數學是人為創造還是自然的規律？

謝邀。

首先贊同高票答案引用的那句話：「Physics reflects physical reality, while mathematics reflects all logically possible realities.」

數學研究的對象，並不一定非要是物理世界中真實存在的東西，他研究的很多都是抽象的數學結構和pattern。比如有限群這種東西，物理世界中哪有什麼真實存在的有限群？但是很多物理實在自身的對稱性結構裡面會包含有限群（具體例子一下子不好舉，因為物理世界的很多對稱群都是連續的李群而不是離散的有限群。不過有限單群里的魔群可以和弦論扯上關係，這也算是一種聯繫吧）。數學研究的不是具體的物理實在本身，而是物理實在所具有的數學結構。比如PDE里的熱傳導方程，很多人知道它同時也是化學裡的反應擴散方程。熱傳導和反應擴散這兩種物理現象，乍一聽好像沒什麼聯繫，你數學怎麼就強行把這兩個東西攪在一起了呢？但是數學不管，這兩種物理現象背後的數學規律是相似的，可以由同樣形式的數學方程來刻畫，那我就先拋卻物理背景不關，從純數學的角度，從方程本身的角度，去研究這些方程。研究出來的結果，可以同時應用到熱傳導和反應擴散這兩種現象。這就是數學研究之「普適性」的一個體現。兩個表面上沒什麼關係的東西，只要他們具有同樣的數學結構，在數學上就可以把他們放在一起統一處理。

不過還是要多說幾句，如果一個數學對象有實實在在的物理背景，那麼對這個數學對象本身的研究還是有幫助的。因為你不僅可以從純粹數學的角度去研究這個數學對象，你也可以考慮這個數學對象所對應的物理現象、物理理論，從中去找到一些靈感、一些啟發。典型的例子，比如廣義相對論對黎曼幾何和PDE的促進，規範場論對纖維叢理論、聯絡理論的促進，弦論對Calabi-Yau流形、對復幾何的促進，等等。孔良教授最近寫了一篇科普文章：淺議現代數學物理對數學的影響_數理人文_傳送門。我個人認為寫得非常好，最起碼我學到了一些東西，有志於做現代數學物理的人都可以去看看。

最後回到原問題本身。我說這麼多，是不是為了強調數學就是人為創造的呢？其實不是的。我上面說的這些話，只是在說明數學規律不能等同於直接描述自然界的規律，但我仍然認為數學不是人為創造的，數學家是在發現數學世界，而不是創造數學世界。（這一段是我個人觀點，不代表別的人也這麼認為）。我認為存在一個先驗的數學世界，這個世界獨立於我們生存的物理世界，可以說類似於某種先驗存在的精神世界。所有的數學真理，都已經存在於那個世界裡了，數學家不是創造新的規律，而是在發現那個世界已有的規律。我以前以為數學裡的「柏拉圖主義」就是說的這麼一回事，後來知乎上有人告訴我柏拉圖的想法跟這個還不太一樣，不過我也不想管他老人家到底是怎麼想的了～

我之所以會形成這種想法，是因為我感覺，數學家的探索道路，還是有「方向性」的。不是所有邏輯上為真的命題都能稱為數學命題，數學定理不僅僅要是真的，還要是有價值的、有意義的，還要是美的。整個數學體系，是由一部分真命題構建起來的宏大的數學大廈，他是有精緻的結構的，不是一堆雜亂無章的東西堆砌在一起的一個大雜燴。我個人不太相信是數學家自己創造出了這種豐富龐大的結構，而更相信這種結構他原本就在那裡，數學家是發現了這些結構，而不是創造了他們。這個抽象地存在著的數學世界，他與現實的物理世界有著千絲萬縷的聯繫，刻畫了現實物理世界中的很多pattern。然而探索這個世界的最好辦法，恐怕還是通過我們的思想與心靈～