「十三五」數學學科發展目標和可能取得突破的領域

數

理

科

學

「十三五」時期是我國全面建成小康社會的關鍵時期和建設創新型國家的決定性階段，為科學謀劃科學基金的發展，國家自然科學基金委員會於 2014 年 5 月啟動了「十三五」規劃戰略研究工作，這對繁榮基礎研究，提升我國原始創新能力和服務創新驅動發展具有重要的戰略意義。

按照國家自然科學基金委員會戰略研究工作方案的部署和要求，數學物理科學部進一步細化了數學物理科學「十三五」規劃戰略研究，開展了數學物理科學所含數學、力學、天文學和物理學四個學科的「十三五」規劃戰略研究工作。

本期小編遴選了「十三五」數學學科發展目標和可能取得突破的領域，與讀者分享。

總體上講，數學在下一個 5 年計劃中還會保持一個高速發展的態勢。對於我們國家來講，下一個階段數學發展的目標是：在數學的基礎理論方面，扶植一些以年輕人為主的研究團隊，爭取產生若干在國際上有重大影響的成果，培養和造就一些具有競爭菲爾茲獎（Fields Medal）實力的青年數學家；在數學的實際應用方面，繼續鼓勵數學家關心實際問題，取得支撐解決國家重大戰略需求的重大成果，培養一批具有交叉學科背景和核心攻關能力的研究團隊。在國際上若干前沿領域形成開創性和引領性的方向，在承擔和解決國家重大急需的問題方面做出重要貢獻，促進中國由數學大國向數學強國的快速轉變。

展望未來幾年，可能取得重大突破的領域和方向包括：

一

朗蘭茲綱領（Langlands program）研究

朗蘭茲綱領（Langlands program）是當今數學領域非常活躍的研究方向，它聯繫了 3 種來源各異的數學對象：伽羅瓦（Galois）表示（算術對象）, 自守表示（分析對象）和代數簇的各種上同調理論（幾何對象），使得相應的 3 種不變數［阿廷（Artin）L 函數、自守 L 函數、Hasse-Weil L 函數］相匹配。這3 大領域的結合為數論問題提供了有力的槓桿，Wiles、泰勒（Taylor）等證明的谷山 - 志村猜想便是一個範例。

朗蘭茲綱領（Langlands program）的核心問題是函子性猜想，蘊含了很多著名的猜想，如阿廷（Artin）猜想、拉馬努金（Ramanujan）猜想、佐藤 - 塔特（Misaki-Tate）猜想等。

跡公式是研究朗蘭茲綱領（Langlands program）的一個重要工具。研究朗蘭茲綱領（Langlands program）的團隊需要數論、代數群、李群表示論和代數幾何專長的研究人員。

近年來國內一批青年學者在朗蘭茲綱領（Langlands program）相關問題上開展研究，呈現出了良好勢頭。在包括橢圓曲線、模形式、自守表示、伽羅瓦（Galois）群的表示、自守表示、跡公式、李群表示、平展上同調、模空間理論、向量叢理論、代數群及其表示等相關方向開展深入研究，已取得突出成果。代表成果包括：關於高階 Rankin-Selberg L- 函數特殊值非零假、 Theta對應中的兩個基本問題（Howe 重數保守猜想和 Kudla-Rallis 守恆律猜想）、有關 L- 函數的重數一猜想等多個重要問題的完全解決；關於 R- 群與朗蘭茲（Langlands）對應的 Arthur 猜想和亞辛群跡公式橢圓項的穩定化突破等。

核心問題主要包括：BSD 猜想及相關問題，幾何 p-adic 伽羅瓦（Galois）表示的 Fontaine-Mazur 猜想，為復疊群建立不變跡公式，為非阿基米德局部域上復疊群的調和分析奠定基礎，研究亞辛群的穩定跡公式（包括基本引理的相應推廣等），代數疊的平展上同調及其在幾何表示論和朗蘭茲綱領（Langlands program）中的應用，志村（Shimura）簇的上同調，素數分布，特徵 p 上的代數群的不可約特徵標問題，簡約群的表示和它們的扭結 Jacquet 模的關係，利用局部 Zeta 函數的極點構造奇異的李群表示等。

二

幾何分析、辛幾何與數學物理

在幾何分析、辛幾何與數學物理等方向，經過長期的積累和發展，我國已形成若干有相當實力的科研團隊，取得了一批具有國際影響的重要研究成果，在國際上佔有一席之地。

幾何分析方向的代表性成果包括：費諾（Fano）流形情形下 Yau-Tian-Donaldson 猜想的證明；凱勒 - 里奇（Kahler-Ricci）孤立子唯一性問題的解決；第一陳類為正定的環流形上凱勒 - 里奇（Kaehler-Ricci）孤立子存在性問題的解決；Brown-York 質量正定性的證明；帶極點漸近雙曲流形剛性定理的證明；廣義相對論中描述孤立重力系統的類空時間截面中穩定葉狀結構唯一性的證明等。

辛幾何與數學物理方向的研究集中在格羅莫夫 -威騰（Gromov-Witten）不變數理論和量子奇點理論上，代表性成果包括：半正辛流形上量子上同調和格羅莫夫 - 威騰（Gromov-Witten ）不變數嚴格數學定義的建立以及量子上同調結合律的證明；緊緻辛流形上辛幾何和代數幾何框架中格羅莫夫 - 威騰（Gromov-Witten）不變數的穩定映射模空間上實質基本類（virtual fundamental class）的構造以及辛幾何框架中實質基本類的另外構造；哈密爾頓型格羅莫夫 - 威騰（Gromov-Witten）理論中辛渦度方程解模空間緊性的證明；物理中 Landau-Ginzburg 模型 A 理論這一量子奇點理論的數學基礎的建立和 DE 情形下廣義威騰（Witten）猜想的證明；0 虧格的 LG/CYcorrespondence 的證明；所有緊緻辛流形上 0 虧格的 Virasoro 猜想與半單條件下虧格為 2 的 Virasoro 猜想以及一些格羅莫夫 - 威騰（Gromov-Witten）不變數的普適方程的證明等。

未來若干年可能取得進一步重大突破的核心與主要問題包括：幾何分析方向的凱勒（Kahler）幾何中典則度量的問題、廣義相對論中與質量相關的幾何問題、曲率流的存在性問題以及 BV 空間中若干與幾何問題有密切關係的變分問題等；辛幾何與數學物理中格羅莫夫 - 威騰（Gromov-Witten）不變數理論和量子奇點理論方面的哈密爾頓型格羅莫夫 - 威騰（Gromov-Witten）不變數的構造以及公理體系的證明和有關 GLSM 方面的問題、用微分幾何工具構造高虧格的 Landau-Ginzburg 模型 B 理論的問題、非半單情形下 Virasoro 猜想和尋找更多普適方程的問題以及高虧格 LG/CY correspondence 問題等。

三

代數幾何研究

在代數幾何方向，我國已形成一支以青年學者為主體、具有國際影響力的研究隊伍。代表性成果包括：解決了對數典範偶的上升鏈猜想、一般型對數典範偶的有界性猜想、費諾（Fano）簇退化的田剛猜想等；在 L 2 延拓最佳常數的問題研究中取得突破性進展，解決了任意開黎曼（Riemann）面上的 Suita猜想等。在已有的研究工作基礎上，該研究隊伍將繼續在代數幾何尤其是高維雙有理幾何中挑戰一系列困難問題，包括 Abundance 猜想、費諾（Fano）簇有界性的 ACC 猜想等重大問題，有望在這些重要問題、霍奇（Hodge）理論和曲面的幾何等領域取得進一步的突破。

四

隨機分析研究

我國在隨機分析方向已形成若干有雄厚研究實力的科研團隊，取得了一批有重要國際影響的研究成果。

代表性成果包括：倒向隨機微分方程一般理論和基於倒向隨機微分方程理論的具有動態相容性的新期望即 g-期望的建立；非線性期望一般理論體系和一種新的非線性金融風險度量工具 G-期望的提出以及 G-期望下隨機積分理論的建立和其在金融風險度量與隨機控制中的應用；擬正則狄氏型這一新數學框架以及狄氏型與馬氏過程的一一對應關係的建立；非對稱狄氏型和半狄氏型的 Beurling-Deny 公式的證明；局部鞅分解定理的證明和 L 1 可積隨機變數凸集的刻畫；緊緻黎曼（Riemann）流形上譜隙新變分公式的建立和馬氏過程收斂速度估計的泛函不等式刻畫；擴散過程的哈納克（Harnack）不等式和弱龐加萊（Poincaré）不等式等泛函不等式的證明；環路空間上加權一階索伯列夫（Sobolev）空間的龐加萊（Poincaré）不等式與帶位勢項的 Log-Sobolev 不等式以及維納（Wiener）空間上的薛定諤（Schr?dinger）運算元和對稱擴散運算元譜隙比較定理的證明；斜卷積半群的提出以及測度值移民過程公理化定義形式和 Fleming-Viot 超過程可逆性充分必要條件的建立；隨機伊辛（Ising）模型亞穩態性的刻畫以及滲流模型無窮連通分支上隨機遊動的新相變現象的發現；時變 Witten Laplace 運算元熱方程的 W- 熵單調性和玻爾茲曼（Boltzmann）熵沿 Wasserstein 空間測地線凸性的證明；隨機 Burgers 方程和二維隨機納維 - 斯托克斯（Navier-Stokes）方程解的存在性、唯一性以及解不變測度的存在性和遍歷性的證明；所有 Bell 對角態的量子失協（quantumdiscord）的解析公式的建立以及測量誘導的擾動和測量誘導的非局域性等關聯度量的引進等。在與國際同行開展廣泛交流與合作的基礎上，他們有望在非線性期望理論以及物理、力學、金融與控制論中的重要理論與現象的隨機分析研究方面取得進一步突破。

五

哈密頓（Hamilton）動力系統

哈密頓（Hamilton）動力系統與天體力學密切相關，有許多引人注目的著名問題。我國在這一研究領域具有深厚的基礎和實力雄厚的研究隊伍。近年來，他們在三體等邊三角形橢圓軌道解的穩定性以及預雙曲系統阿諾德（Arnold）擴散問題的研究上均取得了一系列突破。他們將繼續深入研究哈密頓（Hamilton）系統的整體適定性、正則性與穩定性等問題，有望在哈密頓（Hamilton）系統周期軌道多重性與穩定性問題以及 3 個自由度乃至任意自由度近可積系統的阿諾德（Arnold）擴散問題等方面的研究上取得進一步突破。

本文摘編自國家自然科學基金委員會數學物理科學部編《國家自然科學基金數理科學「十三五」規劃戰略研究報告》（責編：侯俊琳 朱萍萍 郭學雯）前言及第3章，內容有刪減。

國家自然科學基金數理科學「十三五」規劃戰略研究報告

國家自然科學基金委員會數學物理科學部 編

北京：科學出版社，2016.12

「十三五」時期是我國全面建成小康社會的關鍵時期和建設創新型國家的決定性階段，為科學謀劃科學基金的發展，國家自然科學基金委員會於 2014 年 5 月啟動了「十三五」規劃戰略研究工作，這對繁榮基礎研究，提升我國原始創新能力和服務創新驅動發展具有重要的戰略意義。按照國家自然科學基金委員會戰略研究工作方案的部署和要求，數學物理科學部進一步細化了數學物理科學「十三五」規劃戰略研究，開展了數學物理科學所含數學、力學、天文學和物理學四個學科的「十三五」規劃戰略研究工作。「十三五」規劃戰略研究內容包括：學科發展戰略、學科優先發展領域、數理科學內部學科交叉優先領域、與其他科學交叉優先領域、實現「十三五」發展戰略的政策措施等。

（本期編輯：安靜）

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