吳文俊先生為什麼認為「數學是笨人學的」？

撰文 | 曹志剛 （中國科學院數學與系統科學研究院）

責編 | 徐可

引子

剛剛仙逝的數學大師吳文俊先生近些年接受媒體採訪時經常說這樣一句話，「數學是笨人學的」。這讓很多人大惑不解。明明只有聰明人才學得來數學嘛，數學好基本上就是腦袋瓜聰明的同義詞，笨人怎麼學數學呢？

君不見各種智力測試不都是數學題嗎？很多學校競爭優質生源以及分快慢班不也經常只看數學水平嗎？千里挑一的公務員考試每年也都有幾道數列題，這跟行政能力其實沒有任何的直接關係。這幾道經常被大家評論為挺變態的數學題也就是個智力測試。

更何況，吳文俊先生所謂的「學習」，可不是我們中文語境中一般意義上的學習，他說的是英文詞「study」，不是我們所講的研究性學習，而是實實在在的研究。這就更讓人沒法理解了。因為家喻戶曉眾所周知，能從事數學研究以至於有所成就的傢伙，哪個不是思維超群有相當天分的？什麼英年早逝的伽羅瓦、阿貝爾，直覺驚人的拉馬努金，失明後依然能做學問的歐拉、龐特里亞金，一輩子靠媽媽照顧的厄多仕、佩雷爾曼，哪個不是有相當的傳奇色彩甚至有點不食人間煙火？普通人哪做得了數學？更別提笨人了。這些事實和故事，做出過世界一流成果、晚年又潛心研究數學史的吳先生比我們不知要諳熟多少倍。

著名數學家吳文俊（圖片來自中科院網站）

那他怎麼又會說出「數學是笨人學的」這樣的話呢？吳先生本人沒有對這句話做過過多的解釋，至少媒體上找不到。本文中筆者嘗試解讀一下這句頗令人費解的話，並探討一下其背後的邏輯對於整體把握中學數學中常用的幾種思想方法，包括分類討論法、數學歸納法、反證法、分析法、綜合法，有何啟發。我們還將順便涉及這個視角下數學直覺與思維定勢的關係，以及什麼是好的解題方法的判別標準問題。

其實我們都很笨

對於理解充滿神奇的大自然、紛繁蕪雜的社會、浩瀚無窮的宇宙，甚至我們幽暗深邃的內心，人類的思維能力實在太有限了。素數，多麼樸素簡單的東西，人類研究了幾千年至今還有數不清的難題等待解決；初等幾何，初中生就學的東西，任何數學家也不敢說隨便拿出來一道棘手的問題都能很快解決；前幾年不是有新聞說記者給某位菲爾茲獎獲得者一道我們的小學奧數題，他做了十幾分鐘也沒頭緒嗎？前沿的計算複雜性理論暗示了有些知識人類可能永遠無法獲知。這不是簡單的哲學上的悲觀不可知論，而是來源於扎紮實實的硬證據。

所以有句俗語說得好，「人類一思考上帝就發笑」。但無所不知的上帝因此也無法像我們人類一樣欣賞這個神奇的世界。

笨人的思考方法

承認我們笨、承認我們思考能力有限絕不等於自暴自棄放棄思考，越是這樣越需要努力啊。人類之所以能進化到今天，能比其它物種都更適應環境更多地掌控自己的生活和命運，主要靠的就是不斷思考不斷創造新工具。那麼笨人面對一個複雜的問題如何思考解決之道呢？那就要採取非常務實而積極的態度和策略。

1.適當放棄精確和嚴密

因為我們能力實在有限，所以過於追求絕對的精確和嚴密，很可能一無所獲無法取得任何進步。

分類是人類認知的一個最核心最基本的途徑之一。簡單來講，這種途徑就是將差不多的東西看做一類，而同一類的東西思考和處理的時候不做區別。當遇到一個新鮮事物的時候，先嘗試將其歸入已有類別，若發現無法歸類則建立新的類別。這樣做的好處是非常利於記憶和思考。當然，這要以損失精確和嚴密為代價。分類這種思維方式如此之基本以至於已經成為人類本能的一部分。它所涵蓋的範圍以及對我們生活影響之深刻可能會讓我們多數人非常吃驚。

姑且不提分類是很多學科的基本研究範式，單舉幾個我們日常生活中的小例子：為什麼我們天生對軟軟的蠕動的東西有恐懼感？因為我們會把這類東西跟蛇聯繫在一起（即便從來沒有見過甚至聽說過蛇）。本能決定了我們在做出任何精確判斷（是蛇還不是蛇）以前就做出反應（把它歸入蛇的一類並迅速離開），這已經寫入了我們的基因；為什麼我們對圖片和視頻會有喜怒哀樂以及恐懼的反應，明明知道它們是虛假的？因為我們的本能無法區分這種虛假和現實；為什麼我們會覺得外國人都長得差不多而區分中國人則容易得多？因為我們對經常打交道的自己人的分類要比對不經常打交道的外國人的分類細緻得多……

當然，放棄精確和嚴密所意味的絕不僅僅是分類。比如跟分類密切相關的歸納（注意不是數學歸納）也是這個邏輯的產物。見了那麼多天鵝發現都是白色的，那麼就假設天鵝都是白的好了。這樣假設有沒有問題？嚴格來講當然有問題，誰能保證你碰到的下一隻天鵝不是黑色的？事實上，黑天鵝的確存在。可是在沒有遇到黑天鵝之前暫時接受這個結論是很務實的選擇，因為這樣總算對世界有一些認識（儘管這個認識不見得精確）。而且，即便以後發現了黑天鵝，我們也可以把結論修正為「絕大多數天鵝是白色的，少數天鵝是黑色的」。原來的結論儘管錯了，但是錯得並不離譜。甚至在我們知道了黑天鵝存在的情況下，某些時候依然假設所有天鵝都是白色的，這樣處理起問題來可能比「99%的天鵝是白色的，剩下1%是黑色的」這個絕對的真理更方便。正像我們經常說地球是圓的，學習甚至研究中經常假設地球是完美球體一樣。這要比「赤道略鼓、兩極稍扁」省事多了。何況後者也還只是個近似。

這種思維跟數學乍一看似乎是毫不相干甚至矛盾的。其實不然。一方面，數學本身就是一個高度抽象的模型，數學尤其是數學模型，本身就是對現實世界的近似，就是1、2、3這些最樸素的自然數也無不如此。3個人分6個蘋果，如何分最公平啊？小學生就開始學，6除以3等於2，每人兩個最公平。可是這樣沒考慮蘋果的大小啊？您可能會說，我們假設6個蘋果是一模一樣大的。可天底下哪有絕對一模一樣的6個蘋果啊？我們這樣假設就是一種近似。另一方面，放棄精確和嚴密而只求一個粗略的估計，這本身也是一種重要的數學能力。

直覺是數學學習和研究中非常重要的一種跟邏輯無關的能力。見了一個題目就知道大概用什麼方法，見了一個問題就知道其大概的難度，這是區分數學家水平高低的很好指標。數學教育中以此標準也能一定程度上用來衡量學生。

數學直覺靠的是經驗積累加悟性，它當然並不總是對的。經常出錯的或壞的數學直覺我們稱之為「思維定勢」，這是我們要盡量避免的東西。我們教學中經常提要避免思維定勢，但很少提培養好的數學直覺。這是一個事物的兩個方面。只強調一方面而忽略另外一方面顯然是不合適的。

2.化整為零各個擊破

因為我們能力實在有限，所以不要幻想一下子解決整個問題。如果能把大問題拆成小問題，我們今天解決一個，明天解決一個，問題最終不就完整解決了嗎？何況，化整為零還有一個很大的好處就是大家可以分工協作。你解決這個，我解決那個，最終問題也能得到完滿解決。歷史上的數學研究經常是單打獨鬥，絕大多數重要成果都是一個人做出來的。現在時代不同了，數學家也越來越強調合作，因為大家越來越意識到個人能力的有限。比如有限單群的分類問題，是幾百個數學家辛苦合作幾十年才完全研究清楚的；當今的領袖數學家Tim Gowers和陶哲軒發起了Polymath Project的項目，號召大家一起攻克一些困難無比的問題（他們最新近的成果包括大大改進了張益唐在孿生素數猜想方面得到的下界）。

菲爾茲獎得主、著名數學家陶哲軒

化整為零各個擊破的策略對中學數學教育有何意義呢？老師們可能會說，這不就是我們常用的分情況討論嘛！所以沒有什麼好神秘的。但是大家千萬不要小瞧這個看起來似乎不值得一提的策略。它的確是我們攻克複雜問題的一大法寶。組合優化領域甚至專門為這個方法起了一個新名字，叫「分而治之」（divide and conquer）。

數學家做研究慣用的一個「伎倆」就是「加條件」。實在證明不過去了，怎麼辦呀？只好加條件了。如果加一個比較乾淨的條件以後發現結論能成立，也還不錯。稍微想想你就明白了，所謂加條件就是分情況討論。而分情況討論這個方法之所以有效，也是因為我們處理每一種情況的時候實際上比研究整個問題時多了一個條件。

3.立足已知探索未知

因為我們能力實在有限，所以用全新的方法去思考一個跟已有知識體系沒有任何聯繫的問題可能毫無所獲。所以一方面，我們要牢牢把握住已經知道的，嘗試將未知的問題劃歸成一個我們熟悉的場景。這是科學研究的基本方法，也是數學教學中常用的一種範式。解題如此，講課也是如此。另一方面，我們要充分挖掘已知知識的內在邏輯，看看從已知我們還能推導出其它什麼有趣、但暫時不見得有用的新知識。我們今天的數學知識體系，部分內容直接來自現實和實踐的驅動，即問題驅動；更多高深的內容則來自數學體系內在的驅動，即理論驅動，說白了就是數學家興趣的推動。比如「P 與 NP 猜想」，跟現實究竟有什麼聯繫？證明出來有什麼用？老實說，短期來看可能真沒什麼用。

立足已知探索未知，從兩個方向在已知與未知之間建立橋樑。這跟我們數學教學又有什麼關係呢？關係大了。我們解題不是經常用兩種思路嗎，即綜合法和分析法。所謂綜合法，就是從條件到結論的思維和寫作方式。給了我們這樣幾個條件，從它們出發，朝著結論的方向我們一步步推導，然後順利到達終點。這就是綜合法；如果方向是從結論到條件，則稱之為分析法。我們首先盯住這個結論，問想要得到這個結論需要知道什麼條件呢？為了得到那個條件我們又需要證明什麼呢？這樣一步步推導，順利到達已知的條件，整個證明就結束了。當然，很多時候這兩種方法交叉使用。就寫作而言，分析法和綜合法各有利弊，分析法更容易讓人把握住思路，但是可能不夠簡潔漂亮。綜合法的寫作則相反，經常讓人讚歎證明的優美，感慨作者的奇思妙想，但是通常很難把握其思路。這兩種寫作方法的典型代表分別是歐拉和高斯。

著名數學家高斯（左）、歐拉（右），圖片來自Wikipedia

回到本文主題，分析法和綜合法這兩個名詞的存在同樣是基於我們能力有限的事實。如果我們絕頂聰明一眼就能看出條件與結論之間的關係，也就無所謂從哪裡到哪裡的方向問題了。

前面我們提到，分情況討論本質上就是加條件擴大已知。所以笨人解決問題的一個思路就是，既然我笨，就想辦法造一些條件，那樣我思考問題不就便利多了嗎？我們可以在這個視角下重新審視一下反證法和數學歸納法。反證法為什麼經常有效？就是因為我們把結論的否命題拿來當條件，這樣手頭就增加了一個條件，前進起來當然便利多了。科學研究中還有一些更精細的反證法，比如特殊反例法，就是說如果結論不成立那麼我能找到一個反例，除此以外這個反例還滿足一定的條件（比如所有反例中規模最小的），那條件不是更多了嗎？

數學歸納法則是更加巧妙地不斷擴大已知最終到達未知的方法。要求證明某個結論對於任意的n都成立。問題太難了，絲毫沒有頭緒，怎麼辦？先試試n=1吧。稍微一驗證，嗯，對了。再來看看n=2吧。嗯，也對了。可這什麼時候是個頭啊？驗算到100我們能止步嗎？不行，萬一101出問題怎麼辦？我們不能滿足於普通的歸納法。問題的難點在於，這表面上看起來是一個命題，而其實背後是無窮多個命題。無窮是數學裡面的魔鬼，經常暗含很多奇特而艱深的東西。特別地，我們最笨的枚舉法不能生效。數學歸納法的巧妙之處就在於，不是孤立地去驗證一個一個的例子，而是在這些例子間建立一個鏈式反應，證明只要前者成立緊隨其後的例子也成立。那麼只要給一個初始引爆點，這一邏輯反覆使用就會達到多米諾骨牌或者原子彈爆炸的效果，最終證明無窮多個命題。數學歸納法之所以能夠成功，不也是巧妙加了一個條件嗎？我們原來面對的問題是證明結論對於n成立。而現在面對的問題則是在n-1成立的基礎上來證明n成立。除了普通的數學歸納法以外，還有各式各樣的變形。從增加條件的視角來看，這些方法背後的核心邏輯都是一致的。

我們再來看一下吳文俊先生「數學是笨人學的」的觀點對於我們探討解題方法好壞的判別標準問題的啟發。用多種方法和思路解決同一題目是我們常用的教學方法。眼花繚亂的方法中哪種是最好的呢？這或許是個見仁見智沒有標準答案的問題。很多人的觀點可能是最巧妙的方法是最好的。其實並不見得如此。因為巧妙的方法適用範圍通常都很窄，而表面上看起來很笨重的辦法適用面則可能很廣，往往可以直達問題本質所以威力巨大（比如說三角函數裡面的萬能公式）。功利一點來看，即便對於學生考試，巧妙的方法也不見得永遠值得推薦。道理很簡單，考試的有限時間裡不見得能一下子想起那巧妙的方法，有時候反而是最普通的最笨的方法最有效。

做數學研究也有類似的道理，只有腳踏實地不投機取巧才能真正成就一番事業。華羅庚先生的成名作《蘇家駒之代數的五次方程式解法不能成立之理由》，不就是老老實實計算一個十二階行列式嗎？陳景潤證明「哥德巴赫猜想」的1+2也沒有引入多少天才的想法，就是扎紮實實用好了篩法。最新近的傳奇數學家張益唐，能成功的原因之一也是老老實實去推導和計算一些基本公式，而不是討巧直接使用已知公式。有了這些道理和例子，我們或許就能真正明白為什麼吳文俊先生會說出「數學是笨人學的」這樣一番話。

著名數學家陳景潤

結 語

認清自己，承認我們都很笨；認清現實，知道問題很複雜；絕不氣餒絕不討巧，踏踏實實一步一步往前走。這種積極而務實的態度或許就是吳文俊先生想告訴我們的做學問的道理，同時也是做人的道理。歷史上聰明絕倫有天賦的人多了去了，但是最終能有所成就為人類進步事業做出貢獻的只是極少數。這極少數人通常都有一個共同點，那就是積極而務實，既不自暴自棄也不好高騖遠。

「數學是笨人學的」這一積極而務實的態度不僅對於數學教學有重要啟發，使我們對一些經常使用的方法和技巧進行重新審視、在整體上進行把握；它對於德育工作也很有啟迪。比如說我們經常講賞識教育。其實不分緣由不講方法的一味賞識和誇獎並不見得有益。誇獎什麼以及如何誇獎，這是需要我們好好琢磨的。據筆者所知一些好的經驗是這樣的：盡量少誇獎一個孩子聰明甚至有天賦，而多誇獎他的嘗試、付出和努力過程。在我看來，這個精神跟吳文俊先生告訴我們的道理有內在的一致性。

製版編輯：李 赫丨

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