北大數學老師劉若川：本科生怎麼做科研

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劉若川，1999年-2004年在北京大學數學科學學院學習，獲學士、碩士學位，2008年獲美國麻省理工學院博士學位，2012年回到北大在北京國際數學研究中心任職。主要研究領域是算術幾何與代數數論，他在p進霍奇理論、p進自守形式與p進朗蘭茲綱領等方向取得了一系列重要成果，特別是與人合作在幾何相對p進霍奇理論方面做了奠基性的工作。

編者按：

在北京大學二年級的第二個學期，很多同學會根據自己的專業興趣，聯繫對應方向的老師作為導師，並開展貫穿本科後一階段的本科生科研。兩到三年的本研經歷，究竟會給熱衷數學的同學們帶來什麼呢？數學技能樹中這一重大的buff技能的關鍵，將通

過北京國際數學研究中心研究員

劉若川老師的講述，在這篇文章中揭開。

講述｜劉若川

整理｜葉帆、吳姚

責編｜程莉

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1

 本研：一種包含運氣成分的嘗試

參加本科生科研需要有一定的基礎，沒有經過任何數學基礎的培養就去做是沒有用的。但學數學也不能一輩子打基礎，只是空看書的話是學不了什麼東西的。數學學習到了一定的程度，就可以嘗試著探究一些問題了。

本科生科研就是這樣一種嘗試，不過這種嘗試包含著運氣的成分，因為當你找一位導師帶著你做某一個問題時，你對這個問題本身沒有什麼了解，也並不可能真正了解，只能說在直觀上對這個問題有一些感受。老師只能看你的成績單怎麼樣，但對你也不了解。因為成績單很多時候反映的事情並不全面。又或者老師當時對某個東西感興趣，拋給你一個相關的問題。這些都是十分隨機性的。所以對於本研來說，對問題本身不需要太執著，沒有必要一定做出來，更重要的是訓練對科研的基本感覺。

本科生科研的成果取決於方向和問題。不同方向的本研差別很大，和實際應用相關的數學分支比較容易做出有意義的工作。而基礎數學方面，很難指望對數學本身能有什麼實質進展，但能對研究生階段有所幫助。

本研的成果也跟題目有關係。有的題目本身光是理解就需要很多時間，積累比較厚的東西。對於這樣的問題，就很難在本科期間就做出有意義的東西。當然做數學是在做問題的過程中一點點推進並吸收其他有幫助的知識，就像編一張網一樣越來越大，這個過程是不斷進行的，沒有完結的時候。

2

研究中：迅速推進的能力

一般老師會給你一個超出你能力水平的問題，依靠你現有的知識是不夠的。所以你需要學一些課程之外的東西，但在你學的過程中，甚至直到研究生階段都會經常遇到論文A引用論文B，論文B又引用論文C，如此一長串兒下去的情況，這會讓你不知所措。

學基礎數學時，面對一個很難的問題，是不可能把所有東西都準備好再去做的。比如PhD的時候，可能過一年後就需要開始做問題。而當你自以為準備好了，卻會發現還是有很多東西不懂。所以不能說什麼事情都準備好了才能去做，而是要學習在掌握部分東西的情況下，去推進問題的能力。我的導師曾有過一個精闢的總結：研究生階段的數學是反過來學的——先學結論，再學邏輯。你要先了解這個東西是怎麼回事，整個問題是什麼樣子，然後在這個了解之上一點點推進。

比如說這個問題已經準備了5%，那就可以看看這5%里有什麼可以改進的地方。在改進的同時，導師也會帶你做一些事情，因為他有經驗。他可能知道這個問題的100%是什麼樣子的，而你只要學懂這5%，在這5%里用你的能力往前推進這個問題。其他的95%沒必要馬上了解，而是可以在以後漫長的職業生涯中把它搞清楚。這和處理實際事務是一樣的，都是僅僅掌握了一部分的信息，在此基礎上根據感覺和初始的經驗往前一點點推進。具體到本科生科研中，就是在拿到一個好多名詞看不懂的論文時，如何快速地把這些東西搞懂大半，這一方面的素質尤為重要。

很多成績不錯的同學一本一本地讀書，讀得很仔細，分數也考得很高，因為知識量很小，有充分的時間去準備這些事情。高中時知識量更小，就那幾頁紙，來回翻那些東西，都能學得很紮實。而本科階段信息量也不大，時間也相對充裕。但往後走信息量越來越大，這時候就看出你的能力來了。這種能力體現在如果拿到一個很難的東西，能否在一個月之內把最重要的東西搞清楚，次重要的大概知道是什麼意思就行了。當然這種經驗與能力也需要一定的訓練，本研的目的也基本上在於此。有了這種經驗之後去讀PhD，就不會有不太適應的地方。

還有一個重要的能力，就是會講一個東西。學了一個論文之後，不見得什麼東西都懂，但能明白它是怎麼一回事，然後能把它脈絡清晰地講給別人聽。

3

學習誤區：「獨立」與「紮實」

北大的學生獨立性很強，但不是什麼事情都可以靠自己獨立看書解決問題的。看書對於學生是一種標準的學習方式，但不見得就是最有效的學習方式。最有效的學習方式常常是有一個懂的人告訴你應該怎麼做這件事情，因為很多時候你看書抓不住重點，但很多東西別人給你講兩下你就懂了。

自學能力強當然是件好事，但也是在一定意義下，在別人的指導下去自學。其實研究生階段基本上也是自學。有的導師大概給一個方向，一個題目，然後就不管了，你覺得你有能力把這個問題搞清楚，然後想一想大概從什麼方向入手。他願意跟你談，你跟他說說想法。他有經驗，可能會告訴你這個路子行不通，但那個方向可能差不多。所以在方向上要有人指導你，但具體他不會管你，所以你還是要有把具體的東西搞懂的能力。

本科生還有一個問題就是學了很多東西，但很多時候沒有真正學懂。「學懂」是指你能不能紮實地拿來用。有一些知識，哪怕你當時學得很清楚，但過一段時間又模糊了。把一個東西學懂並不是一件容易的事情，學數學到一定階段以後真的會遇到這個問題。只有你自己獨立解決了這個問題以後，你對那個東西才是真的懂了。哪怕你把細節忘了，也很快就可以把它搞懂。這個東西深深地烙在你的腦子裡，就像游泳和自行車，必須實踐過後才真正能懂。

到一定程度以後，新的數學如果不和你已有的知識體系聯繫在一起就不好學了。很多人的經驗說，到了三十幾歲就不太容易學習完全新的數學了。定義、定理沒問題，但沒辦法內化到知識體系裡面。對真正比較深的數學，想把它內化是很不容易的，你需要有充足的經驗。很多大數學家的博士論文做的東西很前沿，但不代表前沿的東西就和最開始的東西之間的知識鏈是完整的。

數學是需要實踐的。很多時候結論很漂亮，但是得到結果的過程是艱苦的，中間就會有許多臟活累活。所以實踐十分重要，看書、做習題都是實踐，但只是最基本的。因為題目很多時候是弄成一個比較好的形狀，讓你運用現有的理論把它很快地做出來。最好的實踐是一些原生態的經驗，也就是本研的意義。給你一個問題，叫你從頭開始把一個很深的東西搞清楚，甚至還要自己想一想怎麼把它往前推進。你有這樣一個經驗，然後才會慢慢明白什麼是internalization。

這種實踐會花很多時間，但那個時間會比看書花的時間值很多。不要覺得說花了一學期甚至是一年的時間只讀懂了這一點點東西，好像沒學什麼東西。從中得到的經驗是很重要的。這就好比踢足球一樣。球員為什麼要上場踢？上場踢十分鐘可能比你在場下練好長時間都要重要。做題目當然很重要，做練習考試都是應該的，但是還得有一個真正的做數學研究的狀態。本研的目的就是讓你們體會這種狀態。這只是說老師們希望同學能夠達到這個狀態，但還要看實際過程中的具體情況。

4

數學之路：搭建自己的知識網

數學跟武功一樣，有很多種門派。但是學功夫的時候不能說先去少林寺學一年，再去武當派學一年，再去峨眉學一年。而是在少林寺學了三十年，然後再去武當看一看就明白了，雖然少林和武當的內功不一樣，但是招式上都是相通的。數學也是類似，即使是很天才的數學家，對數學的學習也不是先在少林學一年，再去武當學一年。每個人精力有限，首要的是把本行的東西先吃透，吃得越透，學習其他東西往往越容易。

對於本科生來說，純數學最基礎的工具還是分析、代數、幾何，要花時間把這些東西搞得很熟很透。給一個積分，你要會積，這是基本功；就算你不會積，也要大概知道是怎麼一回事，哪個東西比較重要。當你未來往後走的時候，比如去一個地方讀研究生，肯定要選一個老師。你的老師做什麼，你就跟著學什麼，有的時候不是你設計的。但是那些基本的東西都要用到，它是組成事情的核心。無論你以後學什麼都是最基本的東西在起作用。包括我們現在做問題，有的時候我們做的就是把很難的東西轉化成抽象代數和微積分。到最後其實能解決實際問題的還是那些基本的數學工具。所以說雖然多學一些東西沒有壞處，但基礎課還是要搞得很熟很透。這是有意義的。

每個人的知識網都是不一樣的，你需要根據自己的知識網來擴張知識結構。在一小塊地方做數學，然後一點點擴充你的知識網。擴充包括往前走，就是推進現在的理論，也包括往回走，因為很多歷史的片段你是不知道的。你並不理解他原來的思想是怎麼上來的。所以你往回走。這樣往前走、往回走，你的知識體系才會慢慢地搭建起來。

其實數學該怎麼學是沒什麼確定的方法的，也不是說一定要怎麼學才能學成。如果本身有數學才華，但是比別人學的少一些，那是沒關係的。最重要的還是你做哪個方向，你的導師和你周圍環境對你的影響，甚至是一個學科的發展狀況。如果恰好趕上了學科的低潮，就可能做不動，可能就會讓你不太愉快。當然你特別厲害的話，把低潮做成高潮，那就另當別論。絕大部分人本事都沒那麼大，甚至一個學科達到高潮都是靠很多人不斷的努力。如果能趕上高潮那就很好，可能會比較容易做出很好的東西來，你一下子就有名了，就會讓你很開心。所以說最重要的是把基本的東西學紮實之後，能夠迅速地進入一個領域，然後把想要的東西抓住。

Pick up whateveryou want。

本文轉自「北大數院人」微信公眾號，文字有修訂。原標題為「數學技能樹丨數學學習的buff——本科生科研」。

製版編輯：核桃林

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