六十年力學發展的回顧 精選

六十年力學發展的回顧

六十一甲子，是一個不算短的階段。也正是從上世紀五十年代起，我進入力學界，目睹力學學科的發展變化，迄今已經六十年了。

目下，力學有很多二級、三級子學科，還有數不清的研究方向。在這六十年中，幾乎每一門子學科、每一個研究方向都會有研究進展。要一一列舉這些研究成果，幾乎是不可能的，也是沒有必要的。在這裡，我想列舉在這六十年中，力學中最為激動人心、影響深遠的三個研究方向來說說。我認為計算力學的誕生與發展、材料力學的性質研究、力學一些基本理論問題的提出與解決，它們是這六十年中最值得了解而又影響深遠的成果。下面就來分別簡要地做一回顧。

§1計算力學

在計算機發明後的早期，用計算機求解力學問題或別的問題僅僅利用了計算機快這一優點。緊接著而來的問題是程序工作量不能適應計算機的高速度。一台計算機需要數以百計的工作人員編程序才能餵飽。於是編寫程序又成了合理使用計算機的瓶頸。人們想出了許多方法去解決這一困難。從20世紀50年代先後出現的符號彙編語言、FORTRAN語言、ALGOL語言等以及隨之而迅速發展起來的軟體產業，就是為解決這一問題應運而生的。

在適應於計算機求解力學問題節約程序人力方面，最成功的就是有限元方法的產生與發展。它的產生也是計算力學作為力學一個獨立的分支學科形成的標誌。

有限元法的思想儘管可以追溯得更早，如有人說有限元的思想是20世紀40年代美國人庫朗（R. Courant）在1943年提出來的，有人說有限元是加拿大人辛格（J.L. Synge）在40年代提出來的，更有人說有限元是歐拉的折線法就包含的，還有人說在東漢劉徽的割圓術就是有限元法，不一而足。當然這些說法也不是完全沒有道理。因為有限元法的思想的確是有一部分同上述人的工作有點聯繫。但是要知道，有限元法是同計算機緊緊相聯繫的。

事實是，在20世紀50年代中期世界各國都有一批人在思考用計算機求解結構力學與連續介質力學問題。如曾經在英、德工作過的希臘人阿吉里斯（J.H.Argyris）1956年、美國的特納（M.J.Turner）、克拉夫（R.W. Clough）與馬丁（H.C.Mardin）在1956年、蘇聯的符拉索夫（В.З.Власов）在20世紀50年代、中國的馮康在60年代初都提出了帽子函數插值或單元剛度的矩陣表示。所以很難說有限元的思想是那一個人的發明，它是一種世界性思潮的產物。

不過在有限元法的發展歷史上的重要事件是，20世紀50年代末加里福尼亞大學伯克利分校的威耳孫（E.L. Wilson,1931－）在克勞夫指導下的博士論文《二維結構的有限元分析》[1]，該論文於1963年完成了世界上第一個解決平面彈性力學問題的通用程序。這個程序的主旨是藉助於它解算任何平面彈性力學問題不需再編程序了，只要按說明輸入必要的描述問題的幾何、材料、荷載數據，機器就可以進行計算，並且按照要求輸出計算結果。有限元法的程序一經投產，立刻顯出它的無比優越性，原來在彈性力學領域內對付平面問題，只有複變函數方法與平面光彈性方法兩手，這兩種方法在有限元法的對比下便漸漸退出了歷史舞台。威耳孫在有限元程序系統方面後來還進行過許多有意義的研究，他編寫了有限元的多種單元的程序SAP（Structural Analysis Program），在他的指導下，他的研究生編寫了非線性結構分析程序NONSAP，1981年他還最早編寫了適應微處理機的程序SAP81。SAP程序經曲聖年、鄧成光、吳良芝等移植與修正、SAP81程序經袁明武擴充改造形成獨立的版本SAP84，這兩個程序在我國工程建設中發揮了重大作用。NONSAP經過美國巴特（Bathe）的改進形成有世界影響的非線性分析程序ADINA。1972年北京大學曲聖年等用彙編語言編的平面問題BD通用程序，在解決許多水工問題中發揮了很大的作用。

隨後，結構分析的有限元軟體迅速發展。包含二維元、三維元、梁單元、桿單元、板單元、殼單元、流體單元等多種單元、能解決彈性、塑性、流變、流體以及溫度場、電磁場各種複雜耦合問題的軟體以及軟體系統不斷出現。在10多年內生產與銷售有限元軟體形成了有相當規模的社會新產業，而且使用有限元法解決實際問題迅速在工程技術部門普及。

計算力學的發展，大大改變了工業結構設計的面貌。如果在之前的設計，有百分之九十是靠實驗，百分之十靠計算，那麼計算力學的發展使情況倒過來，即百分之十靠實驗百分之九十靠計算。並且隨之而來的無圖紙加工、計算機輔助加工等廣泛領域的發展，大大改善和加快了設計。

計算力學的迅速發展，以及為他所取得的成功所鼓舞，使得一些學者對於計算力學的成就產生了過分樂觀的估計。例如在20年前美國就有人說，再過10年風洞就要被計算機代替，20年過去了，計算機還不能取代任何風洞。計算力學所取得的成就，大體上說，對於可以用線性理論來近似的那些問題，靠計算機大部可以較好地解決了，可是對於實質上是非線性的那種力學問題，目前計算機幾乎還是無能為力的。

從20世紀60年代開始，在結構分析的有限元程序中，逐漸計入非線性項。例如討論結構材料的塑性性質的，稱為物理非線性問題，討論結構的大變形引起的修正，稱為幾何非線性問題。最初的計算方案都是採用荷載增量法，即逐步給荷載一個小的增量，求相應的變形增量。大約從20世紀60年代末，人們在實際解題中發現有的問題在荷載達到極大值時計算機總是溢出而停機。這個問題困惑了人們許多年，直到20世紀70年代末80年代初才解決。1971年美國學者溫泊納（G.A. Wempner）、1978年荷蘭學者瑞克斯（E. Riks）分別從理論上提出解決這個問題的方法，20世紀80年代初人們在程序上實現了這個方法。這個方法後來被稱為弧長法。

結構的優化設計是計算力學中一個重要的非線性研究領域，它的主要目的是在滿足一系列條件下（這些條件也被稱為約束）尋求結構最優參數。通常這類問題是非線性的，而且計算量非常大，只有靠計算機的幫助才能解決。

求解非線性問題緊接著而來的是遇到分叉的問題。在有限元的通用程序中，對於結構穩定性的問題，通常是將問題化歸於一個特徵值問題，它的基礎還是線性理論。在用非線性程序來求解時，往往由於遇到分叉而不能前進。這是因為在分叉點結構的總體剛度矩陣退化問題無法繼續求解。為了克服這一困難，對於高維繫統中的平衡解的靜分叉以及霍普夫分叉，人們又發展了一系列的方法，但是在實踐上還不能說已經徹底解決了。這方面的總結可參閱武際可與蘇先樾著的《彈性系統的穩定性》一書（科學出版社，1994年）。關於高維繫統的同宿軌道與異宿軌道的計算，以及高維繫統向混沌轉化的計算，迄今仍是難題。

§2 材料的力學性質研究

20世紀人類經歷了一次材料革命。各種新的高強度合金材料、高分子材料、陶瓷材料，複合材料出現，提出了大量新的力學課題。

高強度材料出現後，出現的第一個問題，就是高強度材料的破壞大都是脆斷，而且強度極限比較分散。在以往以軟鋼為主要結構材料的時候，材料的屈服，能夠使超靜定結構的應力重新分布，使各個結構元件的受力更合理，而一個高強度構件的脆斷卻能夠導致整個結構的破壞，有許多事故警告人們需要制定和修訂適應新材料的設計規範。

在多種新材料出現後，人們提出的新問題是如何把這些新材料的優點結合起來克服各自的缺點。如對耐高溫又強度高的陶瓷材料的增韌問題，對高分子材料增強剛度的問題等等。

於是在這些新的需求下，圍繞改進材料開展了一系列的新的研究方向。研究對新材料材料性質的測量方法、無損探傷的方法、適應新材料的加工技術的研究之外，還開展了理論方面的研究。斷裂力學、複合材料力學、界面強度問題、腐蝕強度問題、材料的損傷與壽命問題等等，吸引了大量研究工作。

在材料力學性質研究中，最應當提到的是四個基礎性的研究[2]-[5],即1909年卡拉索夫關於具有橢圓孔無限平面問題的複變函數解；1920年格里菲斯關於玻璃棒強度與具有裂紋的解釋；1934年泰勒關於位錯的研究，以及1957年艾舍爾比關於無限彈性體中有橢球夾雜的分析解。這些經典解以及它們的推廣和擴充，後來構成了應用於材料強度研究的理論基礎。

由於這些研究，大大改善了各種結構使用的材料比例，以航空結構來說，到2013年，機身所用的複合材料已佔到總體的64.6%，航空發動機複合材料佔6.9%，飛行器內部佔17.8%。此外採用高強度合金的結構設計得既節約有安全，類似的事故大為減少。

§3力學一些基本理論問題的提出與解決

在這六十年內有一些重要的突破和發展。我們看到以下幾個方面問題的提出與解決。

1.KAM定理與穩定性理論的進一步發展[6]

一般對於微分方程中含有小參數的項，得到的結論是，解中的小參數解的影響也是微小的。可是對於系統中含有一個小參數的周期擾動，這個系統會不會失去穩定性？這就是200年前拉普拉斯提出來的關於太陽系的穩定性問題，經過龐加萊的定性理論的發展，最後1954年，蘇聯的著名數學家科爾莫哥羅夫（А.Н.Колмогоров,1903－1987）提出了一個猜想，隨後在1963年為他的學生阿諾爾德（В.И.Арнолд）所證明，在略為不同的提法下，1962年為茅扎爾（J.Mozer）所證明。這個猜想現在被廣泛地稱為科爾莫哥羅夫－阿諾爾德－茅扎爾定理，也就是KAM定理。

這個定理涉及哈密爾頓正則方程組解的長期穩定性問題。它不是像李亞普諾夫的穩定性是關於初始條件的擾動後的穩定性問題，所以靠李亞普諾夫的理論不能解決這類問題。這類問題是要考慮施加一個長期的小擾動是否穩定的問題。KAM定理的主要結論是，在一定的條件下，概率為1（即絕大多數）的情形是，原來具有周期解的哈密爾頓的正則方程組在小擾動下對應的解為擬周期解，即只在某個高維的環面內運動。也就是說，系統不穩定的概率為零。根據這個定理解決了當年龐卡萊提出的平面限制性的三體問題的穩定性問題。

俄國學者李亞普諾夫在1892年提出了穩定性的精確概念之後，在李亞普諾夫穩定性提法下，這種理論在很多年內沒有大的進展。到了20世紀50年代末和60年代初，前蘇聯學者祖波夫（Zubov）（1957）和莫夫強(A. A. Movchan)(1960)才推廣了穩定性的定義。將它推廣到對於無限自由度系統，這種推廣可以討論依賴於時間的偏微分方程解的穩定性問題。

2.奇怪吸引子與全局分叉問題

也許是龐卡萊與希爾伯特的威望太高了，自從龐卡萊之後，人們雖然認識到周期解的重要意義，但是大量的工作都集中在平面上的動力系統。人們也許認為，平面上的動力系統的極限環或周期解弄清楚了，其他情形大致也便清楚了。

靜止的黏性流體，當溫度不均勻時，比方說當有一層流體，下部溫度高，上部溫度低，它該怎樣運動呢。這個問題，前人已有不少研究。1963年美國麻省理工學院的氣象學家洛倫茲（Edward Lorenz）教授發表了一篇論文《確定性非周期流》[7]這篇文章，將前人關於大氣對流的方程做了很大的簡化，他把方程中的速度與溫度函數展為級數，僅取三項，於是得到了一組方程：

若令方程的左邊都為零，可以得到三個穩態解。其中一個表示沒有對流，另外兩個是平穩對流。式中的常數r，是可以變化的。對於不同的r值，可以討論這三個解的穩定性。當r小於24.74時，平穩對流狀態是穩定的。在臨界值24.74處，對流開始，在r取28時，恰好是不穩定對流開始。好了，現在就讓r=28，來求解方程。結果，這個僅含兩個二次項的方程組，比想像的複雜得多。這個方程也由此而出名，被稱為洛倫茲方程。

洛倫茲用計算機求解這組方程算了3000步，在開始1000步，有點像周期解，可是到後來便越來越看不出規律，在2000步以後，變為毫無規律的混沌。計算結果在相空間表現為圍繞兩個環來迴轉圈子。這種現象被後人稱為奇怪吸引子。吸引子，是動力系統的解在時間t趨於無限增長時解的極限集合。在洛倫茲之前，人們由於只了解平面上的運動，對吸引子的了解僅限於平衡點、極限環等少數類型。由於洛倫茲方程的引進，使人們看到了以前沒有見過的吸引子，所以稱為奇怪吸引子。

混沌，是一個確定性的動力系統在一定條件下它的解轉化為無規則行為的現象，洛倫茲奇怪吸引子是最早發現的一類向混沌轉化的例子。後來有越來越多的人研究混沌。有一個階段形成熱潮。其所以受到重視，是由於混沌的發現，在人類對客觀規律的認識上，來了一個飛躍。自從1812年，拉普拉斯在他的《概率分析理論》明確提出確定論的哲學觀點之後，一般人認為在力學範圍內，運動是確定的。在20世紀初量子力學產生後，人們改變了看法，認為在微觀世界裡，確定論不對，但是在宏觀力學中，確定論還是絕對正確的。現在人們開始認識到在經典力學的範圍內也可以出現隨機現象。所以人們把混沌的發現認為是科學在20世紀的重大進展。

一個依賴於參數的動力系統，在參數的某些取值下，會產生奇怪吸引子，或者會產生解曲線的全局性的性質變化，這也可以認為是一種分叉，稱為全局分叉。

3.孤立波的研究

§4 後記

在回顧了力學六十年的重大進展後，有一點感想寫在下面。

人們當事後諸葛亮總是比較容易的，在六十年之後來看力學的進展，對於重要不重要、影響大小，一般都能夠給出差不多的評估。可是要在六十年之前去預測以後的發展，就很難準確了。這就像對畫了一條曲線要對它評論，什麼地方是極大、極小，什麼地方是拐點，一清二楚，可是要是有人在畫曲線之前，我們要猜出他畫的曲線的特點，這就難了。即使你絕頂聰明，對他畫曲線的習慣有一定了解，也很難猜得很準確。所以對科學技術發展的預言，也一樣，是有一定的難度的。

恰好在六十年以前，1957年，錢學森先生在《科學通報》上發表了一篇文章：《論技術科學》。文章開始講了一些技術科學的定義、基礎學科與技術學科的關係、技術科學的研究方法的一般性的論述，作者並且認為力學是屬於技術科學的。文章最後提出了一些值得關注的研究方向，其中屬於力學範圍的有：化學流體力學、物理力學、電磁流體力學、流變學、土和岩石力學。後來力學學科的發展，這些方向雖然也都有所進展，但沒有一個是前述世界性關注並且影響深遠和全局有關的方向。錢先生是我國著名的力學家，他的預測尚且不能和後來的發展相符合，可見預測科技發展是有難度的。

不過中國之大，還是會有人預測得比較準的，北京大學的董鐵寶教授，1956年回國，回國時，特別帶回1920年格里菲斯關於玻璃棒強度研究的縮微膠捲，回國後又開設金屬的力學性質課，並且最早指導學生做斷裂力學方面的畢業論文；1958年北大固體力學大部分教師下放勞動，他安排筆者對高年級開設結構力學課，並且告訴筆者要注意國外利用矩陣表示的結構力學方向，當時筆者剛畢業，並沒有體會先生的意思，直到「文革」後筆者投入計算力學的教學與研究，才意識到董先生說的就是計算力學早期的表述形式。啊，董先生在學科上夠得上是一位先知先覺的學者了，前面我總結的六十年影響深遠的三大方向，他就抓住了兩個。可惜在「文革中」被整，含冤而死，他的死是北大，也是力學界的重大損失。

王羲之在《蘭亭序》中說「後之視今亦猶今之視昔」，對以往的六十年的預測和總結，已經是昔日之事，那麼，今後六十年怎樣呢？我們能不能預測一下力學的今後六十年的發展，用文字記下來，看六十年後的人看到的事情與我們的預測相合的有多少。

參考文獻

[1] Wilson,E.L., 「Finite Element Analysis of Two-DimensionalStructures」UCB/SESM Report 63-2, University of California, Berkeley, June1963(Also D. Eng. Dissertation).

[2]Г.В.Колосов,Об одном приложений теории функций комплексногопеременного в плоской задаче математитеской теории упругости,1909

[3]Alan Arnold Griffith,The Phenomena of Rupture and Flow in Solids）1920年刊於Philos. Trans. R. Soc. London A（221, 163）

[4]Sir Geoffrey IngramTaylor,The Mechanism ofPlastic Deformation of Crystals，Part I、II,1934年發表於Proceedings ofthe Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical andPhysical Character Vol. 145, No. 855 (Jul. 2, 1934), Part I，pp. 362-387 ；Part II，pp. 388-404

[5] J.D.Eshelby, The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion,andrelated problems,FRS,Received 1957,3,1

[6]A.N.Kolmogorov The Gerneral Theory ofDynamical Systems and Clasical Mechanics1954年在阿姆斯特丹召開的國際數學家大會上，柯爾莫哥洛夫所做一小時報告。

[7]Edward Norton Lorenz,,DeterministicNonperiodicFlowJournal of the Atmospheric Sciences20 (2): 130–141.1963

[8]Norman J. Zabusky,Interaction of 「Solitons」 in a Collisionless Plasma and the Recurrence ofInitial States Phys. Rev.1965,15:240-243

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！