三次數學危機，你造嗎？

從哲學上來看，矛盾是無處不存在的，即便以確定無疑著稱的數學也不例外。數學中有大大小小的許多矛盾，例如正與負、加與減、微分與積分、有理數與無理數、實數與虛數等等。

在整個數學發展過程中，還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮、連續與離散、存在與構造、邏輯與直觀、具體對象與抽象對象、概念與計算等等。

在數學史上，貫穿著矛盾的鬥爭與解決。當矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就會產生數學危機。而危機的解決，往往能給數學帶來新的內容、新的發展，甚至引起革命性的變革。

數學的發展就經歷過三次關於基礎理論的危機。

可惡的有理數

危機產生 - 希帕索斯悖論

畢達哥拉斯學派（公元前500年）信奉數是萬物的本源，事物的性質是由某種數量關係決定的，萬物按照一定的數量比例而構成和諧的秩序，即「一切數均可表成整數或整數之比"。

後來，畢達哥拉斯證明了勾股定理，但同時發現「某些直角三角形的三邊比不能用整數來表達"。不過畢達哥拉斯選擇隱瞞實情，裝作不知道。

希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？這就是希帕索斯悖論，他本人因為此事被拋入大海！

危機的緩解

二百年後，歐多克索斯建立起一套完整的比例論，巧妙地避開無理數這一「邏輯上的醜聞」，並保留住與之相關的一些結論，緩解了數學危機。

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但歐多克索斯的解決方式，是藉助幾何方法，通過避免直接出現無理數而實現的。 危機並沒有解決只是被巧妙避開。

危機的解決

直到到十九世紀下半葉，實數理論建立後。無理數本質被徹底搞清，無理數在數學中合法地位的確立，才真正徹底、圓滿地解決了第一次數學危機。

微積分中幽靈般的無窮小

危機產生 - 貝克萊悖論

十七世紀，牛頓與萊布尼茲各自獨立發現了微積分，但兩人的理論都建立在無窮小分析之上。

貝克萊提出了一個悖論，求x^2的導數時會有如下奇怪情形出現。

無窮小量在牛頓的理論中「一會兒是零，一會兒又不是零」。貝克萊嘲笑無窮小量是「已死量的幽靈」。

危機的緩解

十九世紀七十年代初，魏爾斯特拉斯、柯西、戴德金、康托爾等人獨立地建立了實數理論，在實數理論基礎上，建立起極限論的基本定理，緩解了危機。

但又出現新的問題 ：魏爾斯特拉斯給出一個處處不可微的連續函數的例子，說明直觀及幾何的思考不可靠，而必須訴諸嚴格的概念及推理。推動數家們更深入地探討數學分析的基礎——實數論的問題，導致了集合論的誕生。

論集合論中自相矛盾的理髮師問題

危機產生 - 羅素悖論

集合論產生：十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論。剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。 後來數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。「一切數學成果可建立在集合論基礎上」。

但是不久伯特蘭·羅素（Bertrand Russell，1872—1970）提出了一個悖論，可以用一個理髮師問題進行通俗的描述：塞爾維亞有一位理髮師，他只給所有不給自己理髮的人理髮，不給那些給自己理髮的人理髮。 問：他要不要給自己理髮呢？

如果他給自己理髮，他就屬於那些給自己理髮的人，因此他不能給自己理髮。如果他不給自己理髮，他就屬於那些不給自己理髮的人，因此他就應該給自己理髮。(嚴格的羅素悖論: S由一切不是自身元素的集合所組成。 羅素問：S是否屬於S呢？)

德國數學家、邏輯學家弗雷格: 「一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了，在他的工作即將結束時，其基礎崩潰了。」

危機的緩解

庫爾特·哥德爾（Kurt Godel）1931年成功證明： 任何一個數學系統，只要它是從有限的公理和基本概念中推導出來的，並且從中能推證出自然數系統，就可以在其中找到一個命題，對於它我們既沒有辦法證明，又沒有辦法推翻。

哥德爾不完全定理的證明結束了關於數學基礎的爭論，宣告了把數學徹底形式化的願望是不可能實現的。

歷史上的三次數學危機，給人們帶來了極大的麻煩，危機的產生使人們認識到了現有理論的缺陷，科學中悖論的產生常常預示著人類的認識將進入一個新階段，所以悖論是科學發展的產物，又是科學發展源泉之一。

*選載自數學英才

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