千奇百怪的求圓周率的方法

知識 10-03

求π的方法已經有很多，他的魅力，大概大夥或多或少都有所知曉，甚至在一些完全是巧合的領域，也巧合有他的影子。對於π值的追求，一直伴隨著人類，可以說，對π的計算方法，一個角度就反映了人類數學的發展程度。古代，沒有任何工具，也沒有先進的數學工具，唯一的就是靠筆算，於是祖沖之有了他的領先結果，近代，微積分等學科的發展給π的求解帶來了新的視角，到了現代，計算機的發展也伴隨著對π值求法的翻天覆地的革命。

在這些追求的過程中，誕生了一批千奇百怪的求π法。比如蒲豐投針實驗等等。下面有兩種實驗性的方法，也頗讓人讚嘆不已！

第一種：任意寫兩個正整數，這兩個數互質的概率為6/π2。所以你因此可以做一個實驗，叫班上的每一個人任意寫出兩個不相同的數，然後數這些數互質的個數，你就可以得到π的近似值。這個結論的證明需要高深的知識，我們暫且不談。

第二種：任意寫兩個小於1的數（x，y），將他和1組成一個數對（x，y， 1），則由x、y和1能構成一個鈍角三角形的概率為(π-2)/4。

利用這個結論也可以求出π的近似值。方法和第一種方法一樣。不過這個結論我們倒是可以證明的：

證明：我們現在考慮實數對(x，y)，因為x和y均小於1，故在XOY平面上，點對(x，y)是落在如圖1所示的的單位正方形OACB裡面的。

千奇百怪的求圓周率的方法

於是，只要我們求出(x，y，1)能構成鈍角三角形的(x，y)在正方形中所佔據的大小S（如圖2中的陰影部分），那麼S/正方形面積即S就是我們所求的概率了。

首先，必須滿足x+y＞1。這很顯然的，兩邊之和大於第三邊。

由余弦定理12=x2+y2-2xycosα。因為α為鈍角，所以cosα＜0，也就是有x2+y2＜1。綜合起來，x和y必須滿足的關係就是由下面的兩個不等式確定：x+y＞1且x2+y2＜1。

x+y＞1表示點（x，y）只能出現在AB上方，x2+y2＜1表示這些點只能出現在單位圓以內，這不就是剛好是我們圖1裡面的陰影部分嗎？於是：

(x，y，1)構成一個鈍角三角形的概率p=S=1/4π-1/2=(π-2)/4。

所以，如果有m個人參加實驗，有n個人寫出的x和y能構成鈍角三角形，那麼就有n/m=(π-2)/4，即有π=4n/m+2。

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如果這些東西都不讓你覺得驚訝的話，那麼下面的事實一定足以使你目瞪口呆了：

1995年4月，英國《自然》雜誌刊登了伯明翰城阿斯頓大學計算機科學與應用數學系的馬修斯發表的一篇文章，他記述了他如何通過觀察天空中亮星的分布計算圓周率，讀來的確使人驚訝，但是原理卻是如此滴簡單，馬修斯做的，就是從我們熟悉的事物中探求數學中有趣的道理。馬修斯如此試驗基於的事實很簡單，每一個接觸過數論的人都知道：

任意兩個自然數互質的概率為6/π2

他從眾多星星中選擇100個亮星，將這些亮星兩個分成一對，然後計算每對星之間的角距，得出一堆數據，然後檢查這些數據的因子情況（總共近100萬對因子），從中計算出π值約為3.1272，與π的數值3.1416的相對誤差很小。

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