《瘋狂動物城》如何顛覆傳統技術？
顧險峰(紐約州立大學石溪分校終身教授，清華大學丘成桐數學科學中心訪問教授，計算共形幾何創始人)
依隨數字媒體，動漫動畫，VR/AR產業的迅猛發展，許多工程應用需要微分幾何，代數拓撲以及黎曼幾何中的深刻定理。就目前教育情況來看，這些現代幾何拓撲知識不可能被傳統的計算機科學教育所涵蓋，同時純粹數學領域的教育也無法直接深入到工程技術層面。在現實中，從工程需求的提出，到演算法設計，到計算數學，再到純粹數學，每一步都需要一定程度的發明創造，更需要不同領域之間的交流與合作。本文以《瘋狂動物城》中動物毛髮的建模設計來講解黎曼幾何中的和樂群概念，以及如何在拓撲複雜的曲面上設計切向量場。
迪斯尼的動畫片《瘋狂動物城》描繪了動物王國發生的趣事，反映了年輕人衝破自身背景藩籬，追求夢想的勵志故事。片中的動物造型憨態可掬，表情豐富，個性鮮明，令人忍俊不禁。從技術層面而言，《瘋狂動物城》對於動物皮毛的幾何建模和真實感繪製取得了前所未有的突破。這等價於幾何中的曲面光滑矢量場設計問題。
圖1. 《瘋狂動物城》中動物毛髮建模和渲染取得了突破。
龐加萊-霍普夫定理
給定一個光滑曲面，曲面的光滑矢量場可以看成是一個光滑映射。矢量場可以被分解為兩部分：切矢量場和法矢量場。法矢量場的結構非常簡單直接，可以表示成一個標量函數和曲面法向量場的乘積,這裡是標量函數，是曲面法向量場。下面，我們著重討論切矢量場。我們依然用符號來表示曲面的切矢量場。
曲面的切矢量場和拓撲存在著基本的關係，由龐加萊-霍普夫定理來刻畫。我們考察切矢量場的零點集合：
，
矢量場經過微小擾動，我們可以假設零點都是孤立零點。選定一個零點，圍繞零點選定一個拓撲小圓盤，定義映射從圓盤邊緣映到單位圓：
,
這個映射誘導了同倫群之間的映射：,都是整數加群，因此。這裡的整數被稱為是零點的指標：
。圖2. 矢量場中的源（A,C )和匯（B,D )，以及鞍點（E )，其指標分別為+1，+1和-1。
如圖2所示，光滑流場中的源（A,C )和匯（B,D )的指標為正1，鞍點（E )的指標為負1。著名的龐加萊-霍普夫( Poincare-Hopf )定理斷言： 假設是一個緊的可定向光滑曲面，是曲面上的一個光滑向量場，具有孤立零點。如果有邊界，矢量場在邊界上指向外法向，我們有公式
這裡我們取遍所有孤立零點，是曲面的歐拉示性數。
龐加萊-霍普夫定理解釋了為什麼每個人的頭頂都有發旋。這一定理的現代觀點如下：假設曲面封閉，每一點處的單位切向量構成一個圓周。我們定義曲面的單位切叢為曲面的所有單位切向量構成的流形，則單位切叢為以圓周為纖維，以曲面為底空間的纖維叢。單位切叢的一個全局截面是和每根纖維相截的曲面。龐加萊-霍普夫定理斷言這種全局截面不存在，全局截面存在的拓撲障礙是曲面的歐拉示性數。
通俗的講，如果一個曲面的歐拉示性數不為零，那這個曲面上長的頭髮一定要有漩渦，順時針漩渦的數目加上逆時針漩渦的數目減去鞍點的數目正好等於歐拉示性數。
平行移動
平行移動是黎曼幾何中最為基本的概念。如圖3所示，令是平面上的一條直線段。我們在起點處選擇一個平面矢量，然後將的起點沿著直線移動，同時保持和直線切向量的夾角不變，這樣我們得到沿著的平行移動，在直線的終點處得到平行移動的結果。假設是折線段，我們可以逐段平行移動。如果是曲線，我們可以用折線來逼近曲線。我們取曲線上的採樣點
,
圖3. 平面上的平行移動。
下面我們將平行移動的概念從平面推廣到曲面情形。曲面上平行移動的定義方式和平面情形相類似，唯一的區別是將直線換成測地線。更為詳盡地，如果曲線是定義在曲面上的一條測地線，我們在起點處選擇一個切矢量，然後將的起點沿著測地線移動，同時保持和測地線切向量的夾角不變，這樣我們得到沿著的平行移動，在測地線的終點處得到平行移動的結果。如果是定義在曲面上的任意一條分片光滑曲線，則我們可以在上採樣，並用分片測地線來逼近，同時在分片測地線上逐段平行移動。當採樣密度趨於無窮的時候，分片測地線收斂到原來曲線，逐段平行移動的結果趨於一個極限切向量，則我們將定義為沿著的平行移動結果。
高斯-博內定理
平面上的平行移動只和起點和終點有關，和平行移動所經歷的路徑無關。換言之，如果是平面上的一條封閉曲線，沿著平行移動矢量得到，則和重合。
圖4. 高斯-博內定理。
如果是曲面上的一條分片光滑封閉曲線，如果是曲面某個區域的邊界，那麼沿著平行移動矢量得到，則和不一定重合，其相差的角度等於曲面的高斯曲率在區域上的積分。這可以由高斯-博內（Gauss-Bonnet）定理來精確描述：
,
這裡是內點處的高斯曲率，是邊界點處的測地曲率，是曲線在折角處的外角。如果曲面的高斯曲率非零，則平行移動的結果依賴於路徑的選擇。由此，我們可以提煉出和樂群的概念。
和樂群
給定帶黎曼度量的光滑曲面，和其上的基點，考察所有經過基點的封閉曲線， 我們沿著平行移動切向量得到，則和之間相差一個旋轉，所有這種旋轉構成的群被稱為是曲面的和樂群（Holonomy Group）。陳省身先生非常重視和樂群的研究，因為和樂群反映了黎曼流形的幾何特性。如果曲面的黎曼度量為平直度量，高斯曲率處處為0，那麼如果同倫平庸（即同倫於點），那麼對應的holonomy平庸。由此推出，如果兩個封閉曲線同倫，則它們的holonomy相同。這意味著平直度量可以簡化和樂群，我們利用這一點來構造麯面上的光滑切矢量場。
圖5. 曲面基本群生成元。
給定一個虧格為的曲面，用戶選擇個點，作為切矢量場的零點，並且指定這些零點的指標，滿足龐加萊-霍普夫公式：零點的總指標等於曲面的歐拉示性數，
。
我們在曲面的每個環柄上選擇兩個封閉曲線，圍繞每個零點選擇一條封閉曲線。帶孔曲面定義為：
，
其基本群為
。
我們可以用Ricci 流的方法構造一個平直度量，使得曲面的高斯曲率集中在零點上，點處的曲率等於乘以其指標，其他各點的高斯曲率處處為0。
根據定義，的holonomy為0，但是的holonomy依然複雜，我們假設相應的holonomy分別是和。我們構造一個微分1-形式,滿足
,
在構造光滑矢量場時，用於補償平直度量誘導的holonomy。
我們在帶孔曲面上任選一點，任選一個單位切向量，對於帶孔曲面上任意一點，我們可以任選一條連接和的路徑，將沿著平行移動到點，然後再旋轉角，這裡
，
這樣，可以證明我們在帶孔曲面上生成了一個光滑切矢量場，切矢量的長度處處為1。然後我們構造一個光滑函數，在零點處為0，其他各處為正，則和帶孔曲面上的光滑單位切矢量場之積是原來曲面上的一個光滑矢量場，其零點以及零點的指標由用戶指定。
圖6. 虧格為0的曲面上只有一個零點的光滑向量場。
圖7. 虧格為2的曲面上只有一個零點的矢量場。
圖6顯示了虧格為0曲面上只有一個零點的光滑矢量場。圖7顯示了虧格為2的曲面上只有一個零點的切矢量場。左幀是如上構造的用於補償holonomy的微分形式，中幀顯示的是未加補償直接由平行移動生成的切矢量場，其上存在間斷曲線，右幀是補償後的光滑矢量場。
圖8. 維納斯雕塑曲面上的矢量場，零點由用戶指定。
圖9. 將曲面轉換成編織模型。
圖10. 將曲面轉換成編織模型。
同樣的方法，也可以用於生成曲面上的光滑標架場。如圖8所示，曲面上的標架場用於自動生成鉛筆素描畫，這可以用計算機來模擬藝術家來進行非真實感繪製。圖9和圖10顯示了將曲面自動轉換成編織模型，這為數字製造提供了新穎的思路。
總結
《瘋狂動物城》中動物毛髮的設計等價於曲面上構造光滑切矢量場，這涉及到平行移動和和樂群的基本概念和定理。在實際動漫製作中，動漫藝術家或許並沒有系統地學習過拓撲和黎曼幾何，但通過大量的藝術實踐，他們積累了幾何直覺，對於和樂群的概念有著直觀的感受。他們可以把這些經驗耳傳身授給徒弟，但是無法用明晰嚴格的語言表達著述，從而無法廣泛傳播和繼承。從實踐經驗到普適理論，這需要提煉升華和嚴格證明，這也是工業界和學術界價值體系的根本區別之一。
在目前的教育體系下，現代幾何和計算機科學相互割裂，很少有人能夠精通兩個領域的知識。但是，依隨計算機技術的迅猛發展，動漫動畫，VR/AR技術中已經大量使用現代的拓撲和幾何知識。我們相信，這兩個領域的融合必將成為時代發展的趨勢。傳統數學教育的周期過長，內容體系過於抽象，無法為工程背景的學生迅速理解和接受。如何將現代幾何與拓撲用簡單直接的方式講解，並與工程科學緊密結合，這對廣大教育者也提出了嚴峻的挑戰。或許，VR/AR技術的出現和蓬勃發展，為這一問題提供了可行的解決方案。
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