回歸基本原理的數字探索：減法與0的發現

本文摘自著名理論物理學家大栗博司寫給女兒的數學啟蒙書《用數學的語言看世界》

我們小學的時候學習「算術」，初中開始學習「數學」，數學與「數字」有著緊密的聯繫。數字是一個奇妙的東西。假設這裡有蘋果，我們可以用 1、2、3 來計算個數。如果有橘子，同樣可以用 1、2、3 計算。1 個蘋果和 1 個橘子明明是完全不同的物體，卻都能用「1」來表示。數學脫離了蘋果或橘子等具體事物，思考的對象只限於沒有實體的「數字本身」，即抽象性。

埃隆·馬斯克最近在接受美國物理學會會刊的採訪時，闡述了走進抽象世界，從基本原理思考問題的意義。馬斯克創辦了網上電子支付服務公司，大獲成功後又創立了用火箭為國際空間站等運送物資的SpaceX 公司。他還擔任特斯拉公司的董事長，特斯拉是一家致力於開發、製造以及銷售電動汽車的公司。

採訪者：您最近在接受採訪時給追求創新的年輕人提了一個建議，提到了不去模仿他人，從基本原理思考問題的重要性。您可以再稍微具體地談一下這點嗎？

馬斯克：我們在平時的生活中一般不會從基本原理去思考問題。那麼做的話，我們在精神上會受不了。所以，我們人生的大部分時間是在類推或模仿他人中度過的。不過當我們要去開闢一個新的領域，或者從真正意義上去創新時，必須得從基本原理出發。任何領域都一樣，先要去發現這個領域中最基本的真理，然後再重新思考。實現這個過程需要精神上的努力。我舉個例子吧，回歸基本原理在我的火箭事業中就發揮了作用！

接下來，讓我們一起去數字的世界裡探險，同時思考回歸基本原理的具體含義。

1加法、乘法與運算三定律

一般認為，數學作為一門學問誕生於古希臘。古中國、古巴比倫和古埃及曾經都在研究數字和圖形的性質，不過古希臘人最早深入考察了數學的起源。

大約是在公元前300年，歐幾里得編寫的《幾何原本》從「兩點間能作一條直線」「凡是直角都相等」等5條公設出發，在這基礎上發現了圖形的性質。這5條公設被稱作公理，每一條都在闡述理所當然的常識。歐幾里得之所以偉大，是因為他為這些理所當然的常識命名，加以準確的驗證，並將其作為基本原理創立了幾何學。這就是數學作為一門學問的開端。

從人們公認的公理出發，根據理論推導出圖形的驚人性質。歐幾里得用這種推導方法證明得出的各種定理，即便在2300年後的今天也同樣準確。就算在1億光年外的星球上出現了智慧生命體，或許他們進化過程與人類不同，但只要他們運用的公理與歐幾里得的相同，就能創立相同的幾何學，證明相同的定理。

理所當然的常識一一被當作公理，只運用這些公理研究事物也許是一個非常繁瑣的過程。但是正因為如此，數學定理獲得了永恆的生命。正因為忍受住了這個繁瑣的過程，人類才發現了普遍真理。這正是馬斯克口中「從基本原理思考問題」的含義。

下面我們也嘗試效仿歐幾里得幾何學，從基本原理思考數字的性質。計算蘋果或橘子個數的數字1、2、3叫作自然數（目前的自然數概念包含「0」，本書中作者為了講述數字「0」的發現（本章第 2 節，即本文第2節）， 此處未把「0」列為人類最初的計數數字，特此說明。—編者注）。自然數之間可以運用加法和乘法運算。如果有人提問一星期等於幾個小時，我們會計算7×24。假設我們不用計算器，用筆算計算結果。筆算時，先按照位數將其分解成單個數字，接著分別將不同位數上的數字相乘，最後將相同位數上的數字對齊相加。

為了方便解釋，下文中會寫出筆算時通常省略的「+ 」和「0」。

筆算過程中隱藏著數字的基本原理。首先，分解24=4+20，再分別計算7×4和7×20。

7×(4+20)=7×4+7×20

也許你覺得這是理所當然的，不過這個運算有一個響亮的名字叫「分配律」。如果用 a、b、c 代替具體的數字，這條定律可以記作

分配律：a×(b+c)=a×b+a×c

回到筆算過程，在7×24下方畫一條橫線，在橫線下方寫出7×4和7×20的計算結果。7×4當然等於28。然後再思考7×20的計算方法，首先分解20=2×10，先計算7×2=14，再將其結果乘以10，得出140。公式書寫如下：

7×(2×10)=(7×2)×10=14×10=140

第一個等號處運用了結合律。

結合律：a×(b ×c)=(a×b)×c

相同公式同樣可以運用於加法運算，

結合律：a+(b+c)=(a+b)+c

這也叫作結合律。

此外，還有一條「交換律」。

交換律：a+b=b+a, a×b=b×a

上算術課的時候，當老師提問「1 個蘋果100 日元，買5個蘋果要花多少錢？」如果回答「5×100 =500，總共500日元」，由於公式沒有按照「1 個蘋果的錢」×「個數」的順序計算，有些小學會判這個方法錯。但是乘法有交換律，即使計算的順序不同，得出的結果是相同的。

結合律、交換律和分配律這 3 條定律加上「1」的性質

「1」的性質：1×a=a×1=a

就構成了數字的基本原理。我們在平時的計算中會無意識地使用這幾條定律，不過數學的做法就是意識到它們的存在，分別為它們命名並加以驗證。接下來我們就以這3條定律和「1」的性質為基礎，通過它們去探索數字的世界。

2減法與0的發現

也許在文明剛開始的時候，僅靠加法和乘法運算就能夠滿足人類的需求。當人類發明了貨幣，出現了商品借貸，減法運算也成了一個必要條件。減法就是「加法的逆運算」。自然數a減自然數b的過程

(a?b)+b=a

被定義為抵消加b的過程。換言之，所謂(a?b），就是「什麼數加b等於a」這道設問的答案。也可以說，x+b=a的解就是x。

小學學習算術時，大多數孩子都會覺得減法比加法難，也許是因為有時候會出現減不了的情況。比如盤子上有3個蘋果，再放入5個蘋果的話就是3+5=8個。不過，拿掉5個即(3?5)個的話，就不知道該怎麼計算了。即，減法運算的結果不一定都是自然數。

出現上述問題時，數學一般有兩種解決方法。第一種是規定在自然數的範圍內進行有意義的運算。在這種情況下，只允許大數減小數。

雖然這合乎邏輯，但是不能靈活進行減法運算的話有時會感到不太方便。因此，如果減法運算的結果不一定都是自然數，那麼另一種解決方法就是增加數字。假設有2個自然數a和b，如果a>b，那麼(a?b)肯定是自然數。但是，如果 a≤b，那麼(a?b)就一定不是自然數（目前自然數概念包括「0」，下同。—編者注。）如果不是自然數，那麼只要發明新的數字，在這些數字的範圍內進行減法運算即可。「0」和「負數」正是來源於這些想法。

首先，假設a=b。例如a=b=1，(1?1)就不是自然數。那麼，我們該怎麼增加自然數來解決(1?1)的問題？

因為你已經知道 (1?1) 等於0，所以可能會奇怪為什麼事到如今還要思考「(1?1) 等於什麼」。接下來假裝我們都不知道0的存在，從而重新體驗一下發現0的過程。

既然發明了一個新的數字，首先必須制定用這個數字計算時所需的定律。數學經常使用的手法是讓新增數字套用既存的定律。不改變基本定律是推出新增數字的引導線。

可以從加法運算的結合律推出包含減法運算的結合律

a+(b?c)=(a+b)?c

這個定律是從加法運算與乘法運算的結合律以及減法運算的定義中推導出來的。證明過程在我個人主頁（http://ooguri.caltech.edu/japanese/mathematics）的補充知識中，有興趣的話可以去看一看。這個定律在b=c=1時同樣成立，a+(1?1)=(a+1)?1因為右邊的 (a +1)?1相當於(a+1) 這個數字減去比自身小的數字1，所以可以運用自然數之間的減法運算，結果等於a。換言之，

a+(1?1)=a

(1?1) 這個我們（假裝）不知道的數字有一個特點，即「與任何數字相加，其結果都不會改變」。

剛才我們思考的是 (1?1)，當然 (2?2) 也一樣。大家都看得出來，這兩個其實是相同的數字。用基本原理推導的話，假設剛才公式中的a=2，只要同時在2+(1?1)=2的兩邊減去2即可。因此，1?1=2?2。不管是(3?3)還是(100-100)，結果也都一樣，即1?1=3?3=100?100。那麼，用一個相同的符號「0」來表示上述運算，即

0=1?1=2?2=3?3=100?100

0終於出場了。根據上面0的定義，a+(1?1)可以表示如下：

a+0=0+a=a

0與任何數字相加，都等於這個數字本身。

下一個小節需要用到0的乘法運算，先在此提一下。0與任何數字相乘都等於0。這個限制由減法運算和乘法運算的分配律中推導出，

a× (b?c)=a×b?a×c

這條分配律由加法運算的分配律和減法運算的定理中推導而出。有興趣的讀者請參考個人主頁補充知識中的證明過程。這條定律在b=c的情況下也同樣成立，任何數字a乘以0都為，

a×0=a×(b?b)=a×b?a×b=0

因此，a×0=0。即便增加自然數，計算的定律也同樣成立，可以推導出0的基本性質，

a+0=0+a=a，a×0=0×a=0

於是，數字中又多了一個0。

自文明開端，人類已經知道如何使用自然數進行計算。0大約發現於1400年前，當時的日本正處於大化改新時期。數字最初是用來計算蘋果、橘子等物體的個數，使用數字來表現「什麼都沒有」的狀態，需要依靠思維的飛躍。這一點，甚至連古希臘人都未曾想到。

古巴比倫和中美洲的瑪雅文明都有使用0的記錄，不過是用來表示決定數字的位數，並沒有將其作為獨立的「數字」來看。628年，印度的天文學家和數學家婆羅摩笈多編著了《婆羅摩修正體系（宇宙的開端）》，最早在書中記錄了0的性質。

0誕生於印度，之後隨著香料貿易傳入伊斯蘭社會。伊斯蘭文明黃金時期擔任巴格達圖書館「智慧館」館長的天文學家和數學家花拉子米發展了使用0的數學。

8世紀初期，伊斯蘭勢力穿過直布羅陀海峽，佔領了歐洲西部的伊比利亞半島。後倭馬亞王朝的首都科爾多瓦極盡繁華，甚至媲美巴格達，還建造了當時世界上最大的圖書館。之後，基督教國家為了奪回伊比利亞半島，發起了復地運動。科爾多瓦積累的伊斯蘭知識也隨之傳入了中世紀的歐洲。阿拉伯的數學書籍被譯成了拉丁語，花拉子米解說印度十進位計數法的圖書以《阿爾戈利茲姆算術》為題在歐洲出版。「阿爾戈利茲姆」是花拉子米拉丁語的讀法。因此，使用印度計數法的人被 叫作「阿爾戈利斯特」（algorithm），這個詞也是「演算法」的詞源，表示計算的順序。

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