神通廣大的小波理論

1960 年，尤金·維格納在《數學在自然科學中不合理的有效性》中論證了數學概念和發現的非比尋常的能力。通常，那些概念和發現僅僅只是數學家為了追求其內在結構和美而發展出來的，但在後來卻成為了描述物理世界的強有力工具。2017 年的阿貝爾得主 Yves Meyer（伊夫·梅爾）是將對純數學研究帶到現實世界中的實際應用的典範。（阿貝爾獎是數學界的最高榮譽之一，2016 年獲得該殊榮的就是證明了困擾數學家 300 多年的費馬大定律的安德魯·懷爾斯。）

Yves Meyer 與小波。（圖片來源：Olena Shmahalo/Quanta Magazine）

今年的阿貝爾獎授予 Yves Meyer，以表彰他在小波理論的發展中所發揮的重大作用。小波理論允許我們將各種不同類型的信息分解為更簡單的組件，從而使信息分析、處理和儲存變得更加簡單。因此，小波理論被應用在非常廣泛的領域中，包括調和分析應用和計算、數據壓縮、降噪、醫學成像、歸檔、數字電影以及引力波探測等等。

2016 年，LIGO 探測到兩個黑洞合并輻射出的引力波事件，其信號分析正是應用了小波理論。（圖片來源：Shawn Thew /Epa/REX/Shutterstock）

有趣的是，Meyer 的工作靈感並不是來自於數學的，而是來自於石油工業。在 1980 年代，法國工程師 Jean Morlet 想要知道如何更好的利用地震數據來尋找石油。Morlet 分析了從石油勘探中收集到的反射數據。將振動向地面傳送，並收集回聲。這跟蝙蝠利用聲吶的原理一樣。問題是如何分析反射回來的數據，並提取關於石油層的有價值的信息。Morlet 和物理學家 Alex Grossmann 想到了一個分析信號的方法，並且引入了一種新的函數類別，稱為「小波」（wavelet），該函數通過對固定函數進行伸縮和平移而得出。然而，石油工業對此並不感興趣。Morlet 的方法並沒有被採用，但他們的論文依然在 1984 年的春天發表在科學期刊上。

一年之後，Meyer 正在巴黎綜合理工學院複印東西的時候，他的同事給他複印了關於 Morlet 的那篇論文。在前往馬賽的火車上，他發現了小波的巨大潛力。

數學家和工程師早就知道一個分析和處理特定類型信息的強大工具：傅里葉分析。聲音是用來解釋傅里葉分析的最佳例子。例如，音叉發出來的中央 A 的聲音由一個完美的正弦波代表，就比如下面這個：

這是一個正弦波。它往左和右無限地延伸。由於正弦波和餘弦波相關，因此這也可以看做是餘弦波的表示。（圖片來源：Plus）

其它的聲音，比如小提琴奏出的相同音符，就更加複雜。但是，後來我們發現任何周期性的聲音，事實上是任何類型的周期信號，都可以被分解成不同頻率的正弦波和餘弦波的總和。

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函數 f 會隨著時間改變，代表了一個聲波。傅里葉變換過程會將函數f分解成特定頻率和振幅的正弦波。傅里葉變換被表示為頻域上的峰值，峰值的高度顯示了那個頻率下的波的振幅。（圖片來源：Wikipedia）

傅里葉分析是個非常有用的工具。它也可以被用來分析和處理圖像以及其它類型的信息。但是，它也有缺陷：因為基本的組件——正弦波和餘弦波——是周期性的，傅里葉分析只有在重複信號中才能發揮最強大的作用。但對於那些具有不規則特徵（比如峰值等）的非周期信號就不是那麼管用了。不幸的是，在大部分現實生活的現象中，從說話的聲音到地震數據，都屬於非周期類別。

這個波形來自人類的聲音。它有規律，但不是周期的。（圖片來源：Plus）

這也是小波理論登場的時候。顧名思義，小波就是一個「很小的波」。理論的基礎是一個「母小波」（mother wavelet），是振蕩函數的一小部分。振蕩的頻率各有不同，同樣地，小波的寬度也各有不同。但它們之間有著緊密的聯繫：頻率越高，寬度越窄。

Meyer 的小波。被壓縮的小波（上）擁有更高的頻率，被拉伸的小波（下）則頻率更低。（圖片來源：Abelprize.no）

通過改變母小波的尺度，可以產生女兒小波（daughter wavelet），比如縮小（頻率增高）、放大（頻率降低）或移動。一個信號，比如我們講話的聲音，就可以用這一簇小波的組合來表示。這種分解可以使我們能夠捕捉在信號中的重複信息，利用一系列逐漸縮小版本的母小波也使我們可以放大局域的不規則性（比如峰值）。

為了儲存這樣的一個信號分解，你只需要描述原來母小波的信息，以及不同女兒小波的貢獻。它們就已經足夠可以把原信號重新構建起來。

傅里葉變換（上）和小波變換（下）。前者的變數只有頻率 ω，後者則有兩個變數：尺度 a（控制小波函數的伸縮）和平移量 τ（控制小波函數的平移）。

小波理論的最初想法可以追溯到很早以前。數學家 Alfréd Haar 在一百年前就已經構建了小波的一個版本。Haar 的小波有一些漂亮的性質，但也有些不足。而 Meyer 在小波理論的發展中起到了關鍵作用，是他構建了小波理論的強有力的堅實數學基礎。

一些小波類型的例子： (a) Coif1；(b) db2；(c) Meyer；(d) Sym3；(e) Morlet；(f) Mexican.（圖片來源：Krishna B）

Meyer 所作出的首個重大貢獻是構造了具有光滑性的正交小波基。在 Morlet 構造的小波分析中，Meyer 小波基中的所有函數都是通過平移和伸縮可以明確指定的單個光滑性「母小波」來生成。Morlet 所構造的小波儘管從本質上看非常基礎，但卻相當不可思議。隨後，Stéphane Mallat 和 Yves Meyer 系統地發展了多解析度分析理論，這是構造小波基的通用框架。

Yves Meyer（圖片來源：B. Eymann/Académie des Sciences）

在 1980 年代後期和 1990 年代初，信號處理迎來了「小波革命」，小波變換也被應用在了許多基本信號處理的任務上。例如，壓縮（比如 JPEG2000 圖像壓縮格式）和去噪，以及更現代的應用（比如壓縮感測）。FBI 也是利用小波來儲存指紋信息，否則就會佔據大量的儲存空間。

此外，Meyer 的工作還推動了調和分析和偏微分方程式領域的重要理論發展，從證明 Lipschitz 曲線上柯西積分的有界性（由 Coifman、McIntosh 和 Meyer 解決），到發展理解在偏微分方程的非線性效應不可缺少的新工具（比如補償緊緻等）。不僅如此，Meyer 還在准晶體、奇異積分運算元和納維-斯托克斯方程式等課題作出了重要貢獻。可以說，Meyer 的工作和洞見不僅推動了純數學和數學分析的應用方面的發展，還為二者之間架起了卓有成效的溝通橋樑。

Stéphane Mallat 稱他為「有遠見的人」，他的工作不屬於任何一個領域（比如純數學、應用數學或計算機科學），它只能用「神奇」來標籤。

參考來源：

【1】https://plus.maths.org/content/wavelets-catch-abel-prize

【2】http://www.abelprize.no/c69461/binfil/download.php?tid=69542

【3】http://www.abelprize.no/c69461/binfil/download.php?tid=69582

【4】http://www.abelprize.no/c69461/binfil/download.php?tid=69584

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