文化視角：一場數學革命將在量子物理領域爆發

在我們的印象中，數學似乎總是自帶高貴的氣質，它所追尋的都是一些永恆的真理。然而其實數學的發展也是因勢利導的結果，許多數學概念的起源都與日常生活經驗相關。例如，占星術、建築學的發展，啟發古埃及人和古巴比倫人研究幾何學；在17世紀的科學革命中，力學的發展則帶來了微積分。

在量子理論當中，儘管基本粒子與我們的日常經驗無關，但物理學與數學之間的手足情誼，在此表現得尤為熱切。量子世界中有許多奇怪的現象，比如一個物體可以同時存在於兩個不同的位置，其演化則遵循概率規則。與經典物理相比，這些違背直覺的性質其實更接近大自然的本質，同時也為現代數學的發展提供了廣闊的平台。於是我們不禁遐想，一旦我們完全理解、接受了量子理論，那麼量子理論的內在邏輯結構是否有可能開啟一個全新的「量子數學」研究領域呢？

數學與物理之間的親密關係由來已久。伽利略曾道：「宇宙是一部鴻篇巨著，記載了所有的知識與智慧，隨時可供人類閱讀。然而，唯有識得書中文字，方能理解其奧義，而這部巨著恰恰是用數學的語言寫就。」若將眼光放在現代，費曼亦有言：「一個人如果不懂數學，那就很難體會到大自然最深層次的美……如果你想要認識自然，欣賞她的美，那就必須要通曉她的語言。」（費曼還曾說過：「如果數學突然消失，那麼物理學將倒退整整一星期。」對此，一位數學家機智作解：「這正是上帝創世的那一個星期。」）

數學物理學家、諾貝爾獎得主尤金·維格納曾經盛讚，數學描述客觀世界的能力驚人，「它應用於自然科學時的有效性簡直『不科學』」，同一個數學概念竟然可以應用於大量不同的具體研究問題當中。然而，隨著量子理論開始在現代數學研究中發揮難以估量的推動作用，我們正在目睹情況發生反轉。粒子物理中的概念，尤其是弦理論，似乎與大量不同的數學研究領域有著奇特的關聯。不管弦理論最終能否在物理學體系中站穩腳跟，它都對於數學產生了深遠的影響，它與分析學、幾何學、代數學、拓撲學、表象理論、組合數學、概率論等一些列令人眼花繚亂的數學領域都有關聯。想到數學系的學生要學這麼多東西，不禁為他們心疼1秒鐘。

那麼，量子理論對於數學如此有用，背後是否有什麼深層次原因？在筆者看來，這或許是源於量子世界的另一個有悖常理的特徵：所有可能發生的情況，都確實會發生。

簡單來說，經典力學所做的，是計算一個粒子如何從A點運動到B點。例如，實際的運動軌跡可能是一條測地線，即曲面上連接兩點的最短曲線。而在量子力學中，我們則需要把從A到B所有可能的路徑都考慮在內，甚至包括像耳機線一樣糾結纏繞的路徑。這就是費曼著名的「歷史求和」思想。根據物理定律，每一條可能的路徑都有一定的權重，代表其可能發生的概率。而經典的牛頓運動定律給出的結果，正是所有路徑中可能性最大的那一條。因此，量子物理是將所有的路徑視為一個帶權的系綜，讓我們能夠通過求和的方式將所有的可能性都考慮在內。

「歷史求和」其實是一種全局思想，一次性處理了所有可能的情況。這與現代數學的精神不謀而合，例如數學家在研究對象的「類」時，更多關注的是對象之間的關係而非單個對象。正是量子理論的這種高屋建瓴的大局觀，引發了數學與物理之間的又一次聯姻。

量子計算器

以弦理論中的「鏡像對稱」為例，它涉及不同空間之間奇特的等價性，在帶來幾何學革命的同時，也充分體現出量子物理的魔力。故事要從枚舉幾何學（enumerative geometry）講起——這是代數幾何學的一個發展成熟的分支，用於計數幾何問題的解的個數。在弦理論中，時空維度可能是十維甚至更高，而我們可以藉助六維的卡拉比-丘成桐空間（Calabi-Yau spaces）來隱藏額外的時空維度。若將愛因斯坦引力方程應用於六維卡-丘空間，那麼其幾何解將是六維空間中的曲線。現在我們關心的是，如何計數這些曲線的個數？

在三維空間中，我們可以將一根繩子在圓柱上繞很多圈；在卡-丘空間中，相應也有一個名為「度」（degree）的參量，取值為整數，用來描述曲線盤繞的程度。計算一定度數的曲線的個數非常困難，即便是在最簡單的卡-丘空間——所謂的五次空間（quintic）當中也是如此。早在19世紀，數學家用經典方法算出，1度曲線共有2875種；2度曲線的結果則在1980年前後才計算出來，共有609 250種；而要想計算3度曲線的數目，就只能求助於弦理論科學家了。

大約在1990年，一個弦理論科學家團隊請幾何學家來計算3度曲線的數目。幾何學家編寫了複雜的計算機程序，最終得到了一個結果，但弦理論家覺得這個結果有問題，可能是代碼中出現了錯誤。經過仔細檢查，最終確認代碼確實有誤——可是弦理論家究竟是怎麼知道的？

事實上，弦理論家一直在嘗試把這個幾何學問題轉化成物理問題。在此過程中，他們已經研究出了一套可以一次性計算出所有度數曲線的數目的方法。此結果一出，數學界便炸開了鍋。這就像是找到了一種同時攀登所有山峰的方法，而不論這些山峰有多高。

在量子理論中，將所有度數曲線的個數融合進一個單獨的函數，這是一種自然而然的優雅，有著明確的物理含義。我們可以將這個函數視為一根弦在卡-丘空間中傳播的概率幅，並應用「歷史求和」原理。弦在運動的過程中，同時探測到了所有可能的曲線，涉及所有可能的度數，因此它是一個效率超高的「量子計算器」。

不過，要想求出具體的解，還需要藉助「鏡像」卡-丘空間。真實的鏡子可以呈現與現實世界完全對稱的影像，而鏡像卡-丘空間則沒那麼簡單：鏡像空間與原空間的形狀差別很大，甚至連拓撲結構也不同。但在量子領域內，它們之間有很多相同點，而我們所關心的弦在其中的運動方式恰恰是完全相同的。因此，原空間中複雜的計算就能夠在鏡像空間中大大簡化，只需要一個積分就能夠完成。搞定！

二象性：天平的兩端

鏡像對稱詮釋了量子物理的一個顯著特徵，即二象性（duality）：兩個不同的經典模型，如果放在量子框架內考慮，竟能夠等價，彷彿是被施了魔法，兩者之間的差異突然消失。二象性的存在，表明量子物理具有某種深刻而隱秘的對稱性。通常，我們對二象性的理解都很有限，這意味著目前的量子理論還遠非完善。

最早也最著名的例子，當屬「波粒二象性」。波粒二象性是指，對於任何量子物體，比如電子，我們可以視之為粒子，也可以視之為波。兩種視角有各自的優勢，能夠為同一種物理現象提供不同的理解方式。我們究竟應該把電子視為粒子還是波，並不取決於電子本身的性質，而是取決於我們提出問題的方式。與此類似，弦理論中的鏡像對稱，也為「量子幾何學」提供了兩種等價而均為有效的視角。

數學具有連接不同世界的奇妙能力。在任何一個公式中，最容易被忽視的部分正是那個低調卻又不可或缺的「等號」。等號就像腦海中閃現的靈光，溝通了等式兩邊的智慧。愛因斯坦絕對是運用等號的高人。他所提出的質能方程 E = mc2，無疑是人類歷史上最著名的等式，其優雅無論怎樣誇讚都不為過。這個方程宣布，質量與能量，這兩種在狹義相對論之前各自獨立的物理概念，其實完全等價；質量可以轉化為能量，而能量也可以轉化為質量。後來，愛因斯坦進一步建立了廣義相對論方程，它或許不如前者那麼醒目而著名，但它將幾何學與物質聯繫在一起，這一結果同樣驚艷。簡單來說，廣義相對論方程表明，物質會影響時空的彎曲，而時空則影響物質的運動。

鏡像對稱，是另一個展現等號之強大力量的絕佳案例。它連接了兩個不同的數學世界：一個是辛幾何，它是數學的一個分支，構成了力學的主要基礎；另一個則是代數幾何，它涉及複數。現在，量子物理溝通了這兩個數學領域，意外地促成了一次數學界的「大統一」。

學科之間能形成如此親密的關係，確實令人欣慰。數學的發展正受益於量子物理與弦理論，並將其中粗糙的物理直覺轉化為嚴謹的命題與證明。目前，數學家已經接近於完成對同調鏡像對稱（homological mirror symmetry）的嚴格證明，該理論是對弦理論中原始的鏡像對稱理論的大幅度擴展。打個比方，這就相當於為兩個數學世界中的所有對象以及對象之間的關係編纂一部互譯詞典。當然，這些數學證明往往不會沿用物理論證的思路（數學家可不是給物理學家擦屁股的！），反而需要摸索全新的路徑來完成證明。這進一步表明，量子理論與客觀現實之間有著某種深層次且仍不為人所知的內在邏輯。

「互補性」是量子力學中的一個重要原理，以玻爾為首的哥本哈根學派便是該觀念的忠實擁躉。在量子力學中，利用海森堡不確定性原理可以證明，任何一個系統都不可能同時具有確定的動量和確定的位置坐標。1926年10月19日，泡利在一封寫給海森堡的信中巧妙地總結道：「這就彷彿我們有兩隻眼睛，一隻眼睛可以觀測動量，另一隻眼睛可以觀測位置坐標，但如果我們同時睜開兩隻眼，那就該精神分裂了。」在這種不確定現象的基礎上，玻爾提出了互補性原理：動量能夠反映物理系統的部分特徵，位置坐標能夠反映物理系統的另一些特徵，兩者是互補的；但我們沒法同時獲知系統全部的特徵，具體得到什麼樣的結果，將取決於我們的觀測方式。

晚年，玻爾努力將互補性原理推廣為更普適的哲學命題，他最喜歡的一對互補關係就是「真實」與「清晰」。或許，數學的嚴謹與物理的直覺也可以構成科學研究中的一個互補對。我們可以用數學的眼睛來審視世界，也可以用物理的眼睛來看，不過現在，恐怕我們還沒有足夠的勇氣把兩隻眼睛全部睜開。

撰文：Robbert Dijkgraaf

翻譯：趙昌昊

審校：吳非

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