現代邏輯視域下實質真理論研究（下）

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現代邏輯視域下實質真理論研究（下）

劉靖賢

作者簡介：劉靖賢，遼寧大學哲學與公共管理學院副教授，瀋陽 110136； 陳波，北京大學哲學系暨外國哲學研究所教授，北京 100871。

人大複印：《邏輯》2016 年 04 期

原發期刊：《中國高校社會科學》2016 年第 20164 期 第 61-77 頁

關鍵詞：實質真理論/ 建構真理論/ 分層真理論/

摘要：真是實質性質，說一個語句是真的意味著說出比這個語句本身更多的內容。實質真理論借鑒弗雷格的涵義確定指稱原則以及塔斯基關於對象語言和元語言的區分，避免了多元真理論在統一性和多樣性、局部性和全局性之間的糾結。實質真理論包括建構真理論和分層真理論。建構真理論由三個論題構成：根據社會歷史因果描述論確定名稱的指稱；把語境原則與組合性原則結合起來確定語句的意義；實質真理建立在有經驗內容的語義知識的基礎上。分層真理論亦由三個論題構成：理論和模型之間的關係是理論和理論之間的關係；理論與理論之間的關係呈現出等級層次；理論與實在通過多種方式關聯起來，實質真理表現為實用真理、迂迴真理和實驗真理。

接今日上一篇推文

論題1：根據社會歷史因果描述論確定名稱的指稱。

克里普克的直接指稱論認為，一個專名直接指稱它的對象，不需要以名稱的涵義作為中介，因此，專名是嚴格指示詞，它在所有可能世界中都指稱該對象。自然種類詞在指稱機制上與專名類似，因而也是嚴格指示詞。在克里普克那裡，名稱與所指的關係似乎是一種先天的形而上學關係，不需要人們對相應的所指有任何了解和知識；一個指稱在初始命名儀式上被給予某個名稱，後來說到和聽到這個名稱的人都按照這種方式使用這個名稱，即使他們對這個指稱的狀況一無所知。克里普克對名稱的說明是不正確的，(32)在此不做贅述。我們在批判地繼承傳統描述論的基礎上，借鑒直接指稱論的合理因素，發展出社會歷史因果描述論，在本質上貫徹了弗雷格涵義確定指稱的原則。

根據社會歷史因果描述論，名稱(33)起源於命名儀式，命名是通過實指和描述兩種方式進行的。實指命名是通過直接指向一個所指(34)來給它命名，但是大部分所指都不在人們能夠直接指向的範圍內，所以大部分名稱都不是通過實指的方式與所指發生關聯的，只有通過描述的方式才能充分說明名稱與所指的關聯。正是由於實指和描述兩種命名方式相互補充，人們能夠命名的對象的範圍非常廣泛，包括物理對象、抽象對象、虛構對象以及內涵對象。命名不是個人行為，而是社會化事件，只有具有適當社會身份的人或相關領域的專家進行的命名才能得到語言共同體的普遍認可。在由人們的社會交流活動所構成的因果歷史鏈條上，所傳遞的是關於名稱所指的描述性信息，該鏈條實際上是一根連續的信息傳播鏈條。只有那些被語言共同體認可的信息才能進入該名稱的涵義。必須給出關於所指對象的足夠多的描述性信息，才能保證名稱的後來使用者把該名稱用到先前使用者所用到的那些對象上。

因此，被語言共同體認可的那些描述性信息構成了名稱的涵義，這些描述摹寫了名稱之所指的區別性特徵。對於識別和確定某個所指而言，與它相關的描述性信息既不能完備地列舉出來也不構成一個封閉的集合，而是隨著語言共同體的交流實踐不斷地修改、增刪和完善。詞典、教科書和百科全書實際上是人們先前認知成果的濃縮和總結，具有經驗的起源和意義，反映了人們關於名稱的語義共識，體現了語言表達式涵義的約定性特徵。此外，相對於認知者的實踐需要，可以為某個名稱的眾多描述性信息排出某種優先序，某些描述比其他描述更重要，所以被賦予更高的認知權重。

論題2：把語境原則與組合性原則結合起來確定語句的意義。

組合性原則是說，複合表達式的意義由它的結構以及它的構成成分的意義確定。因此，語言的意義可以由語法結構和辭彙語義確定。蒙塔古還給出了組合性原則的形式化表述，其要點是，在語言表達式與其意義之間建立一種同態關係。(35)誠然，組合性原則既可以系統地說明自然語言的組合生成結構，也可以使人類能夠理解無窮多個複合表達式的意義，也正是在這個意義上包含無窮多語句的語言成為可學習的。這是組合性原則的優點，但它的缺點也是明顯的。首先，語言不僅表達思想，而且摹畫世界。如果語言本身具有一種組合性結構，那麼思想和世界也應該具有類似的組合性結構。這是一個很強的假設，很難為其辯護。維特根斯坦在《邏輯哲學論》中建立了語言和世界之間的同構關係，但他在後期思想中批判了這種做法。其次，組合性原則對語言的理解形成制約。為了滿足組合性原則，人們需要為所有複合表達式的構成成分確定意義。當然，人們可以任意規定一個構成成分的意義，但這既不意味著對複合表達式意義的理解過程是從它的構成成分開始的，也不意味著給出了簡單表達式與其意義之間關係的充分說明。

事實上，除了組合性原則，語境原則對於理解語言意義來說也是十分重要的。語境原則是說，如果一個複合表達式作為整體是有意義的，那麼它的各個構成成分也是有意義的。表面上看來，語境原則似乎與組合性原則衝突，但事實並非如此。一方面，如果把語境原則理解為逆組合性原則，即一個表達式的意義是由一個它作為構成成分出現在其中的複合表達式確定的，那麼逆組合性原則與組合性原則是衝突的；另一方面，如果把組合性原則理解為簡單表達式優先原則，即如果簡單表達式是有意義的，那麼它們作為構成成分出現於其中的複合表達式是有意義的，那麼語境原則與簡單表達式優先原則是衝突的。然而，組合性原則是說，意義的確定是自下而上的，而語境原則是說，意義的確定是自上而下的。如果意義的確定是一種雙向互動的關係，那麼語境原則與組合性原則並不衝突。因此，正如在命名過程中實指和描述不僅不矛盾而且相互補充，都可以用來確定名稱的指稱，類似地，組合性原則和語境原則也不僅不矛盾而且相互補充，都可以用來確定語句的意義。

與此同時，我們可以對語境原則做進一步區分和推廣。首先，不僅有關於指稱的語境原則，而且有關於涵義的語境原則。前者是說，如果一個複合表達式作為整體是有指稱的，那麼它的各個構成成分也是有指稱的；後者是說，如果一個複合表達式作為整體是有涵義的，那麼它的各個構成成分也是有涵義的。其次，簡單表達式的意義不僅是由複合表達式的意義確定的，而且是由說話者的意向、話語的背景條件、知識網路等因素確定的。我們把這種推廣稱為廣義語境原則，它是語言的社會性、約定性和歷史性的體現。雖然組合性原則能夠充分說明人工語言的語法結構，但是不能充分說明自然語言的語法結構，所以它需要與涵義語境原則和廣義語境原則結合起來。漢語中的很多成語典故不能僅僅通過組合性原則理解其意義，而需要了解它們的歷史背景和歷史演變，例如塞翁失馬、精衛填海、刻舟求劍等等。

論題3：實質真理建立在有經驗內容的語義知識的基礎上。

語義知識是經驗知識，是被語言共同體所接受的語言意義，是對人們語言實踐的歸納和總結。如果把真理看作是語義概念，那麼為了讓真理獲得實質內容，不能在單純形式語義學的框架下理解語義，而應在人類經驗知識的廣大背景下理解語義。真理不是簡單的和初始的，而是派生於人類經驗知識的。因此，從這個角度看，不是通過真理論給出意義論，而是通過意義論給出真理論；也就是說，不是通過識別語句的真值條件從而識別出語句的意義，而是通過識別出語句的意義從而識別出語句的真值條件。

根據前文關於語境原則與組合性原則互補關係的說明，我們把意義確定真值的方式區分為三種情況。第一種情況，如果組合性原則有效並且符合語言共同體的直觀，那麼通過名稱的涵義確定名稱的指稱，然後利用組合性原則從簡單表達式的指稱得到複合表達式的真值。第二種情況，如果組合性原則僅僅部分有效或者在某種程度上違背語言共同體的直觀，那麼應該把它與涵義語境原則結合起來使用，首先通過涵義語境原則確定簡單表達式的涵義，然後通過簡單表達式的涵義確定簡單表達式的指稱，最後利用組合性原則從簡單表達式的指稱得到複合表達式的真值。第三種情況，如果組合性原則失效或者完全違背語言共同體的直觀，那麼通過廣義語境原則確定語句的真值，即根據說話者的意向、話語的背景條件等因素確定語句的真值。上述三種情況都在某種程度上體現了涵義確定指稱的原則。

語境原則和組合性原則的相互補充可以解決困擾多元真理論的混合問題。事實上，正是由於對組合性原則毫無限制的運用導致了混合問題。一方面，「3」和「4」都是語法上的專名，根據組合性原則，「3=4」是一個合適的表達式，通過形式語義學可以確定這個表達式的真值；另一方面，「凱撒」和「安東尼」也都是語法上的專名，根據組合性原則，「凱撒=安東尼」也是一個合適的表達式，通過形式語義學也可以確定這個表達式的真值。然而，不能通過組合性原則形成「3=凱撒」這樣的表達式。雖然「3」和「凱撒」都是語法上的專名，但是它們從屬於不同的範疇，即數的範疇和人的範疇。對語言和範疇的基本直觀表明「3=凱撒」不是一個合適的表達式。值得注意的是，亞里士多德的三段論是對自然語言結構的直觀刻畫，與現代邏輯不同，他沒有把組合性原則強加於自然語言的結構，他的邏輯理論保持了人們對範疇的基本直觀，所以在他那裡不會出現所謂的混合問題。對範疇的基本直觀來源於對廣義語境原則的把握，但是組合性原則的瘋狂使用讓人們喪失了這種基本直觀。因此，對於建構真理論來說，多元真理論所面臨的混合問題根本就不是一個問題。

我們可以通過兩個反面案例來說明建構真理論的合理性。第一個反面案例是菲爾德的物理主義真理論。他早年試圖在物理主義框架下將塔斯基的真理論發展為符合論。在他看來，塔斯基僅僅把真理還原為初始符號的指稱，還需要對指稱進行物理主義還原。正是在這個地方他訴諸克里普克的直接指稱論。後來這個還原主義方案失敗了，菲爾德本人由此轉而支持緊縮論。(36)菲爾德的轉變在某種程度上說明，只有從社會歷史的因果描述論而非克里普克的直接指稱論才能發展出實質真理論。第二個反面案例是戴維森綱領。在戴維森看來，真理是透明的，而意義是晦暗的，只有在真理論特別是塔斯基真定義的基礎上才有可能建立合理的意義論。(37)但是戴維森綱領面臨福斯特問題的挑戰，即像「『雪是白的』是真的當且僅當草是綠的」這樣的異常T語句不符合外延性解釋的要求。(38)為了解決這個問題，戴維森提出過許多方案，但都是不成功的，因為他所主張的真理先於意義的策略違背了涵義確定指稱的原則，不可能調和內涵和外延之間的矛盾。我們認為，戴維森綱領的失敗在某種程度上說明，機械地運用塔斯基的真定義，把意義論建立在真理論的基礎上，是行不通的。

五、分層真理論

現代邏輯的產生和發展，一方面有數學的動機，這對弗雷格來說是為算術奠定基礎的邏輯主義方案，對塔斯基來說是算術真理的不可定義性定理；另一方面也伴隨著對語言的影響，語言哲學作為一門成熟的哲學分支與弗雷格和塔斯基這些邏輯學家的工作有著密不可分的聯繫。這兩個方面既交織在一起，又表現出某種內在張力。因此，雖然邏輯是對真理的追求，但是這種追求離不開數學和語言這兩個維度。上一節我們從語言角度給出了一種實質真理論，這一節將嘗試從數學角度給出另一種實質真理論，即分層真理論(Hierarchical Theory of Truth)。

分層真理論建立在如下模型觀的基礎上。模型通常被看作是結構，它使一個理論的所有語句都是真的，而理論被看作形式語言語句的集合。在這種意義上，人們說理論表徵模型。然而，這種對模型的理解過於狹隘，不能為真理提供實質說明。正如語言不是一個抽象的形式系統，模型也不是一個抽象的數學結構。模型是人類探索實在的工具，因而它具有形而上學維度。模型建立在可觀察現象的基礎上，這些可觀察現象是實在的特徵，所以模型在某個方面或某種程度上表徵了實在。正如語言的使用離不開語言共同體，模型的使用也離不開科學共同體。科學家通過模型為實在提供解釋並且在模型的基礎上建構理論，所以模型代表著科學共同體關於實在的認知模式。很多時候，理論和實在並不是直接關聯起來的，而是通過模型間接地關聯起來。科學家所建立的模型具有假說性，它是對實在的理想化接近，有時候這種理想化甚至是一種省略或歪曲。但無論如何，模型在科學研究中佔據了重要地位。在這種意義上，如下例子都是我們所謂的模型：波爾的原子模型、DNA的雙螺旋模型、地球板塊構造模型、市場均衡模型、人口增長曲線模型等等。在上述模型觀的基礎上，分層真理論的要點包括如下三個論題。

論題1：理論和模型之間的關係是理論和理論之間的關係。

理論通常被看作公理化系統，而模型被看作數學結構。例如，布爾代數被看作命題邏輯的模型，其中命題邏輯的合取、析取和否定分別被解釋為布爾代數的與運算、或運算和非運算。又如，緊緻拓撲空間被看作二階正邏輯的模型，其中合取、析取、全稱量化和存在量化分別被解釋為緊緻拓撲空間中閉集的交集、並集、無窮交和在閉映射下的像。事實上，這些作為解釋模型的數學結構也是可以公理化的。例如，人們可以給出布爾代數的公理，也可以給出緊緻拓撲空間的公理。目前公理化集合論被普遍看作數學的基礎，所以包括代數結構、度量結構、拓撲結構、測度結構在內的任何數學結構都可以在集合論中表述為某種公理化理論。從更為一般的角度看，模型是對實在的一種理想化描述，而理論是科學共同體對這種描述的系統化表述。事實上，很難在理論和模型之間劃分出鮮明的界限，例如，地球板塊構造模型本身就是大陸漂移理論。因此，模型本身就是理論，理論和模型之間的關係是理論和理論之間的關係。

以上觀點在塔斯基的真定義中也可以得到說明。為了一致地定義真謂詞，塔斯基區分了對象語言和元語言，元語言應該比對象語言更豐富：元語言不僅包括對象語言，還包括對象語言的引號名稱(例如哥德爾編碼)、邏輯辭彙(例如「並非」、「或者」)以及語義辭彙(例如「滿足」、「有效」)。在此基礎上還可以區分對象理論和元理論，其中元理論也應該比對象理論更豐富：元理論不僅包括對象理論的公理，還包括初等算術理論(哥德爾編碼工具)、邏輯公理和規則(例如一階邏輯公理系統)以及有關語義概念的公理(從真的遞歸定義派生的公理)。由此可見，根據塔斯基的區分，對理論進行解釋的語義模型實際上也是一種理論，也就是說，理論與模型之間的區分是對象理論和元理論之間的區分。

然而，在塔斯基那裡，元理論並不比對象理論更豐富。假如對象理論是初等算術理論，那麼對象理論本身就已經包含了一階邏輯公理系統和哥德爾編碼工具。在這種情況下，對象語言和元語言之間的區別僅僅在於，元語言包含了語義辭彙；對象理論和元理論之間的區別僅僅在於，元理論包含了從遞歸定義派生的語義公理。雖然按照這種方式可以區分出語言的層次，即對象語言、元語言、元元語言等等，相應地也可以區分出理論的層次，即對象理論、元理論、元元理論等等，但是後一個層次的理論不能為前一個層次的理論的真理提供實質說明，這與前文提到的塔斯基真定義不能為真理提供實質說明的原因是相同的。

論題2：理論與理論之間的關係呈現出等級層次。

為了使元理論為對象理論的真理提供實質說明，我們需要比塔斯基更為實質地區分對象理論和元理論，也就是說，元理論不僅包括對象理論而且包括除語義公理之外更多的東西，從直觀上看，這意味著元理論比對象理論更「強」。我們用可還原性說明元理論比對象理論多出的內容。一個理論被還原為另一個理論是指在保守擴張的中是可解釋的。(39)從這個定義可以得出如下結論：被還原為，當且僅當相對於是一致的，也就是說，如果是一致的，那麼也是一致的。因此，可還原性相當於相對一致性，說兩個理論是相互可還原的相當於說這兩個理論具有相同的一致性強度。

雖然人們可以人為地構造出兩個一致性強度不可比較的理論，但事實上，從事基礎研究的數學家所考慮的理論都是可比較的，而且存在一個理論序列，它們的一致性強度越來越強，任何數學基礎理論都與這個序列中的某個理論具有相同的一致性強度，因此，這個理論序列為數學基礎研究提供了一個衡量標準。這個理論序列是：Robinson算術(Nelson-Wilkie算術或多項式函數算術)、Kalmar算術(冪函數算術)、Gentzen算術(超冪函數算術)……Grzegorczyk算術、Parsons算術、Ackermann算術……一階皮亞諾算術、二階皮亞諾算術……無窮階皮亞諾算術(類似於懷特海和羅素的類型論)、公理化集合論ZFC。(40)目前普遍認為公理化集合論是整個數學的基礎，所有數學理論都可以在它之上建立起來，但是從事基礎研究的數學家仍然在嘗試尋找更強的理論，例如在公理化集合論中增加大基數公理。

在上述數學分層的理論序列中，前一個層次的理論可以還原為後一個層次的理論，但是相反的方向不成立，所以後一個層次的理論「強」於前一個層次的理論，在這個意義上，我們說，後一個層次的理論為前一個層次的理論的真理提供實質說明。從理論分層的角度看，真理的實質性並不直接源於實在，無論是語句還是理論都不能直接與事實或實在建立聯繫，實質真理源於從弱理論到強理論的跳躍，是在弱理論和強理論的比較中產生的。然而，真理的實質性並非與實在無關，理論或模型都是對實在的表徵，在面向實在不斷建構更強理論的過程中，人們也獲得了更有實質內容的真理，所以實質真理間接地源於實在。

上述數學分層僅僅是從可還原性角度說明「強」和「弱」，除此之外還可以通過其他方式去刻畫「強」和「弱」，但是無論如何刻畫，必須保證強的理論與弱的理論相比增加了實質內容。此外，上述數學分層是一種理想化情況，在物理學或其他經驗科學中，似乎很難給出這樣一個標準的理論序列。

論題3：理論與實在通過多種方式關聯起來，實質真理表現為實用真理、迂迴真理和實驗真理。

有時候兩個理論是不可比較的。例如，哥德爾通過可構成集或內模型證明了連續統假設的相對一致性，而科恩通過力迫法或外模型證明了連續統假設的相對獨立性，在這兩個證明結果的背後是兩種不同的集合論模型。有時候還會出現相互矛盾的理論，甚至一個理論內部也會出現矛盾。例如，萊布尼茨的微積分理論既要求無窮小為零又要求它不為零，波爾的原子理論既要求束縛電子發射能量又要求它不發射能量。更為嚴重的是，對於最強的理論，例如帶有大基數公理的集合論，無法為它的真理提供實質說明：一方面，根據哥德爾不完全性定理，一個理論不能證明自身的一致性，所以一個理論不能被還原為它自身，即一個理論不能為它自身的真理提供實質說明；另一方面，如果有一個理論可以解釋這個最強的理論，那麼這個最強的理論就不再是最強的理論。我們將對上述三種情況分別給予說明。

首先，在兩個理論不可比較的情況下，既不能把其中一個理論還原為另一個理論，也不能用一個理論說明另一個理論的真理。這時可以通過外在標準做出評價，例如，訴諸溯因推理或最佳解釋推理，根據簡單性和優雅性對理論進行選擇。(41)如果一個根據實用標準選擇出來的理論為另一個理論的真理提供了實質說明，那麼我們把這種真理稱為實用真理。也許人們仍然會質疑，根據這些實用標準選擇的理論是否能夠通向真理，這個問題在終極意義上可能是無法回答的。面對多元的理論，人們或許無法做出最終的裁決，在這種情況下人們不得不面對多元的真理，這似乎也意味著人們不得不面對多元的實在。

其次，在兩個理論相互矛盾的情況下，有兩種應對策略：一種是消解或迴避矛盾，一種是承認或容忍矛盾。矛盾是局部性和階段性的，歷史上的三大數學危機說明，雖然矛盾帶來巨大挑戰，但人們總是可以通過某種手段(無論是好還是壞)在某種程度上避免矛盾。當然，在某個特定時期和特定領域內似乎不得不學會與矛盾相處，這時人們可以採取一些弗協調策略。(42)例如，把相互矛盾的理論隔離開來，劃分為兩個自身一致的理論，在保證一致的前提下通過某些限制性條件允許一個理論的定理進入另一個理論中，然後看一看通過這種方式能夠得到什麼新理論。不論是通過消解矛盾而得到的新理論還是通過弗協調策略得到的新理論，它們都可以為一個理論的真理提供實質說明，我們把這樣的真理稱為迂迴真理。

最後，如何給最強理論的真理提供實質說明。實際上，最強理論或模型具有相對獨立性，或者說，它們已經被看作實在的替身或代理。在這種情況下，任何其他理論都不能為最強理論的真理提供實質說明，但是人們仍然要對最強理論或模型進行探索和研究。在沒有其他參照理論或模型的幫助下，人們的探索和研究只能訴諸實驗。這裡所謂的實驗，除了傳統意義上的實驗外，還包括思想實驗和計算機模擬實驗，前者的例子包括麥克斯韋的精靈、愛因斯坦的電梯、塞爾的中文屋、普特南的孿生地球等等，後者的例子包括星系的形成和演變、高能重離子的反應、對戰爭結果的預測、對經濟發展的預期等等。人們通過實驗可以進一步研究最強理論或模型的結構和功能，對它們進行修正、擴展和完善，在某種程度上為它們的真理提供實質說明，我們把這種真理稱為實驗真理。

六、概要性評論

綜上所述，我們從兩個方面說明了實質真理。一方面，我們不把語言看作自足的符號系統，而是對其進行擴展性理解，提出了建構真理論，在社會歷史因果描述論的基礎上，貫徹了涵義確定指稱的原則，把組合性原則與語境原則結合起來，由此把形式語義學擴展為經驗語義學。特別地，我們說明組合性原則與語境原則相互結合的三種情況：組合性原則有效並且符合語言共同體的直觀；組合性原則部分有效或在某種程度上違背語言共同體的直觀；組合性原則失效或完全違背語言共同體的直觀。另一方面，我們不把模型看作抽象的數學結構，而是對其進行擴展性理解，提出了分層真理論，以數學分層的可還原性為例，說明強理論如何為弱理論的實質真理提供解釋，由此把對象理論和元理論之間的區分轉變為弱理論和強理論之間的區分。特別地，我們說明強理論為弱理論的真理提供實質解釋的三種情況：不可比較的理論、相互矛盾的理論、沒有任何參照理論的最強理論；相應地，我們也給出三種應對策略：實用真理、迂迴真理和實驗真理。這兩個方面隱含地強調，實質真理不是絕對客觀的，而是在語言共同體的社會約定中或者在科學共同體的實踐探索中逐步呈現出來的，所謂絕對客觀的真理不過是人類認知無限趨近的極限。

很明顯，本文對實質真理的說明是綱要性的，很多細節還有待補充。第一，實質真理本身具有形而上學維度，對真理的實質說明離不開關於對象、概念和事實的充分說明，所以實質真理論應該建立在對象論、概念論和事實論這些形而上學理論的基礎上。第二，我們對語境原則的說明還過於簡略，語境原則體現了語言的社會約定性，只有充分說明語境原則才能充分說明語言約定性的內在機制。特別地，我們訴諸語境原則解決混合問題的方案過於簡單，還需要考慮更為具體的情況。第三，我們僅僅通過數學分層的可還原性說明強理論和弱理論之間的區別，但是在從數學理論到物理學理論乃至其他經驗科學理論的過渡中，還需要結合具體例子給出其他刻畫強理論與弱理論之間區別的方法。特別地，有關實用真理、迂迴真理和實驗真理的說明過於簡單，還需要考慮更為具體的情況。第四，我們沒有說明與實質真理相關的認識論問題，例如，語境原則在認知方面具有什麼重要意義，對強理論的認知如何實質地說明對弱理論真理的認知。第五，我們沒有說明是否存在與價值有關的實質真理以及如何談論它們，例如所謂的「道德真理」、「美學真理」、「宗教真理」等等。最後，也最為重要的是，我們沒有說明如何將建構真理論與分層真理論有機地整合為一個統一的實質真理論。

注釋：

(39)如果T是L[，1]的語句集，T[，2]相對於T是T[，1]的保守擴張，當且僅當，任給T中語句，如果它是T[，2]的定理，那麼它也是T[，1]的定理。

(40)參見John Burgess,Fixing Frege,Princeton:Princeton University Press,2005,pp.49～75。

(41)參見Timothy Williamson,Modal Logic as Metaphysics,Oxford:Oxford University Press,2013,pp.423～429。

(42)參見Bryson Brown and Graham Priest,「Chunk and Permeate,a Paraconsistent Inference Strategy」,Journal of Philosophical Logic,Vol.33,2004,pp.379～388。