中學幾何名題賞析

（許興華數學/選編）

在兩千多年的幾何學的發展歷史中，有許多的幾何名題像一顆顆在天空閃爍璀璨的明星，光耀照人，對它們新的解法的尋求推動著幾何學乃至整個數學的發展。

它們是先哲智力的結晶，發人深思、耐人尋味。像一顆顆光彩奪目的明珠，供人欣賞而長久不衰。

兩千多年以來，幾何歷史上的「三大難題"也一直困擾著人們，直到19世紀前，各國的許多數學家曾為它們絞盡腦汁，企圖用尺規作圖來解決，雖然終究以失敗而告終，但由此產生的一些新思路、新方法和由此派生出的名題，其意義恐怕超過了「三大難題」的解決。

我們從幾何名題中挑出幾件精品，加以介紹並領略其中的極妙意境。

希波克拉底定理（月牙定理）

人們在追求「化圓為方」的難題的解決過程中，發現有一些除圓以外奇妙的曲邊圖形的面積會和某個多邊形面積相等。這種發現最早應歸功於古希臘的幾何學家希波克拉底。他首先發現了如下的結論：「以直角三角形兩直角邊向外作兩個半圓，以斜邊向內作半圓，則三個半圓所圍成的兩個月牙形（希波克拉底月牙）面積之和等於該直角三角形的面積。"（如圖1）下面給出它的證明：

設ABC為直角三角形，a,b為二直角邊， c為斜邊。由勾股定理有，則有。即直角邊上兩個半圓面積之和等於斜邊上半圓的面積。

圖1

再從上面等式中，兩邊同時減去圖中不帶陰影兩個月牙形面積S1、 S2，便可得出結論：「直角邊上的兩個月牙形的面積之和等於直角三角形的面積。」

希波克拉底對幾何學的貢獻很大，他的《幾何綱要》是幾何學的第一本教科書，據說包括了歐幾里得《幾何原本》的前四卷內容。希波克拉底曾致力於「化圓為方"和「立方倍積"問題的研究。

而他的「月牙定理"的發現，曾給數學家以很大的鼓舞，認為「化圓為方"問題也不難解決了。包括希波克拉底也這樣認為。他曾先將一般直角三角形改為等腰直角三角形，並指出：「正方形邊上的兩個月牙形面積之和等於該正方形面積之和的一半」（如圖2）。

圖2

這顯然是對的。但他未加證明「想當然」地將圓內接正方形的結論「推廣」到圓內接正六邊形：「正六邊形三邊上的月牙形面積之和等於正六邊形面積的一半」（如圖3）。這顯然是錯誤的，而他在此錯誤基礎上卻引出了更錯誤的結論：「圓可以化為方。」

圖3

月牙定理結論的優美令人稱奇不已，顯示了割補的技巧，終於使人相信一個曲邊形的面積竟可以用一個直邊形的面積代替。這就大大開啟了我們的心靈之窗。其實希波克拉底還作出了一個與月牙形等積的正方形（如圖4），即

S月牙ADBE=S正方形BFOG

圖4

應該承認希波克拉底解決問題的方法是天才的。但他在處理所謂的「化圓為方"的問題時，卻犯了對命題未加證明就「想當然"作出結論的毛病，從而得出了錯誤的結論。這一著名實例對我們學習數學的青年人是很有借鑒作用的。

莫利定理

也許是「三大幾何難題"讓人絞盡腦汁也難以獲解，因而人們長期以來也不敢去涉及角的三等分線問題。自歐幾里得之後的幾千年內未發現有關角的三等分方面的結果。

然而到1904年，英國著名的代數幾何學家莫利卻發現了一個驚人的結論，即所謂的「莫利定理」：將任意三角形的內角三等分，則與每邊相鄰的兩條三等分線的交點構成了一個等邊三角形（如圖5）。結論是這麼漂亮、優美，簡直難以置信。這一驚人的結果，被譽為自歐幾里得以來所發現的最為優美的定理，是初等幾何的一顆明珠。

圖5

莫利是數學家，他的最後50年是在美國度過的，但他一直未放棄英國籍。1904年，莫利給英國劍橋的一位朋友的信中提到過這個定理，20年後才在日本發表。此期間這個定理再次被發現並作為問題征解出現在《教育時報》上。在送交的眾多答案中，納拉尼恩加給出的證法最為簡潔，且是純幾何法。下面我們來介紹他的證法（如圖6）。

圖6

設ABC的 ∠A=3α，∠B=3β，∠C=3γ。與BC邊相鄰的兩條三等分分角線相交於X，∠B和∠C的另兩條三等分分角線相交於 S，則X為SBC的內心，從而XS平分∠BSC。

在 SX兩側分別作∠SXZ=∠SXY=30。，Z、Y分別在 BS、CS上，則SXZ≌SXY，所以XZ=XY，又 ∠ZXY=60。，所以XYZ為等邊三角形。

下面證 AZ、AY三等分∠A：

分別在 BA、CA上截取BX =BX，CX"=CX，則BZX ≌BZX，從而ZX =ZX=ZY，同理有YX"=ZY

作X ZY的外接圓O，由對稱性可知X"在外接圓O上。

易證圓心角∠X OZ=∠ZOY=YOX"=2α。故∠X OX"=6α。又因為∠A=3α，所以點 A也在圓0上，又弦 X Z=ZY=YZ",得AZ，AY為∠A的三等分線，從而命題得證。

莫利定理可進行引申和推廣，得到許多優美的結論。如把任意三角形的內角三等分線改為外角三等分線，則與每邊相鄰的三等分線的交點構成了一個等邊三角形。

把內角外角的三等分線結合起來，則有：每一內角的兩條三等分線與不相鄰的外角四條三等線中與每邊相鄰兩線的交點構成了一個等邊三角形。

更有趣的是1939年法國數學家勒貝格在他的一篇論文中指出：在三角形的所有三等分線中，可以找出27個點，它們都是等邊三角形的頂點。

有興趣的讀者，您不妨去仔細品味定理的內容，探索各種證法與推廣，一定能使您在精神上得到巨大的享受。

蝴蝶定理

幾何上的一些重要定理，有的是以發現者的名字命名（如莫利定理），有的是以其主要性質命名（如勾股定理），也有的是以幾何形狀來命名的。蝴蝶定理就是其中的一例。

蝴蝶定理：設 PQ是圓的一條弦，過PQ的中點 M再作兩條弦 AB、 CD，弦 AD、 BC分別交PQ於 E、F則 ME=MF（如圖7）。

圖7

由於其形狀像一隻翩翩起舞的蝴蝶，因此大家稱該命題為「蝴蝶定理」。

1815年英國的一家通俗雜誌《男士日記》作為征解刊出了該題，百餘年來出現過許多優秀的解法。它的第一個證明是1815年英國數學家霍納給出的，但證明十分繁瑣。在國外資料中初等的證明方法一般認為是由一位中學教師斯特溫給出的，他用的是面積法。

蝴蝶定理自1985年由杜錫錄教授介紹到我國後，蝴蝶定理的美名便在神州大地上傳開，並引起了許多數學愛好者的興趣，提供了許多優美的證法。下面介紹一種初等數學的簡便證法，供讀者欣賞（如圖8）。

圖8

蝴蝶定理由於其美麗的圖形引起了世人的廣泛興趣。因此，對它的證明可算是形式多樣，五彩繽紛。除了上述證法外，還有面積法、三角證法、計演算法、綜合法、不等式法、極限法等。1988年中國科技大學的單墫教授給出了一個漂亮的解析證法。而且，將蝴蝶定理中的圓換成任意圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）命題仍然能成立。

在幾何學中，有許多形狀優美的幾何名題因篇幅所限不能一一介紹。僅從以上介紹的三個定理使我們感到，不僅僅文學、音樂、美術、戲劇、電影、電視等能給人以美感，在數學裡面，面對這些優美的圖形和它們證明的過程中，都能給人以愉悅、以驚奇、以讚歎、以振奮、以滿足、以陶醉。這實際就是一種審美感受。

每一道幾何名題就是一件精美的藝術品。

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！