天氣預報的混沌科學：蝴蝶效應

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《智者的困惑：混沌分形漫談》

撰文

丁玖（美國南密西西比大學數學系教授）

天氣預報是個古老並與我們的日常生活密切相關的問題。我們每天都要看看天氣預報以決定出門是否帶傘。遠古時代的天氣預報大概主要是靠猜想或者根據經驗，故傳統的方式不太像科學，更像感官性的一門技術。現代天氣預報基於求解描述大氣運動的微分方程組。理想的情況是我們能夠預報中長期的天氣走向。如果能知道明年的今天天氣是怎麼樣，那該多好啊。但是中央電視台的天氣報告員就要傷心難受，因為飯碗可能就要丟掉。長期天氣預報這個科學幻想小說中可能描繪過的美好前景能夠實現嗎？

二十世紀在非數學的領域中對全人類可能貢獻最大的純粹數學家馮·諾依曼是天氣預報的樂觀主義者。在他非常短暫的五十三年壽命最後的幾年當中，拉普拉斯發揚光大的牛頓式決定論哲學思想佔據著他智慧的大腦，認為描述天氣的方程就像描述行星的方程一樣，都由牛頓力學所確定：既然彗星能被精確預見多少年後會再次光臨，天氣為什麼不能被精確地預報呢？不光如此，他滿腔熱情地展望，隨著大規模科學計算的可能性跟隨著計算機的不斷發展接踵而至，人工控制天氣的美好時代也將會隨之到來。

天氣變化是一個複雜的物理過程，但它被流體力學的基本定律支配著。天氣預報依賴的是求解對應的偏微分方程組，它們的解是溫度、氣壓、風速等這樣的函數變數，而它們以時間及其地球表面上空一定高度內所有點的三個坐標數作為自變數。要確定從某個初始時刻起以後依賴於時間和空間位置的天氣變化的方程解，我們必須知道在那個初始時刻的溫度、氣壓、風速等的空間分布，而這些初始數據可以通過密布全球的觀測站收集。所謂的數值天氣預報，就是數值求解偏微分方程組離散化後的代數方程組。可供觀測的資料越多，這些方程組的尺寸就越大，天氣預報的準確度也就越高。但這在現代電子計算機出現之前的幾百年間是難以做到的。

從馮·諾依曼五十年代初在位於美國新澤西州的普林斯頓高等研究院造出第一台現代計算機，他就立下矢志，讓越來越強大的電子計算機成長為一位「人造的英雄」，為天氣預報以及更進一步控制天氣發揮重要作用。真可惜，他萬萬都沒有想到，操縱天氣變化的微分方程內在的特性即將扮演著一個反英雄的角色，讓他所有的雄心壯志化為烏有。

發現這位反英雄的是愛德華·洛倫茨（Edward Norton Lorenz, 1917—2008）。

洛倫茨1917年出生於美國東北部新英格蘭地區的康涅狄格州西Hartford市，從孩童起就是一個氣象迷，每天都在他家房子外面注視那個測量氣溫的溫度計上的記錄。他先後在達特茅斯學院和哈佛大學學數學，1938年獲得前者的數學學士學位，兩年之後拿到後者的數學碩士學位。在第二次世界大戰中的1942年直至戰後的1946年，他如願以償地成為美國空軍的一名氣象預報員。二戰結束後，他又回到了學校讀書，興趣自然轉向到氣象學研究，故決定學氣象，並從麻省理工學院拿到這個領域的兩個學位，包括1948年的博士學位。他最終成了這所名校的氣象學教授。

從戰爭的經歷中，洛倫茨就清楚地知道天氣預報對於空軍作戰勝利的至關重要性。1944年6月「D-Day」的歐洲戰場盟軍諾曼底登陸成功，那幾天關鍵的「惡劣天氣間有十幾小時的好天氣」的精確天氣預報是無名的英雄，當然它的盟軍最高指揮官、美國未來的第三十四任總統德懷特·艾森豪威爾（Dwight D. Eisenhower, 1890—1969）是眾所周知的有名的英雄。儘管短期天氣預報已經基本上令人信服，然而，那個時代的中期天氣預報準確性依然不盡如人意。現實背景讓洛倫茨毫不奇怪地把「大氣」納入他的研究版圖。在他漫長的科學生涯之中，麻省理工學院的美國氣象科學先驅之一、出生於瑞典並且最終也在祖國首都去世的卡爾-古斯塔夫·羅斯比（Carl-Gustaf Rossby, 1898—1957）對他的研究之路深有影響。在著名的挪威物理學家和氣象學家維爾海姆·比葉克尼斯（Vilhelm Bjerknes, 1862—1951）用於氣候模型的原始方程激勵下，羅斯比和其他氣象學家曾經開發出世界上第一個動態大氣模型。

1960年，洛倫茨選擇數值天氣預報方程時，選取了十二個微分方程來決定十二個變數，用計算機來模擬天氣，並已注意到這個微分方程組具有非周期解。但是一打方程，對於當時的計算機計算起來還是有點多。最後，他決定從美國耶魯大學的青年地質及地球物理教授巴里·薩爾茨曼（Barry Saltzman, 1931—2001）最終於1962年發表的論文中所研究過的一組七個方程中挑選出三個。這些方程描繪流體的對流運動，即受熱流體的上升運動，就像當我們夏天走在被太陽烤熱的柏油馬路上看到的冉冉升起的氣流那樣。這三個方程組成的系統儘管是非線性的，卻是十分簡單的非線性，只有變數的二次項出現，並能對他所製造的「玩具天氣」令人信服地模擬。

1961年冬季的一天，美國東北部寒冷的天氣似乎也在等待一個科學的春天到來。洛倫茨教授像往常一樣地走進他任教的美國麻省理工學院氣象系的辦公室，繼續用他的那台Royal McBee公司製造的簡陋計算機來計算與天氣預報有關的那三個簡單非線性微分方程的初值問題的數值解。

這一天，與往常一樣算了一陣子之後，為了休息一下，洛倫茨暫停了計算，只是把計算機終端上的數據抄了下來，作為再次計算的初始數據輸入計算機，然後他穿過大廳下樓喝咖啡去了。

第一台電子計算機

從左至右依次為：洛倫茨、羅斯比、比葉克尼斯、薩爾茨

一小時之後他回到辦公室，十分吃驚地看到計算機並沒有精確地重複老結果，這不是理所當然的事。照理說，程序一樣，初始值一樣，輸出結果也應該一樣。難以理解的是，他發現新的計算結果同上一次的計算結果隨著時間的推移迅速偏離，面貌全非。不到幾個「月」時間，「天氣」完全不一樣了。嚴謹而又細心的他將信將疑地重新算了幾次，類似的現象在反覆試驗中總是出現。他的腦海里立刻閃過一個念頭：計算機壞了。

但是，計算機完好無缺。一剎那，洛倫茨明白了。這個偉大的理解，借用美國科學記者格萊克的語句，「播下了一門新科學的種子」。他這個無意之中的收穫，表面上雖屬偶然發現，好像一個人們常常經歷的隨機事件，本質上實屬必然結果，純粹是水到渠成。造福全人類的英國細菌學家、1945年諾貝爾生理及醫學獎得主之一亞歷山大·弗萊明（Alexander Fleming, 1881—1955）1928年秋培養細菌時偶然發現盤尼西林的歷史一幕又在美國重演了。

原來，計算機內存中的數據保持六位小數，輸出時為了節省空間，只列印了四捨五入後留下的三位小數，比如0.123456打成0.123，0.456789打成0.457。他喝咖啡前抄下的數據只有三位小數，與舊的計算結果僅僅相差不到千分之一，而將其打進計算機作為再次計算的初始值，新的計算結果和原先預期的計算結果就會大相徑庭，這真是奇怪的現象，與人們通常的觀念相悖。

通常的觀念是：小的輸入誤差導致小的輸出誤差。這是一切物理、幾何測量的依據。任何測量都有誤差，但只要誤差足夠小，結果就應該足夠精確。譬如要算出一個正方形的面積，經驗告訴我們，只要邊長量得足夠仔細，算出的面積就足夠令人滿意。

但是，小的輸入誤差也會導致大的輸出誤差。如果我們用天文望遠鏡來觀察月亮上的一個物體，望遠鏡仰角極小的增加就會把我們的視線落在月球表面另一個相距甚遠的目標上。這是因為地球和月亮之間的距離，作為角度測量誤差導致弧長計算誤差的「放大因子」，實在是太大了。

即便放大因子不太大，持續不斷的放大也會「聚沙成塔、集腋成裘」。讓我們做個簡單的數學實驗。隨便取一個0和1之間的數，加倍一下。如果結果還在0和1之間，就得到下一個數，再做同樣的事；如果結果比1大，就砍掉它的整數部分，得到下一個數，再做同樣的事。如此周而復始，給出一個無窮迭代過程，所有的迭代點都落在0和1這兩個數之間。

這個迭代產生的數列的每一個數都是前一個數乘以2，再去掉結果的整數部分。比方說，如果第一個數取為/8，後面依次/4，/2，－1，2(－1)，4－5，8—11，等等。如果第一個數有了1%的小誤差，那麼第二個數的誤差就加倍為2%，第三個數的誤差大到4%，以後依次增加到8%，16%，32%，64%等等。我們看到，第七個數的誤差是初始誤差的倍。每次都放大一倍的數量遞增會迅速地增加到令人目瞪口呆的地步，就像喬治·伽莫夫（George Gamow, 1904—1968）在1946年初版的科普名著《從一到無窮大——科學中的事實和臆測》（One, Two, Three...Infinity: Facts andSpeculations of Science）中一開頭那個智者戲弄富豪的「大數故事」所講的那樣。寫了許多優美科普書籍的傑出物理學家伽莫夫生於俄國，後來移民美國，常與好朋友烏拉姆討論與無窮大有關的科學問題。

洛倫茨在他的計算中看到了這種「對初始值的極端敏感性」。他終於領悟到這一異常現象根植於天氣預報所依賴的微分方程組的這個內在特性，而不是什麼計算過程中的舍入誤差在作怪。後來，在其1995年出版的《混沌的本質》（The Essence of Chaos）這本有中文譯本的書里，他再一次回憶到自己當時的想法：

「如果實際大氣的形態像這一簡單模式的話，那麼長期天氣預報將是不可能的。溫度、風以及其他和天氣有關的量，確實不能精確地測量到三位小數。即使能夠這樣，但在觀測點之間進行內插也不能達到類似的精確度。我有些激動，並且很快將我的發現告訴了一些同事。最終，我確信小的差別的放大是缺乏周期性的原因。」

洛倫茨由此得出結論：

「一個確定性的系統能夠以最簡單的方式表現出非周期的性態。」

洛倫茨把他的發現和分析寫成了論文「確定性非周期流」，發表在美國氣象學會的《大氣科學雜誌》（Journal of the Atmospheric Sciences）1963年的第二十卷第二期上。他的如下斷言無情地擊碎了幻想長期天氣預報一勞永逸的美夢：

「由於天氣觀測存在自不待言的非精確性和不完全性，長期、準確的天氣預報將是不可能的。」

日後，洛倫茨把這一現象形象地比喻成「蝴蝶效應」，用在了他1979年12月29日在美國科學促進會上的演講題目：「可預見性：一隻蝴蝶在巴西扇動翅膀會在得克薩斯引起龍捲風嗎？」

就憑洛倫茨創造出的蝴蝶效應這一混沌科學定義的形象提法，他就可當之無愧地躋身於當代科學普及大師的行列之中。有多少嚴謹的科學家能把深刻的科學發現像立體電影似的栩栩如生地展現在芸芸眾生的眼前，令他們有身臨其境之感？洛倫茨就能！他的蝴蝶效應甚至在人文學科的眾多領域裡也引起一連串的派生效應。例如，在百度的百科網頁上就能讀到這樣的說法：

「蝴蝶效應在社會學界用來說明：一個壞的微小的機制，如果不加以及時地引導、調節，會給社會帶來非常大的危害，戲稱為『龍捲風』或『風暴』；一個好的微小的機制，只要正確指引，經過一段時間的努力，將會產生轟動效應，或稱為『革命』。」

伽莫夫（左）、《從一到無窮大》（右）

中國這些年房地產業的狂猛發展和中央政府的調控措施，或許能給上述斷言一個比較合理的解釋。

喜歡一睹中國斯諾克撞球名將丁俊暉（1987—）比賽風采的人也可以從圓球與桌面邊界四周撞擊的軌跡中領略蝴蝶翅膀的洛倫茨效應。只要丁俊暉擊球杆的運動方向有一絲絲的小改變，幾經反射後的球的最終目標就可能讓他奪冠的希望撲空。「一招不慎，滿盤皆輸」應該是丁俊暉容易記住的一句成語了。由於撞球的幾何運動軌跡基於非線性函數的迭代理論，非線性分析中就多了一門數學分支：撞球動力學（dynamical billiards）。在這個領域，現在在普林斯頓大學數學系任教的俄羅斯數學家、在確定性動力系統和概率隨機系統之間建造了一座橋樑的建築大師雅科夫·西奈依（Yakov G. Sinai, 1935—）以他用來刻畫氣體熱力學性質的「西奈依撞球」模型著稱。它的幾何形狀只是挖去了中央圓盤的一個正方形，但是其撞球動力學則具有豐富的數學內容。有趣的是撞球健將們一般不懂撞球動力學理論，而這個理論的行家也大都不會打撞球。

蝴蝶效應（左）、《大氣科學雜誌》（右）

天氣預報的蝴蝶效應由於格萊克1987年的那本面向大眾的國際暢銷書《混沌：開創新科學》而成為路人皆知的一個形象說法、一個專用名詞。現已在該校退休的美國南密西西比大學數學系的坦普爾·費（Temple H. Fay, 1940—）教授找到一個簡單的三角函數，在平面極坐標系中畫出的圖像看上去是一隻美麗絕倫的蝴蝶。他的漂亮作品發表在1989年5月期的《美國數學月刊》（The American Mathematical Monthly）上（喜歡收集蝴蝶標本者以及美術愛好者可見維基百科網頁）。

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