物體有多重，是重量還是質量？

【題記】

懷疑一切。——馬克思

學問學問，既學又問。——無名氏

數學是科學之王。——高斯

數學是符號加邏輯。——羅素

數支配著宇宙。——畢達哥拉斯

教師必須學會深入研究教材及相關邏輯聯繫，下面是我對「質量」概念的厘析文章，發表於2015年《小學數學教育》頭條，現分享一下。

蘇教版小學數學從三年級開始學習「質量單位」。對於這一部分內容，許多老師在研究教材時發現：教材中，一會兒說千克（克、噸）是質量單位，一會兒又說××物體多重（似乎又是在說重量），教學中到底是說質量還是重量，這兩個概念存在怎樣的區別與聯繫，本文擬就質量與重量及其相關概念作一番辨析，這將有助於老師們深入理解教材意圖，科學設計教學進程，進而更有效組織課堂教學。

一、量、連續量和離散量

我們先從「量」開始說起。所謂「量」是指「現象、物體或物質可定性區別和定量確定的一種屬性」。也就是說，事物的大小、多少、長短、輕重、高低、速度的快慢等客觀事物的屬性都叫做量。其中，有大小也有方向的物理量叫做向量（也叫做矢量），如速度、重力（重量）等；有大小沒有方向的物理量叫做標量（也叫做數量），如長度、質量（重量）、體積、時間等。

小學階段學生接觸到的現實世界的數量（圓周率除外）可以分為兩類：連續量和離散量（也叫不連續量）。

不連續量有如下特點：它從一種程度到另一種程度是「跳躍地」變化的，即從一種程度開始只要經過有限多種程度的逐次更替就能變化到另一種程度。如我們數一個班的人數，從1開始，逐次經過2、3、4、5……最後變化到45，說明這個班的學生是45人。又如書本數、課桌椅數也是離散量，它們與自然數一一對應。離散量一般是準確數，如剛才說的一個班級有45人。但在一定的情境下，離散量也可以用整十、整百等近似數描述，比如某校有2000多名學生，2000人就是近似數。這樣描述不是因為這個學生數不是一個準確值，而是這裡只需要一個近似值。

連續量則有如下特點：它從一種程度到另一種程度是「連續地」變化的，即從一種程度開始，要經過無限多種程度的連續更替才能變化到另一種程度。例如，身高、體重、溫度、時間、距離、速度、長度等是連續量，通過測量或計算得出，它與正實數對應。

在這裡，需要指出的是，現實世界裡的所有連續量的測量數據都是近似數。比如小明身高145厘米，體重36千克，就是近似數，與身高約145厘米，體重約36千克，甚至表示為身高恰好145厘米，體重恰好36千克，幾種表述其實沒有本質的區別，雖然小明的身高體重有一個準確值，但是不可能無誤差地測出——準確是相對的，誤差是絕對的。這種現象物理學上被稱為「測不準原理」，它是量子力學上的一種基本原理，亦稱「不確定性原理」，是由德國物理學家海森堡（Werner Heisenberg）於1927年提出。後經多位科學家研究，這個不確定性來自兩個因素，首先測量某東西的行為將會不可避免地擾亂那個事物，從而改變它的狀態；其次，因為量子世界不是具體的，但基於概率，精確確定一個粒子狀態存在更深刻更根本的限制。

基於上面的認識，我們應該幫助兒童正確地建構「大約」、「近似數（量）」的意義。筆者認為，凡在小學階段涉及「厘米、米、毫米、千米、克、千克、噸、時、分、秒、年、月、日」等計量單位的認識時，我們都要通過適宜的教學情境或合理的測量過程中讓學生明白「所有測量的數據都是近似數、所有的計量過程都是大約的」這個道理。這個道理非常重要，因為當學生知道「近似數」是測量數據的本質屬性，即這些「連續量」無論在計量時是否用「大約」二字，都是「大約的」，這既是培養學生估算能力的基礎，也是培養學生數感的重要途徑——當然，更大的範圍上，從課程標準制定、教材建設、教師培訓等方面，我們同樣應該給予足夠的重視。

二、計量、計量單位與量數

從上面可以看出，「量」是數學中的一個基本概念。如同「數（shù）源於數（sh?）」一樣，量（liàng）的主要特徵就在於它可以量（liáng）。也就是取一個同類量做標準時，可以比較出大小來。這種把要測定的量和一個作為標準的同類量進行比較的過程叫做「計量」。例如，用千克作為計量單位去測定某一物品「有多重」的過程，就是計量。計量可分為直接計量和間接計量，如上所述的計量是直接計量，如果在計量操場的面積，一般是計量長和寬，再通過計算算出面積，這樣的計量是間接計量。

計量時用來作為標準的同類量叫做「計量單位」。計量單位的演變是隨著人類社會的發展而發展的。在我國古代，計量長短稱為度，計量容積（容量）稱為量（liáng），計量輕重稱為衡。計量長度、容積、重量，統稱為度量衡。我國還有許多市制計量單位，比如計量重量的有擔（100斤）、鈞（30斤）、斤、兩、錢等，但基於國際交流的需要，就必須有國際上統一的計量單位。於是，1875年十七個國家的代表在法國巴黎開會議定了「國際公制」這一國際通用的計量制度。長度的主單位是米，質量的主單位是千克（公斤），容量的主單位是升。簡稱公制，也稱米制。之後的「國際單位制SI」是在「米制」基礎上發展起來的單位制，是由國際計量大會於1960年通過的。1984年2月27日國務院發布了《國務院關於在我國統一實行法定計量單位的命令》（簡稱《命令》，下同），決定在採用先進的國際單位制的基礎上，進一步統一我國的計量單位。我國的法定計量單位總體包括六個方面，即（1）國際單位制的基本單位（有七種，包括長度單位「米[m]」、質量單位「千克」、時間單位「秒[s]」、電流單位「安（培）[A]」、熱力學溫度單位「開（爾文）[K]」、物質的量的單位「摩（爾）[mol]」和發光強度的單位「坎（德拉）[cd]」）；（2）國際單位制的輔助單位（平面角、立體角）；（3）國際單位制中具有專門名稱的導出單位（主要是一些理化生等科學領域的計量單位）；（4）國家選定的非國際單位制單位（其中，跟我們小學數學教學相關的有時間單位「分」、「［小］時」、「天［日］」、質量單位「噸」、體積單位「升」等）；（5）由以上單位構成的組合形式的單位；（6）由詞頭和以上單位所構成的十進倍數和分數單位（比如，比米大的單位有十米、百米、千米（公里）等，這些單位叫做米的十進倍數單位；而比米小的分米、厘米、毫米等，這些單位叫做米的十進分數單位）

在上述文件末尾的「注」中特別提到幾點，這裡列舉與小學數學相關的，如周、月、年（年的符號為a），為一般常用時間單位；升的符號中，小寫字母l為備用符號；人民生活和貿易中，質量習慣稱為重量；公里為千米的俗稱，符號為km。

從上面的分析中可以看出：《小學數學教師教學用書》中介紹常用的質量單位：千克、克和噸通常這樣說：「克、千克和噸，都是我們法定的質量單位。在貿易和日常生活中，人們習慣把質量稱為重量。」這三個單位也是有區別的，其中「千克」是國家文件《命令》中的第一類，即（1）國際單位制的基本單位；「噸」是第四類，即（4）國家選定的非國際單位制單位（也是「千克」的十進倍數單位）；而「克」在《命令》中沒有出現，因為它是「千克」的千分之一，應該屬於「千克」的「十進分數單位」。

最後說說「量數」。所謂「量數」，是指用一個計量單位去計量某一個量，結果得到這個量含有計量單位的若干倍這個數值就叫做這個量的量數。比如一個西瓜用「千克」作單位去計量，所得的量數是5；如果用「克」作單位去計量，所得的量數就是350。用這個數連同計量單位就可以表示被量（liáng）的量（liàng）的大小；然後，還可以用數的運算以及計量單位的變換，進行量的運算。

三、1千克、質量與重量

質量和重量有什麼不同？簡單些說，一個物體的質量表示這個物體含有多少物質，質量是恆定不變的。一個物體的重量是這個物體受到的地球吸引力，重量因物體所在位置的緯度和高度不同而略有變化。質量是標量。重量是矢量。質量和重量的單位在國際單位制里，質量的單位是千克，重量的單位是牛頓。實用時，重量的單位常用千克力或克力。我國人民在日常生活中不區分物體的質量與重量，經常以「物體有多重」來代替「物質有多少」。三年級學生還不具備嚴格區別質量與重量的條件，因此，本單元教材既使用「質量」這個詞語，又把物體「有多重」視為物體的質量。

要進一步理解兩個概念的異同，我們還得從「1千克的質量」說起。原計劃製作的是質量的主單位——「克」的標準器，但因為當時工藝和測量技術所限，故製作了質量是「克」的1000倍的標準器，即千克標準原器——這也是國際單位制中質量單位是千克而不是克的原因。最初的千克質量單位是由18世紀末法國採用的長度單位米推導出來的，1立方分米純水在最大密度(溫度約為4攝氏度)時的質量，就定為1千克。1799年法國在製作鉑質米原器的同時，也製成了鉑質千克基準，保存在巴黎檔案局裡，被正式定為「檔案局千克」（Kilogramme des Archives）。再後來，發現這個鉑質千克基準並不準確地等於1立方分米最大密度純水的質量，而是等於1.000028立方分米。於是，在1875年「米制公約會議」之後，用含鉑90%、銥10%的合金製成千克圓柱體原器，規定這個砝碼在緯度450的海平面的重量為1千克力。這個千克後面加個「力」字，與質量的千克加以區別。當時質量千克原器一共做了三個，經與巴黎檔案局保存的鉑質「檔案局千克」原器比對，選定其中之一作為國際千克原器。這個國際千克原器被國際計量局的專家們非常仔細地存放在法國巴黎郊外戒備森嚴的金庫內，用三層玻璃罩好，最外一層玻璃罩里抽成半真空，以防空氣和雜質進入。隨後又複製了四十個鉑銥合金圓柱體，經過與國際千克原器比對後，分發給各會員國作為國家基準。跟米原器一樣，千克原器也要進行周期性的檢定，以確保質量基準的穩定可靠。但是由於消耗與磨損，它的質量正慢慢地減少，基本單位的準確性受到影響，誤差越來越大。2008年04月，位於不倫瑞克的德國國家計量研究院的研究人員表示：他們將採用直徑10厘米(4英寸)的純硅體去界定比現在的千克質量定義更為標準的度量方法。新的純硅體是完美的球體，純度極高，99.99%的材料是一種稱為硅28的硅同位素。它是集俄羅斯、澳大利亞和德國等國科學精英之力，耗資200萬歐元(約合320萬美元)，用5年時間才打造完成的，其質量無限接近於一千克。而且，德國不倫瑞克的科學家們不斷地對純硅體實施數千次實驗，以測算製成它的硅原子數量。

由此可見，牛頓力學中的質量是一個恆量，物體無論是否受到重力的作用，它總是具有質量的。例如，宇宙飛船遠離地球，擺脫了地球的引力，就無所謂重量了，但物體的質量仍然存在。當關掉發動機之後。宇宙飛船，仍能憑藉慣性繼續飛行，這說明物體的質量仍在起作用。而重量則隨物體所處的緯度和高度的不同而變化。若將這個物體放在赤道，它的重量為．9973千克力；放在北極，它的重量則是1．0026千克力。

質量用天平測定，重量則用彈簧秤測之。其原因是：天平是等臂槓桿。設臂長為L，被測物體的重量是W1，砝碼的重量是W2。當天平平衡時，根據槓桿平衡原理得到W1L＝W2L，因為兩邊同乘L，所以W1＝W2，即當天平平衡時，物體與砝碼的重量是相等的。由於物體和砝碼在地球上的同一地點，設此地的重力加速度為g，則W1＝m1g，W2＝m2g。因此，m1g＝m2g，m1＝m2，從上式知，一個物體無論在地球上任何地方，用天平來稱量，物體的質量總是等於跟它平衡的砝碼的質量。由砝碼的質量數，就能知道物體的質量數。在地球表面，用天平測出物體質量數，就可近似認為與重量數相等。但要知重量的精確數，就必須知道該地的重力加速度，而後根據天平所測知的物體質量m，算出物體的重量（P＝mg）。用彈簧秤來稱量物體，由於彈簧的伸長與作用力成正比，所以從彈簧秤的刻度上就可讀出物體的重量數值。我國曆來所用的桿秤實際上是不等臂的天平，因此用它測物體時，是質量而不是重量。

在蘇教版小學數學教材中，讓學生認識生活中的秤，有天平、台秤、磅秤、桿秤、地秤、彈簧秤、電子秤等等，要注意區分有的稱量的是質量，有的稱量的是重量，但因為兩者在同一地點只有細微的差別，所以日常生活中就把它們不再作嚴格的區分了。

總之，在諸如「質量單位」等計量單位教學中，學生對計量單位的理解並不要求十分嚴格，但作為老師我們必須充分認識與深入理解這些計量單位的來龍去脈及聯繫區別，這樣才能在教學中做到居高臨下、得心應手、深入淺出。

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