張模（號紫瓊子），再往上追溯李玦（號太虛子）及宋德方（1183-1247）。而後者就是全真七子馬鈺與丘處機的徒弟。（參考Volkov，1998）於是，在中國歷史文化中，道士、算家與談天者這幾種角色至少曾在趙友欽身上同時適用，所以，道教思想是否在認識論上啟發了十三世紀金元學者的數學與自然哲學研究？道觀對這些學者是否提供了制度化的誘因，讓他們可以「正當地」研究數學或自然哲學？這些問題意識看來頗為合情合理，剩下來的研究工作，當然就是深入探索趙友欽與全真教了。

無論如何，Volkov綜合趙友欽相關的歷史研究成果，已足以在科學社會史的取向上，深化李約瑟的觀點，亦即道教在一個「共享的認知空間」（shared cognitive space）中，成功地創造了有利於傳播中國傳統科學知識的「另類網路」（alternative networks）。基於同一論述，Volkov在另一方面反駁了席文的觀點，這是因為席文認為道教門徒關心宗教甚於自然哲學，所以，他們的教義與修行當然無涉「大自然的理性探索」。對席文而言，按宗教的定義來說，它本來就無關科學。（參考Volkov，1998）

三、全真教與金元學術環境

金世宗大定七至九年（1167-1169），王重陽（1113-1170）以寧海全真堂為基地，創立全真教，訓誨會眾「悟理莫忘三教語，全真修取四時春」，勸人誦讀《般若波羅密多心經》、《道德清靜經》和《孝經》。事實上，它的教義是在《道德經》的基礎上，融會三教「理性命之學」。王重陽強調「儒門釋戶道相通，三教從來一祖風」，可見他始終表明「三教平等」。根據劉精誠的研究，「三教合一是唐宋以來社會思潮發展的總趨勢，北宋以來，蘇轍、張紫陽等都主張三教之說兼容並蓄，全真道的三教合一，正是順應這股社會思潮的產物。」（引劉，1993，頁245）所以，全真教在十二、三世紀華北地區贏得士人的注意，就知識層面來看，是很容易理解的。

不過，全真教的理論繼承了陳摶（？-989）的思想，也是讓它在金元之際，對中國北方學術文化發揮影響力的另一個重要因素。這是因為陳摶的《無極圖》對於後來道教內丹派影響很大。無論是王重陽的北宗道教或南宋白玉蟾的南宗道教，在先修命或先修性容或有所不同，但理論上都從陳摶一脈相承而來。同時，陳摶對易理象數的深入研究，為周敦頤的宇宙起源說──《太極圖》開啟了先河，兩宋其他理學家如程頤、程顥、朱熹也都對他十分仰慕與推崇。（參考劉，1993，頁226-227）因此，在動蕩不安的亂世之中，全真道觀提供給流浪學者除了棲身之所之外，顯然也支撐「共享的認知空間」，讓他們分享了豐富的知識世界。關於這一點，後文還會略作說明。

此外，王重陽將「仙」與「全真」聯繫起來，改革道教對神仙「白日升天、長生不死」的理解。同時，他也認為全真之意是「全其本真」，以「澄心定意，抱元守一，存神固氣」為「真功」，要保全作為人性命的根本要素即精、氣、神。換句話說，「全真、全氣、全神」就是最高神仙境界。正是基於這種新的詮釋，信徒的內丹修持變得比較可行，也因此獲得了廣大道徒的信賴。（參考劉，1993，頁245）

王重陽去逝前不久，先後渡得「全真七子」丘處機（1148-1227）、譚處端（1123-1185）、馬鈺（1123-1183）、王處一（1142-1217）、郝大通（1135-1212）、孫不二（1119-1182）與劉處玄（1147-1203），並開始擴散到登州、萊州兩地成立會堂，吸收會眾。由於王重陽「家業豐厚」，自幼酷嗜讀書、才思敏捷；此外，他也習弓馬，臂力過人，1138年曾應金初科舉武選，中甲科。（參考劉，1993，頁243）因此，金庸小說《射鵰英雄傳》描述他們師徒都是武林高手，是極有可能的。

七子宣教時期，馬鈺、王處一、劉處玄、丘處機為官民齋醮的次數，較重陽立教時期頻繁，會堂分布範圍也更大，全真教在金末時已蔚為華北第一大道派，教眾占河朔人口的五分之一。（據元好問估計，參見鄭，1987，頁114）元初，全真領袖丘處機善察天下形勢，不赴金、宋之詔，唯以七十二歲高齡率徒十八人，行程萬餘里，歷時四年，西覲成吉思汗，獲禮遇敬重，遂得以免除「大小差發稅賦」，從而成為天下道流之宗主。平心而論，元初蒙古人在中原的政權尚未穩固，必須利用勢力龐大的全真教來招攬民心。至於全真教則順勢而為，持牒招求，廣攬教眾，在亂世中全活人民性命財產甚多，充分表現宗教濟世精神，同時，教團勢力也因而更加壯大。（參考鄭，1987，頁27、67）

除了在金元鼎革、社會動蕩不安之際，全真教發揮了政治庇護與宗教慰藉的功能之外，它後來甚至還執掌了大蒙古國的國家祭典與國子學。根據正統道藏所載，在1232-1254年間，全真教曾多次為蒙古汗廷齋醮祀香。（參考鄭，1987，頁85）早在丘處機進駐燕京玉虛觀時，往來即多金朝遺老與蒙古官員。處機死後，十八弟子之一的李志常（1193-1256）任都道錄，負責教門與汗廷的聯繫，頗受蒙古人器重。志常也因此得以推薦同門師弟馮志亨（1180-1254）擔任國子學總教官，他本人與楊惟中也一併奉旨擔任。楊惟中雖非道士，但與全真教接觸頻繁。由此可見，全真教已經控制了國子學。不過，這主要歸功於馮志亨擁有主持校務的學養，他早年是金朝太學生，能文善詩，與儒士交往密切，備受讚譽。（參考蕭，1996a）

事實上，李志常也是「以儒家者流，決意學道」。正因為如此，他對動蕩世局中流離失所的士大夫，總是隨時提供庇護：

時河南新附，士大夫之流寓燕者，往往竄名道籍。公（即李志常）委曲招宴，飯於齋堂，日數十人。或者厭其煩，公不恤也。其待士之誠類如此。（《甘水仙源錄》卷3，頁0154下，轉引自鄭，1987，頁144）

金太宗七年，宋使徐霆訪問燕京，也看到很多士人的棲身道觀：

長春宮多有亡金朝士，既免跛焦（薙髮），免賦役，又得衣食，最令人慘傷也。（《黑韃事略》，頁16上，轉引自鄭，1987，頁144）

入元以後，由於全真教教團內部的腐敗、對貴族官僚的影響力減弱、汗廷的猜忌、儒士的振興（以重掌國子學的控制權為例），以及佛道的衝突等等因素，使得全真教的勢力逐漸衰退。（參考鄭，1987，頁141-149）儘管如此，元初名公鉅卿與全真教士長相往來者仍舊不在少數，例如楊奐、姚樞、王磐、商挺與主領陝西教事的天樂道人李道謙，又如趙著、王鶚、姚樞、王磐、竇默、王善及本文主角李冶就與道錄樊志應頗有來往。（參考鄭，1987，頁161）

此外，全真教與元代漢軍世家的結合，也對流離失所的漢人學者發揮了很大的撫慰作用。譬如，全真教與（山東）東平嚴實曾修上清萬壽宮，迎請范圓曦（號玄通子，郝大通弟子）為住持，時論以「治軍」與「掌教」並稱二人，當有以圓曦為幕府而安撫民心之考慮。與嚴實及其幕府交往密切的全真道士還有張至偉、商挺與趙天錫等等。此外，曾為全真教撰碑的官員頗多，其中不少是嚴實的幕府或學士，除了前述的商挺之外，還有宋子貞、王磐、徐琰、孟祺與李謙等人。（參考鄭，1987，頁107）據孫克寬研究，嚴實在東平興學、招置幕府，不僅只是為了保存文化，亡金名士菌集山東，可能有政治的圖謀。除了嚴實之外，漢家世侯真定史氏及保定張氏也競相羅致亡金遺士，於是，東平、真定及保定遂成為人才薈萃之地，才俊之多，絕不下於和林與燕京。「他們利用這些人才在所轄地區推行漢地傳統式的改革，恢復秩序、發展經濟、保存文化。因此，各士侯轄地，在政治、軍事、經濟、文化上都具有一定程度的自主性。」（引蕭，1994，頁276-277）不過，召賢納士充任幕府者，還是以嚴實最多，根據王名蓀的統計，依附東平幕府的士人可考者二十一人，多數任秘書、參謀之類的幕僚官，其中就包括了元好問。（參考王，1992，頁61-64）由此可見，李冶訪問東平搜求算書（詳見本文下節），是很有地緣因素考慮的。

四、李冶生平事迹

李冶，字仁卿，號敬齋，祖籍真定灤城縣（今河北省灤城縣）。他在金明昌三年出生於金大興城（今北京市大興縣），父親李遹，母親王氏，有同父異母兄弟李澈與李滋，及兩位同胞姊妹。他原名李治，後改今名。2

李冶被史家視為十三世紀最偉大的代數學家。（參考Ho，1970）他的主要成就在於將宋金元時代的「天元術」集大成，為朱世傑的「四元術」鋪路。所謂「天元術者，中國之代數術也。立一元或多元以為未知量，使加減乘除有所憑藉，依問題所示推演條段以造方程式，解方程以得所求數也。立一元以『演段』者，世謂之天元術，立多元以『演段』者，世謂之四元術。天元、四元之於中國數學史上之貢獻，猶阿拉伯人代數之於西洋數學史也。」（引錢，1983b）

李冶的曾祖父及祖父都以醫為業，因此，他的父親李遹年少時亦習醫，只是後來不願「以人命試吾術」，遂改讀律令。可是，隨後卻又認為法家寡恩，便盡棄前學，全心全意讀六經、攻辭賦，終於成為能詩善畫、博學多才的學者。

李遹於李冶出生前一年考中金朝詞賦科進士，先後擔任縣丞與縣令，後來升任大興府推官，李冶便是在此地出生。不幸，李遹上司胡沙虎被「時人視之猶蛇虎鬼魅，疾走遠避之不暇」，為了防避不測，為官耿直、敢言犯上的李遹便將家小送回故鄉灤城。正值童年的李冶沒有隨行，獨自一人到灤城的鄰縣元氏（今河北元氏縣）求學。

李冶「幼讀書，手不釋卷，性穎悟，有成人之風」（《元朝名臣傳略》），李屏山曾讚譽他「仁卿不是人間物，太白精神義山骨」。金大安三年（1211），李冶二十一歲，父親在東平府（今山東東平縣）任治中，因見胡沙虎更加得勢及朝政不可為，又惟恐胡沙虎迫害，遂辭職隱居於陽翟（今河南禹縣），以詩畫自娛，並將家眷接來同住，李冶也從河北來到河南。

大概從這時開始，李冶與元好問交往密切結為好友。後來，兩人前往南都（即汴京，今河南開封市）拜趙秉文、楊文獻為師，不久，雙雙文名大盛。李冶的多才多藝，較諸他的父親不遑多讓，請征之於李冶的自述：

李子年二十以來，知作為文章之可樂，以為外是無樂也。三十以來，知搴取聲華之可樂，以為外是無樂也。四十歲以來，知究竟名理之可樂，以為外是無樂也。今五十矣，覆取二十以前所讀論孟六經等書讀之，乃知曩昔所樂，曾夏蟲之不若焉。尚未卜自今以往又有樂於此以否。（《泛說》）

事實上，李冶雖年幼時即愛好算數，然而傾力研究，卻可能是在五十歲之後。他在1248年寫成《測圓海鏡》，終於成為一代算學大師。不過，這個學術興趣也可能與他四十歲以後的顛沛流離，乃至寄寓全真道觀有關。

金正大七年（1230），李冶赴洛陽應試，被錄取為詞賦科進士，隨即奉派高陵（陝西高陵縣）主簿，但因窩闊台大軍攻入陝西，所以未能赴任。接著，他又調往陽翟附近的鈞洲城（今河南禹縣）當知事。金開興元年（1232），蒙古軍攻破鈞洲，李冶棄城北渡黃河，從此走上漫長而艱苦的流亡之旅。

李冶北渡後，便流落于山西忻縣、縣之間，過著「饑寒不能自存」的生活。根據藪內清的研究，「李冶在山西流浪之時，受到當地出現的數學之影響。金元之際，習算之人主要集中在山西南部汾河流域地區。其中平水是金朝時代出版最盛行的地方，平陽是元代道藏刊行的地方。天元術產生之處，可以說在汾河流域。」（引藪內，1967）此外，山西在當時也是全真道觀數目僅次於陝西、河北與河南的地方，因此，李冶在流浪時寄寓道觀是極有可能的。

北渡兩年後，李冶終於在忻縣境內的桐川定居下來，開始專心讀書，「凡天文象數，名物之學，無不研精。」（《元史新編》，轉引自孔，1988，頁10）大概就在此時，他獲得洞淵有關勾股容圓的一部算書，「日夕玩繹」，終於對早年「無以當吾心」的「考圓之術」豁然貫通。至於編成《測圓海鏡》一書，則是他「山中多暇，客有從余求其說者，於是乎又為衍之，遂累一百七十問。」（〈測圓海鏡序〉）此外，他也曾從東平府尋得一部算經，對於他集大成「天元術」很有啟發：

予至東平，得一算經，大概多明如積之術。以十九字志其上下層數，曰：仙、明、霄、漢、壘、層、高、上、天、人、地、下、低、減、落、逝、泉、暗、鬼。此蓋以人為太極，而以天地各自為元而陟降之。其說雖若膚淺，而其理頗為易曉。予遍觀諸家如積圖式，皆以天元在上，乘則升之，除則降之，獨太原彭澤彥材法，立天元在下。凡今之印本復軌等書，具下置天元者，悉踵習彥材法耳。彥材在數學中，亦入域之賢也，而立法與古相反者。其意以為天本在上，動則不可復上，而必置於下，動則徐上。亦猶易卦，干在在下，坤在在上，二氣相交而為太也。故以乘則降之，除則升之。求地元則反是。（引李治，1995，頁32）

由此可見，李冶在桐川所參與的數學知識活動，包括了算書的搜集、學者之間的討論以及師徒的傳授。誠然，《測圓海鏡》就是在這樣活潑的學術環境中所創造出來的。

在《測圓海鏡》完成後不久，李冶到太原住了一段時期，接著又流落到平定。平定侯聶珪接待他到帥府居住，十分禮遇。然而，他卻一心想回到少年求學的元氏縣定居。1251年，他結束流浪生活，如願回到元氏縣外封龍山下隱居教學。講學之餘，他與元好問、張德輝過從甚密，常一起游封龍山，時人因稱之為「龍山三老」。由於張德輝曾在真定史氏家族手下為官，得忽必烈的信任，派任真定學校，遂受託舉薦漢人學者，這是（1252年）元好問、（1257年）李冶先後應召與忽必烈王廷問對的主要原因。

會見忽必烈之後，李冶回到元氏，繼續他「愛山嗜書，余無所好」（引王磐語）的日子。1261年，忽必烈聘他作翰林學士知制誥同修國史，但李冶以老病婉拒。至元二年（1265年），忽必烈再召他出任同一官職，他勉強就職，但一年後他又以老病辭，理由是「翰林非病叟所處，寵祿非庸夫所食。官謗可畏，幸而得請投跡故山。」（《元朝名臣事略》）其實，真正的原因是他後來透露的：

翰林視草，惟天子命之；史館秉筆，以宰相監之。特書佐之流，有司之事耳，非作者所敢自專而非非是是也。今者猶以翰林史館為高選，是工諛譽而善緣勢者為高選也，我恐議者羞之。(《泛說》遺文，轉引自《元朝名臣事略》)

這種隱而不仕的態度，與他的學術事業應該是極有關係的。大概在晚年時，李冶研究數學頗為自信，儘管在完成《測圓海鏡》之後，他面對學家對「九九賤技」的鄙視，不無自我解嘲的心情：

覽吾之編，察吾苦心，其憫我者當百數，其笑我者當千數，乃若吾之所得，則自得焉耳，寧復為人憫笑計哉？（李冶〈測圓海鏡序〉）

在1259年，李治又完成了另一本數學作品《益古演段》。它是根據《益古集》（作者未被提及）「再為移補條段，細幡圖式」而成，目的在普及「天元術」，「使粗知十百者便得入室啗其文。」（〈益古演段自序〉）這是因為他考慮到：

今之為算者未必有劉（徽）、李（淳風）之工，而偏心踸見不肯曉然世人，惟務隱互錯糅，故為溟悻黯#h，惟恐學者窺其彷彿也。不然則又以淺近觕俗無足觀者，致使軒轅隸首之術，三五錯綜之妙，盡墮於市井沾沾之兒及夫荒郊下里蚩蚩之民，殊可憫悼。（〈益古演段自序〉）

無論本書是不是他的課徒講義（參考孔，1988，頁92-94），他治算的從容自得溢於言表，則無庸置疑。

從翰林院辭官回封龍山，李冶即專心著述教學，直到1279年病逝，享年八十八歲。他一生著述頗豐，除了前述兩部數學作品之外，據《元史?李冶傳》的記載，他還著有《敬齋文集》、《壁書叢削》、《泛說》及《敬齋古今黈》。其中前三種已亡失，僅有極小部分依附其他文獻而流傳下來。《敬齋古今黈》是一部筆記類著作，內容遍及經學、哲學、歷史、文學、天文、數學及醫學，可以充分反映他的淵博學養。（參考孔，1988，頁30-33）

《敬齋古今黈》對於我們了解李冶的學術生涯至為重要，它的內容解析還有待進一步的研究。不過，從它的一些相關內容，目前我們至少可以證明：李冶相當熟悉全真教等道教內丹派集氣功、胎息、服餌、房中、養生為一體的修鍊。譬如在本書中，李冶就萬松和尚以為達摩無胎息法而提出反駁：

予謂萬松之說非也。佛乘雖深密，要不出性命二字。故知胎息法，只是以性命為一致。若謂胎息等皆妄，則凡鐙史所載機緣語句，獨非系驢橛耶？胎息雖不足以盡至理，亦至理之所依也。今一切去之，則所謂性外求命，命外求性耳。性外求命，命外求性，便是不識性命。（引李治，1995，頁27）

此外，他也清楚說明精氣神之舍的三丹田之位置（參考同上書，頁81）。由此可以再度說明，李冶與全真道士交往應該十分密切才是。

五、「推自然之理，以明自然之數」

在《敬齋古今黈》中，李冶留下一則文字，頗能暗喻他自己中年顛沛流離之際的困頓與辛酸：

納紙投名媿已深，更教門外久沈吟。事窮計急燒牛尾，不是田單素有心。此詩竟不知何人所作。投謁固可恥，然士當窮困，搖尾乞憐於人，亦可愍也。前輩又有雲，門前久立處，席上欲言時，此真所謂不經此境，不能道此語也。（引李治，1995，頁18-19）

這麼說來，李冶後來獲忽必烈重用而出仕，何以並不熱衷？3 或許他對於蒙古人的不斷征伐（包括攻宋與內戰）十分不滿（參考孔，1988，頁27-28），不過，更重要的原因，恐怕是他自己已經在數學研究中找到安身立命之道，聞達與否似乎不是他的主要考慮了。請征之於王德淵的〈敬齋先生測圓海鏡後序〉：

敬齋先生病且革，語其子克脩曰：吾平生著述，死後可盡燔去，獨《測圓海鏡》一書，雖九九小數，吾常精思致力焉，後世必有知者，庶可布廣垂永乎！先生於六藝百家糜不串貫，文集近數百卷，常謙謙不自伐，惟於此書不忘稱異於易簀之間，想有元妙內得於心者。

儘管如此，對李冶這樣的學者而言，起碼的社會地位與生活條件顯然十分重要。也正是如此，金元之際的全真教所經營的學術文化環境，就變得非常相干了。然則，我們究竟應該如何著手呢？或許西方數學社會史學可以給我們一點啟發。自從八十年代以來，社會史取徑的西方數學史家在相關的研究上，多半十分重視算學的認識論上的正當性（epistemological legitimacy），與算學知識活動參與者（mathematical practitioner）的社會正當性（social legitimacy）（參考Biagioli，1989）。准此，李冶的算學研究是否受惠於金元之際的全真教？或許關鍵就在於這個歷史脈絡是否提供了有利的環境，讓李冶可以「正當地」研究算學，而不必擔心學術地位受到質疑或挑戰。

可是，算學何以帶給李冶這麼大的精神滿足呢？顯然，這是因為他的所謂「自然之數」在「推求自然之理」上取得了主導作用：

彼其冥冥之中，固有昭昭者存。夫昭昭者，其自然之數也；非自然之數，其自然之理也。數一出於自然，吾欲以力強窮之，使隸首復生，亦末如之何也已。

所以，苟能推自然之理，以明自然之數，則雖遠而干端坤倪，幽而神情鬼狀，未有不合者矣。（〈測圓海鏡序〉）

另一方面，即使數學不過是一種「九九賤技」，然而，「由技進乎道」仍然是聖人所稱許的：

由技兼於事者言之，夷之禮、夔之樂，亦不免為一技。由技進乎道者言之，石之斤、扁之輪，非聖人之所與乎？（〈測圓海鏡序〉）

此外，他在解釋「內經言：腎者作強之官，技巧出焉。」時，也特別指出：

技雖不至於道，亦游於藝者之所貴。巧雖未至於神，亦妙萬物而為言。不作強則何以得之。（引李治，1995，頁96）

由此可知，無論數學是「自然之數」也好，「九九賤技」也好，李冶的「自得」之情始終如一，無怨無悔。

李冶關於「自然之數」與「自然之理」的概念，無疑是陳摶以及其他宋儒易數理氣論述的歷史產物。如果說他也分享了全真教徒關於周易的研究，應該也不為過。此外，由上引他到東平訪得算經之說明，我們也可以發現，如仙明霄漢等道教術語以及易卦二氣升降等周易論證，在認識論層面上如何影響「天元術」的「如積圖式」（亦即列方程式的方法）！

總之，李冶治算的認識論上的正當性，以及作為算家的社會正當性，都可以在全真教所經營的學術環境中得到合理的解釋。這兩種「正當性」當然支撐了 Volkov 所謂的「共享的認知空間」，因此，當我們討論道教與金元數學的關連時，一個比趙友欽更早的恰當個案，恐怕非李冶莫屬了。

六、結論

現在，讓我們回來呼應本文一開始所引錢寶琮論斷元代數學始盛終衰的兩個原因，也就是：科舉制度的重新實施，以及理學北上然後普及於華北地區。誠然！不過，全真教的式微，恐怕也是一個不可分割的因素。我們相信儒士的重掌學術文化的主導權，對於李冶「由技進於道」的主張，一定採取相當保留的態度；4 同時，科舉重開的利祿之途，又吸引了學者的全副注意力，因此，算學又再度受到貶抑，是極有可能的。不過，從李冶逝世（1279年）到趙友欽逝世（1335年？）大約五、六十年之間，全真教的餘緒究竟如何影響元朝算學，無疑是數學社會史的絕佳題材，值得深入探索。

注釋

1 根據南宋數學家秦九韶，「聖有大衍，微寓於《易》。奇余取策，群數皆捐。衍而究之，探隱知原。」（〈數書九章序〉）可見他的「大衍求一術」得自《周易》的啟發是很有可能的。參考李繼閔（1987）或劉鈍（1993）。事實上，在中國的歷史文化脈絡中，數學與易學的關聯，可以在焦循的著作中看得更為清楚。請參閱洪萬生主編《談天三友》（1993）。

2 目前中國數學史家大都採取「李冶」之名，唯劉德權點校《敬齋古今黈》時仍取「李治」為名。請參考他的「點校說明」，收入李治，1995，頁1-4。又此書由畏友劉鈍代購，特在此申謝。

3 根據王明蓀的研究，元人的不仕而隱可歸類為七種：(一)以為出仕的條件或能力不足者；(二)以朝廷之政風及需要不合意者；(三)以欽羨古隱逸之士者；(四)以道不行、時不用而隱者；(五)屬於類似人生觀的不仕者；(六)忠於故國之意而隱退者；(七)為義而隱者。（參見王，1992，頁279-282）李冶應該歸屬於第四類，不過，由於他常引述陶淵明的詩歌，因此，自況古隱逸之士，當然也是一種自處之道。

4 在中國歷史文化上有幾個時期，數學參與者對於數學的學術地位感到自在，也因此做出更大的貢獻。這些時期分別是魏晉、宋金元以及十九世紀清代。在這些時期中，對於儒士而言，算術既可以兼明，又可以專業，所以，「由技進乎道」的說法似乎也有了正當性。請參考洪萬生（1982，1989，1990，1991a， 1991b，1993）及劉鈍（1993）。

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