黑洞真的「無毛」嗎？ | 星星背後的物理（六）

知識 08-15

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導讀：

電影《星際穿越》為我們展現了一個令人無比震撼的黑洞形象，然而人類在科學理論上一次次接觸這個神秘天體的過程也並不平淡。霍金在《時間簡史》裡面說「黑洞無毛」，那麼什麼是「毛」？為什麼黑洞沒有「毛」？讓我一起學習一下~

撰文 | 張天蓉（美國德州大學奧斯汀分校理論物理博士）

審校 | 張雙南（中國科學院高能物理研究所研究員）、鄭永春（中國科學院國家天文台副研究員）

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人們喜歡說：群星燦爛。但在真實的宇宙里，星星中有燦爛的也有不燦爛的，在肉眼可見的星星中，行星自己不發光，只靠反射恆星的光而被我們所看見。恆星的生命歷程十分漫長，從熊熊燃燒之火，最後變「暗」，成為白矮星、中子星，最後變為黑洞。這些暗黑天體不發光，或者發出很少的光亮，默默地呆在黑暗之中，仍然用它們強大的引力，發揮最後的威力。

越不燦爛的星星，越激發人們的好奇心。我們今天的故事，就來說說宇宙中最「暗」的天體——黑洞。

暗星與黑洞

有關黑洞的探討，可以追溯到兩百多年前的經典力學時代。當時的科學家，比如拉普拉斯，把此類天體叫做「暗星」，見圖1a。

最早提出暗星概念的英國人米歇爾（John Michell，1724年-1793年），是一位地質學家，卻對天文十分感興趣。他使用牛頓力學定律計算質量為m的運動物體相對於某個質量為M的大星球的逃逸速度ve，得到如下公式：ve^2= 2G(M+m)/r，這裡的G是萬有引力常數，r是星球的半徑。如果運動物體的質量m很小，可以忽略不計時，逃逸速度與星體質量有關：ve = √（2GM/r）。

逃逸速度是指能逃脫這個天體引力束縛的最小速度。我們從地球上拋石頭，拋出石頭的速度越快，便能將它拋得更遠，如圖1a所示，想像有一個大力士，能夠給予石頭很大的速度，以至於石頭可以逃離地球引力束縛，飛向宇宙空間。石頭具有一定速度時，可能會繞著地球轉圈，速度更大時石頭便永遠不再回來，這個「不再返回」的最小速度就是逃逸速度。因此，只有當物體相對星球的運動速度v大於逃逸速度ve時，物體才能掙脫星球引力的束縛，逃逸到宇宙空間中。

?圖1：從拉普拉斯預言「暗星」到愛因斯坦預言「黑洞」

這個概念也被著名的拉普拉斯（Pierre-Simon, Laplace，1749年-1827年）提出，並寫到他的《宇宙系統》一書中。根據拉普拉斯和米歇爾的預言，如果星體的質量M足夠大，半徑足夠小，它的逃逸速度ve將超過光速。這意味著即使是光也不能逃出這個星球的表面，那麼，遠方的觀察者便無法看到這個星球，因此，它成為一顆「暗星」，這是黑洞概念的最初萌芽。

當初得出這個結論是根據牛頓的光微粒說，計算基礎是認為光是一種粒子。有趣的是，後來拉普拉斯將這段有關暗星的文字從該書的第三版中悄悄刪去了。因為在1801年，托馬斯·楊的雙縫干涉實驗使大多數物理學家們接受了光的波動理論，微粒說不再得寵，於是拉普拉斯覺得，基於微粒說的「暗星」計算可能有誤，新版的書中最好不提為妙。

1915年，愛因斯坦建立了廣義相對論。緊接著，物理學家史瓦西首先為這個劃時代的理論找到了一個球對稱解，叫做史瓦西解。這個解為現代物理學所說的黑洞建立了數學模型。

有意思的是，雖然拉普拉斯等有關暗星的計算基礎（光的微粒說）是錯誤的，但他們得出的基本結果（黑洞半徑）卻與史瓦西解得到的「史瓦西半徑」完全一致。因為拉普拉斯等人在計算半徑的過程中犯了多次錯誤，最後，這些錯誤剛好互相抵消了！

雖然算出的半徑相同，但廣義相對論的「黑洞」概念，已經與原來拉普拉斯的所謂暗星，完全不是一碼事。黑洞有著極其豐富的物理意義和哲學內涵，黑洞周圍的時間和空間，有許多有趣的性質，涉及的內容已遠不僅是光線和任何物體能否從星球逃逸的問題。

我們首先可以從時空彎曲的角度來粗略理解「黑洞」，如圖1b所示。

廣義相對論用物質引起的時空彎曲來描述引力【注1】。人們通常直觀地將彎曲的時空比喻成一個二維彈性網格，大質量星體是放在網格上的重鉛球。鉛球的重量使得橡皮筋網格彎曲下陷，類比於星體引起的時空彎曲。比如說，圖1b中最左上角所示是我們的太陽，屬於中等質量恆星，橡皮網格下陷不多。除太陽外，圖1b中還顯示了質量和密度更大的恆星、白矮星、中子星等的情況。不同大小的質量密度引起時空不同程度的彎曲，密度越大，彎曲程度越大，相應圖中彈性網格的下陷也越深。由圖中的描述，黑洞是當「引力塌縮」後，同樣質量的物體中體積最小、質量密度最大的天體。質量太大，引起時空極大的彎曲，質量大到彈性網格支撐不住而「破裂」成為一個「洞」。這時候，任何進到洞口的物體都將掉入洞中再也出不來。這裡的「洞口」指史瓦西半徑以內的時空，「物體」則包括所有的粒子及輻射（光）在內，如此形成黑洞。

史瓦西解

我們真實生活的物理空間是三維的，再加上1個時間維，相對論描述的「時空」應該是一個數學上的「四維空間」，但我們無法將這樣的空間用直觀圖像表示出來。因此，在圖1b中只能將「彎曲的時空」表示成一個被拉伸而形變了的二維網格。如果你想更準確地了解重物（或黑洞）附近的「四維時空」是如何彎曲的？就必須使用一點點極其簡單的數學公式了。

愛因斯坦的狹義相對論將時間和空間統一成一個四維整體，廣義相對論則用引力場方程，將這個「時空整體」的性質與宇宙中的物質分布聯繫起來。如何表達時空的彎曲性質呢？愛因斯坦使用了黎曼幾何中的「度規」。度規就像一把尺子，或者說更像我們經常在數學上使用的「坐標格子」，可以將它用來量度和描述空間的幾何性質。廣義相對論中引力場方程的目標，就是對某種給定的物質分布，求解「時空」的度規。

愛因斯坦建立的引力場方程，物理思想精闢，數學形式漂亮，但求解起來卻非常困難。維卡爾·史瓦西（1873年－1916年）是德國物理學家和天文學家。愛因斯坦建立廣義相對論之後，他第一個給出了引力場方程的一個精確解【注2】。史瓦西考慮了一種最簡單的物質分布情形：靜止的球對稱分布。也就是說，如果假設真空中只有一個質量為M的球對稱天體，那麼，引力場方程的解是什麼？這種分布情況雖然異常簡單，但卻是大多數天體真實形狀的最粗略近似。史瓦西很幸運，他由此特殊情形將方程簡化而得到了一個精確解，這個解被稱為史瓦西度規，見圖2。

當時正值第一次世界大戰爆發，已經年過40的史瓦西，是在德國服兵役的間隙中作出了這項經典黑洞方面的先鋒工作。因而，他迫不及待地將兩篇論文寄給了愛因斯坦，經過愛因斯坦的努力，文章很快將發表在普魯士科學院的會刊上。遺憾的是，老天爺沒有讓史瓦西來得及看到自己的文章發表，就因病逝在俄國前線的戰壕中。

不過，史瓦西的名字，隨著他開創性的工作——史瓦西度規和史瓦西半徑，永遠留在了黑洞理論的歷史上。

?圖2：球坐標和史瓦西度規比較

上一段敘述中提到，在一定程度上，可認為度規類似於坐標系。這點可以從圖2所示的史瓦西度規和常用球坐標的比較中得到更深的體會。簡而言之，類似坐標系的「度規」描述了時空的彎曲性，那麼是否可以說：平直的「坐標格子」就表示平直空間，彎曲的「坐標格子」就表示彎曲空間呢？這種說法只能作直觀比喻，並不完全正確。實際上，空間的彎曲性是內在的，比如說，歐氏空間中經常使用的球坐標，坐標軸看起來是曲線，但其所描述的空間卻是平坦的，因為球坐標系可以通過坐標變換變成直角坐標系，而「內在」彎曲的史瓦西度規卻不可能用任何坐標變換變成不彎曲的度規。

從圖2中看出：史瓦西度規與球坐標的關鍵區別在於矢徑微分dr那一項分母中的因子：(1-rs/r)。

上式中的（rs=2GM/c^2）叫做史瓦西半徑，是史瓦西度規中最重要的物理量。史瓦西半徑表達式中的G是萬有引力常數，c為光速。由此可知，史瓦西半徑rs只與球體（星體）的總質量M成正比。也就是說，對每一個質量為M的星體，都有一個史瓦西半徑與其相對應。

理論上而言，史瓦西解所對應的幾何，不限於黑洞，可以用以描述任何球狀星體以外的時空。但對一般天體來說，尺寸比史瓦西半徑大得多，外部時空都是遠離史瓦西半徑的區域，沒有什麼特別的幾何可言。人們感興趣的事情是：如果這個天體的全部質量M都被「塞進」它的史瓦西半徑以內的話，這個天體便成為了一個黑洞。那時候，史瓦西度規描述的是黑洞附近的幾何，特別是在史瓦西半徑附近，表現出許多奇特有趣的幾何性質。

我們可以從圖2中史瓦西度規的表達式來理解史瓦西半徑rs的意義。不難看出，對史瓦西度規來說，有兩個r的數值比較特別，一個是（r=rs），一個是（r=0）。這兩個數值都導致史瓦西度規中出現無窮大。不過，數學上已經證明，第一個在史瓦西半徑rs處的無窮大是可以靠坐標變換來消除掉的假無窮大，不算是奇點，只有r=0處所對應的，才是引力場方程解的一個真正的「奇點」。

史瓦西半徑處雖然不算奇點，但它的奇怪之處卻毫不遜色於奇點。首先，當r從大於史瓦西半徑變成小於史瓦西半徑，度規中的時間部分和空間部分的符號發生了改變。這是什麼意思呢？好象是時間t變成了空間r，空間r變成了時間t，這對習慣使用經典時空觀念的我們而言，是無法理解的。也許我們可以暫時不用去作過多的「理解」，只記住一句話：「史瓦西半徑以內，時間和空間失去了原有的意義」。還好我們也沒有必要對史瓦西半徑以內的情況作更多的想像，因為你一旦越過了那個半徑，就無法和外部的我們通訊，我們根本不知道在裡面到底發生了什麼！那是一個界限，等同於多年前米歇爾和拉普拉斯稱之為光也無法逃脫的「暗星」的界限。當初的牛頓力學只能預測，如果質量集中在如此小的一個界限以內，光線也無法逃逸，外界便無法看到這顆「暗星」。而根據廣義相對論，除了無法逃逸之外，還帶給我們許多有關時間空間的種種困惑，也許這些困惑的解答能對時間和空間有更深刻的認識，從而促成物理新革命，促成引力理論和量子理論的統一，此是題外話，在此不做深究。

也可以這麼說，史瓦西半徑將時空分成了兩部分：離球心距離r大於史瓦西半徑的部分和小於史瓦西半徑的部分。如果離球心距離r遠大於史瓦西半徑，比值（rs/r）趨於0，史瓦西度規成為平坦時空中的閔可夫斯基度規。這是符合天文觀測事實的，在遠離任何天體（包括黑洞）的地方，引力場很小，時空近於平坦。只有在史瓦西半徑附近和內部，時空度規才遠離平坦，那裡的時空彎曲程度急劇增大，任何越過了史瓦西半徑的物體，再也不能返回到外界空間，只有被吞噬的命運，最後到達r=0所標誌的真正時空奇點而消失不見【注3】。

總而言之，史瓦西度規雖然有奇怪的性質，實際卻非常簡單，簡單到就是一個半徑和被該半徑包圍著的一個奇點。因為在這個半徑以內，外界無法得知其中的任何細節，我們將其稱之為「視界」。視界就是「地平線」的意思。當夜幕降臨，太陽落到了地平線之下，太陽依然存在，只是我們看不見它而已。類似地，當星體塌縮到史瓦西半徑以內，所有的物質都掉入了視界之內，物質也應該依然存在，但我們看不見。

如上所述，史瓦西半徑只與天體的質量有關。比如，根據太陽的質量，計算出太陽的史瓦西半徑大約是3公里，而地球的史瓦西半徑只有9毫米。也就是說，如果將太陽所有的質量都壓進一個半徑3公里的球中，或者是將我們整個地球全部擠進一個玻璃彈球中，那時，太陽（或地球）附近的引力場將非常巨大，能夠將運動到附近的物質統統吸進去，任何東西都逃不出來，即使是光線。對外界的觀察者而言，太陽變成完全是「黑」的，物理學家惠勒給此類天體起了一個好名字：「黑洞」。

「黑洞無毛」

引力場方程的精確解不止史瓦西度規一個。因此，基本黑洞的種類也不僅僅是史瓦西黑洞。

?圖3：經典黑洞分類

如果所考慮的星體有一個旋轉軸，星體具有旋轉角動量，這時候得到的引力場方程的解叫做克爾度規。克爾度規比史瓦西度規稍微複雜一點，有內視界和外視界兩個視界，奇點也從一個孤立點變成了一個環。

比克爾度規再複雜一點的引力場方程之解，稱為克爾-紐曼度規，是當星體除了旋轉之外還具有電荷時而得到的時空度規。對應於這幾種不同的度規，也就有了4種不同的黑洞：無電荷不旋轉的史瓦西黑洞；帶電荷不旋轉的紐曼黑洞；旋轉但無電荷的克爾黑洞；既旋轉又帶電的克爾-紐曼黑洞。

這些黑洞都是人們根據引力場方程得到的精確解。少數物理學家和天文學家從30年代就開始考慮恆星的引力塌縮問題，認為在一定的條件下，天體的最後歸宿有可能是「黑洞」。但愛因斯坦和艾丁頓等卻不願接受這種「怪物」，不承認這些解是對黑洞的預言。當年艾丁頓在愛因斯坦的支持下對年輕學子錢德拉塞卡進行打壓便是一個典型例子。錢德拉塞卡在28歲時研究引力塌縮，得到錢德拉塞卡極限，作出一生中最重大的成果，卻直到73歲才因此獲諾貝爾物理獎。1939年，愛因斯坦還曾發表一篇與廣義相對論相關的計算文章，解釋史瓦西黑洞在宇宙空間中不可能真實存在。

儘管愛因斯坦早年不承認存在引力波，也不認為宇宙中真的有黑洞，但人們還是固執地將這兩項預言的榮耀光環戴在他的頭上，因為這是從廣義相對論理論導出的必然結果。愛因斯坦去世後，黑洞的研究風行一時，上世紀60年代開始，大多數物理學家開始認真地面對黑洞，從而開始了黑洞研究的黃金時代。活躍在當年「黑洞研究」學術界的是三位主要帶頭人和他們的徒子徒孫。這三位物理學家分別是美國的惠勒（John Wheeler，1911–2008）、俄羅斯的澤爾多維奇（Yakov Borisovich Zel"dovich，1914–1987）、英國的夏瑪（Dennis Sciama，1926–1999）。惠勒是諾貝爾獎得主費曼的老師，夏瑪是霍金的指導教師。

惠勒平時的言語中充滿哲理：沒有定律的定律、沒有物質的物質。並且，他總是善於用形象而發人深思的辭彙來命名物理學中的事物，黑洞的名字便是典型一例。後來，他又提出並命名了「黑洞無毛定理」【注4】，見圖4。

據說黑洞之詞以及黑洞無毛的說法，一開始被專業人士抵制，認為暗含了某種淫穢的含義，有傷風化，難登科學理論大雅之堂。但社會大眾的反應有時是科學家們難以預料的。人們欣然接受並喜愛這兩個辭彙，沒人笑話，也很少有人往歪處去聯想。反之，這兩個辭彙催生了不計其數的科幻作品，讓神秘高雅的科學概念走向普通民眾。事實證明，那些莫名其妙的「抵制」只是庸人自憂。

黑洞無毛定理，是對經典黑洞簡單性的敘述。也就是說，無論什麼樣的天體，一旦塌縮成為黑洞，它就只剩下電荷、質量和角動量這三項最基本的性質。質量M產生黑洞的視界；角動量L是旋轉黑洞的特徵，在其周圍空間產生渦旋；電荷Q在黑洞周圍發射出電力線，這三個物理守恆量唯一地確定了黑洞的性質。因此，也有人將此定理戲稱為「黑洞三毛定理」。

?圖4：黑洞無毛定理

物理規律用數學模型來描述時，往往用盡量少的參數來簡化它。但這兒的「黑洞三毛」有所不同。「三毛」並不是對黑洞性質的近似和簡化，而是經典黑洞只有這唯一的三個性質。原來星體的各種形狀（立方體、錐體、柱體）、大小、磁場分布、物質構成的種類等等，都在引力塌縮的過程中丟失了。對黑洞視界之外的觀察者而言，只能看到這三個（M、L、Q）物理性質。

黑洞真的「無毛」嗎，或者說只有區區「三根毛」？這是從黑洞的經典物理理論得到的結論，如果考慮量子和熱力學，就不是那麼簡單了！不過我們暫且打住，且聽下回分解。

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注釋：

【注1】張天蓉，蘋果落地是因為時空彎曲嗎[N]. 人民日報. 2015-06-04 (016) http://paper.people.com.cn/rmrb//html/2015-06/04/nw.D110000renmrb_20150604_4-16.htm

【注2】維基百科：史瓦西解：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%B2%E7%93%A6%E8%A5%BF%E5%BA%A6%E8%A6%8F

【注3】根據劉元和張雙南的理論計算結果，只有用黑洞裡面的觀測者的時鐘計算，黑洞裡面的物質才會到達中心奇點的位置，但是如果用外面觀測者的時鐘計算，物質永遠不可能到達中心的位置。所以r=0那個地方也不是真正的奇點，因為我們都在黑洞的外面，只能用黑洞外面的時鐘。Liu,Y. & Zhang, S. N. Phys. Lett. B, 2009, 679: 88-94.

【注4】Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.;Wheeler, John Archibald. Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. 1973:875–876 [24 January 2013].