漫畫：什麼是動態規劃？

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題目：

有一座高度是10級台階的樓梯，從下往上走，每跨一步只能向上1級或者2級台階。要求用程序來求出一共有多少種走法。

比如，每次走1級台階，一共走10步，這是其中一種走法。我們可以簡寫成 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1。

再比如，每次走2級台階，一共走5步，這是另一種走法。我們可以簡寫成 2,2,2,2,2。

當然，除此之外，還有很多很多種走法。

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第一種情況：

第二種情況：

把思路畫出來，就是這樣子：

F(1) = 1;

F(2) = 2;

F(n) = F(n-1)+F(n-2)（n>=3）

方法一：遞歸求解

由於代碼比較簡單，這裡就不做過多解釋了。

如圖所示，相同的顏色代表了方法被傳入相同的參數。

方法二：備忘錄演算法

在以上代碼中，集合map是一個備忘錄。當每次需要計算F(N)的時候，會首先從map中尋找匹配元素。如果map中存在，就直接返回結果，如果map中不存在，就計算出結果，存入備忘錄中。

方法三：動態規劃求解

程序從 i=3 開始迭代，一直到 i=n 結束。每一次迭代，都會計算出多一級台階的走法數量。迭代過程中只需保留兩個臨時變數a和b，分別代表了上一次和上上次迭代的結果。 為了便於理解，我引入了temp變數。temp代表了當前迭代的結果值。

題目二： 國王和金礦

有一個國家發現了5座金礦，每座金礦的黃金儲量不同，需要參與挖掘的工人數也不同。參與挖礦工人的總數是10人。每座金礦要麼全挖，要麼不挖，不能派出一半人挖取一半金礦。要求用程序求解出，要想得到儘可能多的黃金，應該選擇挖取哪幾座金礦？

方法一：排列組合

每一座金礦都有挖與不挖兩種選擇，如果有N座金礦，排列組合起來就有2^N種選擇。對所有可能性做遍歷，排除那些使用工人數超過10的選擇，在剩下的選擇里找出獲得金幣數最多的選擇。

代碼比較簡單就不展示了，時間複雜度也很明顯，就是O(2^N)。

F(n,w) = 0 (n

F(n,w) = g[0] (n==1, w>=p[0]);

F(n,w) =F(n-1,w) (n>1, w

F(n,w) = max(F(n-1,w), F(n-1,w-p[n-1])+g[n-1]) (n>1, w>=p[n-1])

其中第三條是補充上去的，原因不難理解。

方法二：簡單遞歸

把狀態轉移方程式翻譯成遞歸程序，遞歸的結束的條件就是方程式當中的邊界。因為每個狀態有兩個最優子結構，所以遞歸的執行流程類似於一顆高度為N的二叉樹。

方法的時間複雜度是O(2^N)。

方法三：備忘錄演算法

在簡單遞歸的基礎上增加一個HashMap備忘錄，用來存儲中間結果。HashMap的Key是一個包含金礦數N和工人數W的對象，Value是最優選擇獲得的黃金數。

方法的時間複雜度和空間複雜度相同，都等同於備忘錄中不同Key的數量。

方法四：動態規劃

方法利用兩層迭代，來逐步推導出最終結果。在外層的每一次迭代，也就是對表格每一行的迭代過程中，都會保留上一行的結果數組 preResults，並循環計算當前行的結果數組results。

方法的時間複雜度是 O(n * w)，空間複雜度是(w)。需要注意的是，當金礦只有5座的時候，動態規劃的性能優勢還沒有體現出來。當金礦有10座，甚至更多的時候，動態規劃就明顯具備了優勢。

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