一杯熱茶倒進黑洞會怎樣？ | 星星背後的物理（七）

知識 08-26

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導讀：

上一篇，我們介紹了「無毛」或只有三根毛的黑洞，這是在不考慮量子效應的情況下，是由廣義相對論的幾個精確解所描述的經典黑洞。如果從熱力學和量子的觀點來考察黑洞，情況就要複雜多了。

撰文 | 張天蓉（美國德州大學奧斯汀分校理論物理博士）

審校 | 張雙南（中國科學院高能物理研究所研究員）、鄭永春（中國科學院國家天文台副研究員）

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黑洞熱力學

上世紀70年代初，在美國的普林斯頓大學，惠勒教授和他的一個博士研究生正在悠然自得地喝下午茶。惠勒突發奇想，問學生：「如果你倒一杯熱茶到黑洞中，會如何？」惠勒的意思是說，熱茶既有熱量又有熵，但據說一切物質被黑洞吞下後就消失不見了。那麼，第一個問題是：熱茶包含的能量到哪裡去了呢？第二個問題則與熱力學有關，將熱茶與黑洞一起構成一個系統，茶水倒進黑洞之後，整體的「熵值」似乎不是增加而是減少了，這不是有悖熱力學第二定律嗎？

?圖1：黑洞的信息分布在視界的表面上

當時愛因斯坦已經去世17年，國際上的許多理論物理學家並不看好對引力理論的深入研究，已經將熱點轉向基本粒子還原論的角逐競賽中。世界範圍內仍然在研究廣義相對論的「遺老遺少」主要有三個小組：莫斯科的澤爾多維奇；英國的夏瑪，夏瑪是如今鼎鼎有名的霍金的老師；再就是上文中談及的美國普林斯頓的惠勒。普林斯頓畢竟是愛因斯坦工作生活過二十幾年的地方，廣義相對論在那兒影響頗大，愛因斯坦死後，惠勒教授成為引力理論研究的帶頭人，那個和惠勒在一起喝茶的年輕學生，是後來提出黑洞熵、成為黑洞熱力學奠基人之一的以色列裔美國物理學家雅各布·貝肯斯坦（Jacob Bekenstein，1947年-2015年）。

指導教授提出的問題，令年輕的學子日夜苦思，也激發了他無比的想像力。第一個有關能量守恆的問題比較容易回答。根據愛因斯坦狹義相對論導出的質能關係式：E=mc2，能量和質量，是物質同一個屬性的兩個方面，或者也可以簡單地說成是質能可以互相轉換。當熱茶倒進黑洞之後，它包括的質量及熱量（m）都加到了黑洞原來的質量（M）上，使得黑洞質量M增加了那麼一點點，成為（M+m），因此，系統的總能量（質量）是守恆的。

第二個問題有關「熵」的概念。熵是什麼呢？熵在物理學中有其嚴格的定義，但通俗地說，是表示系統中混亂（無序）的程度。一個孤立系統的熵只增加不減少，系統總是自發走向更為混亂的狀態，比如說：一滴藍墨水滴到一杯水中，很快便會自發地均勻擴散混合到各處，因此均勻混合後的淡藍顏色的「渾」水，比藍墨水孤立集中成「一滴」的狀態具有更大的熵，這個過程絕不會自動地逆反過來，杯子中已經分散各處的藍墨水分子，絕不會自動集合到一起，重新成為「一滴」藍墨水。這就是熱力學第二定律，也叫做「熵增加原理」。俗話常說「覆水難收」就是這個道理。也可以說，熵是系統內部複雜性的量度，或者說，是系統內部隱藏的信息的量度。物體內部越複雜，包括的信息越多，熵就越大。

現在，我們回到熱茶和黑洞的情形。一杯熱茶中有大量的分子，作複雜而快速的熱運動，上下前後左右，速度有快有慢，時而分離，時而靠近，互相碰撞。熱茶的熵，便是這些微觀分子運動複雜性的量度。然而，熱茶倒入黑洞後，這些分子運動的複雜信息都到哪兒去了呢？黑洞被描述得如此簡單，經典黑洞無毛，看起來似乎無熵可言！因為任何天體一旦塌縮成為黑洞，原來的信息都丟失了，無論原來是圓的、扁的、還是方的，是錐形還是環形，內部有多少中子、電子、光子或夸克，這些複雜的情況，黑洞似乎都沒有「記憶」，它只記得三個數值：質量、角速度、電荷。被黑洞吸入的物體包含的信息，似乎也被丟失了。但這點結論似乎與「熵增加原理」相違背。

貝肯斯坦認為，為了保存熱力學第二定律（即熵增加），黑洞一定要有「熵」！

黑洞的熵藏在哪兒呢？貝肯斯坦注意到1972年史蒂芬·霍金的一篇文章。霍金證明了黑洞視界的表面積永遠不會減少。比如說，如果兩個黑洞碰撞結合成一個新的黑洞，那麼，新黑洞的視界表面積，一定大於或等於兩個黑洞視界表面積之和。這個定律太像熱力學的熵增加原理了！貝肯斯坦由此產生了一個大膽的假設：黑洞的熵正比於視界表面積【注1】。

因為熵是複雜性的度量，那麼，貝肯斯坦的假設也就意味著，視界表面積的大小可以量度黑洞的複雜程度，也許黑洞的複雜信息就留在視界面上？換言之，黑洞可能並不是一個「健忘者」，它將它吞進去的物體的複雜信息全部都寫在了視界的表面上，見圖1右圖。

這在當時被認為是一個極其瘋狂的想法，遭到所有黑洞專家的反對，唯一支持貝肯斯坦瘋狂想法的黑洞專家是他的指導教師惠勒。惠勒似乎總是支持任何瘋狂的想法。比如當年惠勒的另一個學生：休·艾弗雷特（Hugh Everett III，1930年－1982年），也是在惠勒的支持下，因提出量子力學的多世界詮釋而著名。惠勒自己就曾經有過許多瘋狂的念頭。惠勒最著名的學生費曼曾經這樣說：「有人說惠勒晚年陷入了瘋狂，其實惠勒一直都瘋狂。」

霍金輻射

於是，貝肯斯坦在老師的支持下建立了黑洞熵的概念。然而隨之又帶來一個新問題：熱力學中的熵，是一個系統平衡狀態的態函數。平衡態是由溫度來表徵的，如果黑洞具有熵，那它也應該具有與熵值相對應的溫度。再接下來，如果黑洞有溫度，根據物理學中黑體輻射的規律，即使這個溫度再低，也可能會產生熱輻射。其實這是一個很自然的邏輯推論，但好像與事實不符。不是說任何物質都無法逃逸黑洞嗎？怎麼又可能會有輻射呢？但當時的貝肯斯坦畢竟思想還「瘋狂」得不夠，他並沒有認真去探索黑洞有無輻射的問題，而只是死死咬住「黑洞熵」的概念不放。

還是霍金的腦瓜子轉得快，提出了黑洞輻射。但其實，最早認識到黑洞會產生輻射的人並不是霍金，而是莫斯科的澤爾多維奇，霍金開始並不同意貝肯斯坦的觀點，他正是從與貝肯斯坦的戰鬥中，以及澤爾多維奇等人的工作中吸取了營養，得到啟發，意識到這是一個將廣義相對論與量子理論融合在一起的良好開端。於是，霍金進行了一系列的計算，最後承認了貝肯斯坦「表面積即熵」的觀念，提出了著名的霍金輻射【注2】。

?圖2：霍金輻射

霍金與貝肯斯坦一起得到了黑洞溫度的表達式。然後，根據黑體輻射的基本原理，自然便得到與此溫度相對應的黑體輻射譜。由此出發，霍金提出了黑洞也會輻射的概念。當然，黑洞輻射不是一句話或者一個簡單的公式就能了事的，首先得說明輻射的物理機制。根據霍金的解釋和計算，黑洞輻射產生的物理機制是黑洞視界周圍時空中的真空量子漲落。在黑洞事件視界附近，量子漲落效應必然會產生出許多虛粒子對。這些粒子反粒子對的命運有三種情形：一對粒子都掉入黑洞；一對粒子都飛離視界，最後相互湮滅；第三種情形是最有趣的：一對正反粒子中攜帶負能量的那一個掉進黑洞，再也出不來，而另一個（攜帶正能量的）則飛離黑洞到遠處，形成了霍金輻射，見示意圖2。由於掉進黑洞的粒子攜帶負能量，能量守恆要求黑洞的總能量（質量）必須減少。

如此一來，黑洞在物理學家們眼中的形態發生了變化。黑洞不再無毛，原來只見稀疏的幾根毛，是在遠處「觀察」的經典黑洞，現在舉著放大鏡仔細瞧，結果就不一樣了：黑洞熵的存在，似乎讓視界表面密密麻麻「印」滿了信息；霍金輻射使得黑洞不黑，至少不是「全黑」，而是長滿了無數多的「輻射毛」。

如今，天文學家們在宇宙中已經觀測到很多黑洞的候選天體，是否有證據證實霍金輻射真實存在呢？答案是：迄今為止還沒有。這是因為黑洞雖然有輻射，但強度卻微乎其微。從計算黑洞溫度的公式可知，黑洞的溫度與黑洞質量M成反比，對一般情況下的黑洞，計算出來的溫度值非常低，大大低於宇宙中微波背景輻射所對應的溫度值（2.75K），因此不太可能在宇宙空間中觀測到霍金輻射。不過，從宇宙學的角度看，黑洞基本上分為三類：恆星黑洞（由質量大於3倍太陽質量的恆星經由引力塌縮而成）、超大黑洞（位於星系中心，質量可以是太陽質量的上百或者上億倍）。除此之外，還可能存在一種微型黑洞，又稱作量子黑洞，質量小到可與月球質量比較，或者更小。在這個尺度上，量子力學效應將扮演重要角色。這種黑洞有可能是在宇宙大爆炸初期產生的原生黑洞，也許在不遠的未來將被天文學家捕捉到？那時候有可能驗證霍金輻射。

黑洞信息悖論

理論越複雜帶來的問題越多。儘管霍金輻射目前仍舊屬於理論研究的階段，但已經使得霍金及黑洞物理學家們傷透腦筋，霍金也多次更改他對黑洞的看法，將黑洞視界上的「毛髮」性質進行著各種各樣的改變。

霍金輻射導致的最典型問題，是所謂「黑洞信息悖論」。

如前所述，貝肯斯坦提出黑洞熵的概念，認為黑洞將它的信息都保存記錄在它的視界表面上，就像一張2維全息圖可以保存3維影像一樣，視界表面就是黑洞質料的全息圖。黑洞是由天體塌縮而形成，形成後能將周圍的一切物體全部吸引進去，因而黑洞中包括了原來天體大量的信息。然而，現在有了霍金輻射，輻射粒子在視界附近隨機產生，逃離黑洞引力，並帶走一部分質量，這樣便會造成黑洞質量的損失，黑洞質量會越來越小，逐漸收縮並最終「蒸發」而消失。因為霍金輻射粒子是因為真空漲落而隨機產生的，不可能帶走黑洞有關的任何信息，這種沒有任何信息的輻射最後卻導致了黑洞的蒸發消失，那麼，當黑洞蒸發消失之後，原來「記憶」在視界面上的信息也全部消失了，這個結果與量子理論相違背，量子理論認為信息不會莫名其妙地丟失。這就造成了黑洞的信息悖論。

此外，形成「霍金輻射」產生的一對粒子是互相糾纏的。處於量子糾纏態的兩個粒子，無論相隔多遠，都會相互糾纏，即使現在一個粒子穿過了黑洞的事件視界，另一個飛向天邊，似乎也沒有理由改變它們的糾纏狀態。而量子糾纏的基本性質告訴我們，一旦其中一個粒子的狀態改變，另外一個粒子的狀態必須瞬時改變，這和黑洞的視界內外無法聯繫似乎是有矛盾的，這點也困惑著理論物理學家們。

?圖3：（a）經典黑洞和黑洞熵（b）霍金輻射與量子力學的矛盾

圖3a所示黑洞的左邊代表「無毛」的經典黑洞。如果考慮黑洞的熱力學性質，便相當於認可黑洞有一定的內部微觀結構，如圖3a右半邊所示。能量在這種結構中的分配方式構成了黑洞熵，熵值的大小正比於黑洞視界的表面積。圖3b表示黑洞信息丟失與量子力學理論的矛盾。

信息悖論的爭論和探討不斷，似乎在黑洞專家們之間發起了一場「戰爭」，在美國斯坦福大學教授倫納德·薩斯坎德（Leonard Susskind，1940年－）的《黑洞戰爭》一書中，對此有精彩而風趣的敘述【注3】。

霍金相信他的研究結果，只好認為信息就是「丟失」了。戰爭的另一方則強調量子力學的結論，認為信息不可能莫名其妙地丟失。黑洞視界猶如一張儲存立體圖像信息的「全息膠片」，在霍金輻射過程中，所有這些保存在二維球面上的信息，應該會以某種方式被重新釋放出來。

霍金的「軟毛」黑洞

?圖4：「黑洞信息悖論」大事記

縱觀黑洞概念的發展，變化都糾纏於視界的附近。從經典的廣義相對論觀點，黑洞包含了時空的奇點，是理論應用到極致的產物。之後的黑洞熱力學和霍金輻射又涉及到量子理論。因此，黑洞提供了一個相對論與量子相結合的最佳研究場所，使得理論物理學家們既興奮又頭痛。2015年LIGO接收到了黑洞合并事件產生的引力波，更讓物理學家們感覺這方面的理論設想有了付諸於實驗驗證的可能性。

圖4列出了從1916年廣義相對論預言黑洞開始，到之後的黑洞信息悖論，對「黑洞視界」的描述所歷經的幾個關鍵年代。本世紀初，隨著物理學特別是弦論的發展，越來越多研究人員認為，掉入黑洞中的信息會在黑洞消失時逃逸出來，這些討論迫使霍金於2004年接受了這種觀點，儘管他仍然不清楚信息是如何逃逸的。

2012年左右，美國加州大學聖芭芭拉分校四位理論物理學家（AMPS），以約瑟夫·玻爾欽斯基（Joseph Polchinski）為首，發表了一篇論文：Black Holes：Complementarity or Firewalls？【注4】。文中提出了「黑洞火牆」理論。他們認為，在黑洞的視界周圍，存在著一個因為霍金輻射而形成的能量巨大的火牆。當量子糾纏態的粒子之一，穿過視界掉到這個火牆上的時候，並不是像廣義相對論所預言的，悠悠然什麼也不知道，毫無知覺地穿過視界被拉向奇點，而是立即就被火牆燒成了灰燼。原來的量子糾纏態也在穿過視界的瞬間便會立即被破壞掉。

這篇論文把矛盾集中到了黑洞的事件視界上。霍金於2013年8月份在加州聖巴巴拉卡維利理論物理研究所召開的一次會議上發表了講話，就此爭論表態，並於2014年1月22日發表一篇文章，提出另一種新的說法，認為事件視界不存在，所以也沒有什麼火牆。霍金代之以一個替代視界叫做apparent horizon（表觀視界），認為這個所謂的表觀視界才是黑洞真正的邊界。並且，這一邊界只會暫時性地困住物質和能量，但最終會釋放它們。因此，霍金宣稱黑洞不黑，應該叫做「灰洞」。

在2016年1月的一篇網上文章中，霍金又有了新花樣，他和劍橋大學同事佩里，及哈佛大學的斯特羅明格的文章後來發表在物理評論快報上【注5】。文中表示，導致信息悖論問題的原來假設中有一些錯誤。他們的最新文章指出了該問題的研究方向，也許能帶來解決悖論的方法。

上述文章認為，在霍金原來對黑洞輻射的解釋中有兩個隱含的錯誤假設，一是認為黑洞雖然有熵但仍然「無毛」，二是認為真空是唯一的。而實際上，量子理論中允許無數個簡併真空，另外，黑洞並非「無毛」，而是長滿了「軟毛」。

「軟毛」的概念與斯特羅明格近幾年的另一個研究有關。原來所謂的「黑洞無毛」原理中決定黑洞的三個參數，對應於能量（質量）、電荷、角動量3個守恆量。斯特羅明格在研究引力子散射時發現，在量子真空中存在無數多個守恆定律，相當於有無數多根毛。不過，這是一些「軟毛」。「軟」的意思是說，這些「毛」的能量極低，低到測量不到的範圍。並且，「軟毛」的理論對電磁波也成立，因此，三人便將其用於黑洞研究中，通過考慮存在黑洞時的電磁現象來解釋信息悖論，據說得到不錯的結果，稱之為黑洞的「軟毛定理」。

比如說，黑洞附近真空中存在能量極低（幾乎為零）的光子，可稱為「軟」光子。這種「新真空」對應一種新守恆荷，新守恆荷的守恆定律是通常電荷守恆的推廣。在經典的引力與電磁學中，黑洞視界對新守恆荷的貢獻為零，而霍金等三人的文章中研究了黑洞視界對新守恆荷的貢獻，認為這種貢獻不為零，這些軟光子組成了黑洞上的「軟毛」。黑洞可以攜帶的軟毛有無數根。作者還進一步證明了，在黑洞輻射時，即一個粒子掉入黑洞，一個粒子飛離黑洞的過程中，會為黑洞增添一個軟光子，或者說，激發視界長出一根「軟毛」。「軟毛」上記載著掉入黑洞的粒子的信息，新守恆荷的守恆定律意味著黑洞蒸發時視界「軟毛」上的有關信息將被釋放出來。

霍金等三位作者也承認他們並沒有完全解決黑洞信息悖論，他們研究了「軟」光子，但尚未研究「軟」引力子。此外，這種「軟毛」是否能夠真正解決信息丟失問題？也還有待研究者們進一步的跟進。

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注釋：

【注1】參考文獻：Bekenstein, Jacob D. (April 1973)."Black holes and entropy". Physical Review D 7 (8): 2333–2346.

【注2】參考文獻：Hawking,S. W. (1974). "Black holeexplosions?". Nature 248 (5443): 30–31.

【注3】參考文獻：[美]倫納德·薩斯坎德著，李新洲等譯，《黑洞戰爭》[M]，湖南科技出版社，2010年, pp. 155-210。

【注4】參考文獻：A.Almheiri, D. Marolf, J. Polchinski, J.Sully, Black Holes: Complementarity orFirewalls?，J.High Energy Phys. 2, 062 (2013).Firewall可以翻譯成防火牆，但在這兒的意思不是「防火」的牆，而是「著火」的牆，故翻譯為「火牆」。

【注5】參考文獻：S. W. Hawking, M. J. Perry, and A.Strominger, 「Soft Hair on Black Holes,」 Phys. Rev. Lett. 116, 231301(2016).