應用根與係數關係莫忘判別式

一元二次方程中根與係數的關係稱作韋達定理。韋達定理在解決與一元二次方程有關的實際問題中有著廣泛的應用。但在應用韋達定理時，很多同學往往忽視一個重要制約條件，這就是要先保證該一元二次方程有實數根（滿足根的判別式），如果一元二次方程沒有實數根，則也不存在根與係數的關係。因此，我們在應用韋達定理時要牢記判別式條件。

例1已知x、x是方程2x－2x+1－3m=0的兩個實數根，且xx+2（x+x）＞，那麼實數m的取值範圍是。

解析：方程有兩個實數根，

則（-2）－4×2（1－3m）≥，

∴m≥

由韋達定理x+x=1，xx=，

又xx+2（x+x）＞

即有+2＞∴m＜

∴實數m的取值範圍是≤m≤

點撥：應用韋達定理的前提是要保證方程存在實數根。

例2若關於x的一元二次方程3x+3（a+b）x+4ab=0的兩個實數根x、x滿足關係式x（x+1）+ x（x+1）=（x+1）（x+1），判斷（a+b）≤4是否正確？若正確，請加以證明；若不正確，請舉一反例。

解析：由x（x+1）+ x（x+1）=（x+1）（x+1），

變形得：（x+x）－3 xx－1=0

由韋達定理有x+x=－（a+b），xx=ab

即有（a+b）－4ab－1=0∴（a+b）=4ab+1

方程有兩個實數根，由根的判別式9（a+b）－48ab≥，

∴（a+b）≥ab

∴4ab+1≥ab，可得4ab≤3

∴（a+b）=4ab+1≤4。

點撥：由根的判別式作中間條件推導出4ab≤3是本題的解題關鍵。

例3設x、x是方程2x－4mx+2m+3m－2=0的兩個實數根，當m為何值時x+x有最小值？並求出這個最小值。

解析：由根的判別式16 m－8（2m+3m－2）≥，

∴m≤

由韋達定理有x+x=2m，xx=

設y= x+x=（x+x）－2 xx=4 m－（2m+3m－2）

=2 m－3m+2=2（m－）+

y關於m的二次函數對稱軸m=，m≤＜時，y隨m的增大而減小

∴m=時，y有最小值，即x+x有最小值。

最小值為：2（－）+=

點撥：由根的判別式確定m的取值範圍，從而正確地確定二次函數區間上的最小值。

練習：

1．若關於x的方程2x－2x+3m－1=0有兩個實數根x、x，且xx＞x+x－4，則實數m的取值範圍是（）。

A．m＞；B．m≤；C．m＜；D．＜m≤

2．ABC的一邊長為5，另兩邊長恰為方程2x－12x+m=0的兩根，則m的取值範圍是。

（1．參考答案：B；2．點撥：由方程兩根之差小於第三邊，

結合韋達定理、判別式可求得＜m≤18）

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！